PAGE第7頁共7頁課時跟蹤檢測（五十四）二項式定理一、基礎練——練手感熟練度1.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))6的展開式中xSKIPIF1<0的系數為()A．－12 B．12C．－192 D．192解析：選A二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)－\f(2,x)))6的展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)·(－2)r·xSKIPIF1<0，令3－eq\f(3r,2)＝eq\f(3,2)，求得r＝1，可得展開式中xSKIPIF1<0的系數為－12，故選A.2．(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展開式中x4的系數為()A．50 B．55C．45 D．60解析：選B(1＋x)5＋(1＋x)6＋(1＋x)7的展開式中x4的系數是Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(4,7)＝55.故選B.3．已知(x＋1)n的展開式的各項系數和為32，則展開式中x4的系數為()A．20 B．15C．10 D．5解析：選D由題意知(x＋1)n的展開式的各項系數和為32，即(1＋1)n＝2n＝32，解得n＝5，則二項式(x＋1)5的展開式中x4的項為Ceq\o\al(1,5)x4＝5x4，所以x4的系數為5，故選D.4．在(1－x)5(2x＋1)的展開式中，含x4項的系數為()A．－5 B．－15C．－25 D．25解析：選B因為(1－x)5＝(－x)5＋5x4＋Ceq\o\al(3,5)(－x)3＋…，所以在(1－x)5·(2x＋1)的展開式中，含x4項的系數為5－2Ceq\o\al(3,5)＝－15.故選B.5．(2020·天津高考)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))5的展開式中，x2的系數是________．解析：二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))5的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)·x5－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x2)))r＝Ceq\o\al(r,5)·2r·x5－3r.令5－3r＝2得r＝1.因此，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x2)))5的展開式中，x2的系數是Ceq\o\al(1,5)·21＝10.答案：106．已知m∈Z，二項式(m＋x)4的展開式中x2的系數比x3的系數大16，則m＝________.解析：由Ceq\o\al(2,4)m2－Ceq\o\al(3,4)m＝16，得3m2－2m－8＝0，解得m＝2或m＝－eq\f(4,3)，因為m∈Z，所以m＝2.答案：2二、綜合練——練思維敏銳度1．二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))8的展開式中x2的系數是－7，則a＝()A．1 B.eq\f(1,2)C．－eq\f(1,2) D．－1解析：選B由題意，二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))8的展開式中的通項公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,8)(－a)rx8－2r，令8－2r＝2，解得r＝3，所以含x2項的系數為Ceq\o\al(3,8)(－a)3＝－7，解得a＝eq\f(1,2).2．若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))6展開式的常數項為60，則a值為()A．4 B．±4C．2 D．±2解析：選D因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ax－\f(1,\r(x))))6展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,6)a6－kx6－k(－1)kxSKIPIF1<0＝Ceq\o\al(k,6)a6－k(－1)kxSKIPIF1<0，令6－eq\f(3,2)k＝0，則k＝4，所以常數項為Ceq\o\al(4,6)a6－4(－1)4＝60，即7a2＝60，所以a＝±2.故選D.3．(2021年1月新高考八省聯考卷)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數是()A．60 B．80C．84 D．120解析：選D(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展開式中x2的系數為Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋…＋Ceq\o\al(2,9)＝Ceq\o\al(3,10)＝120.故選D.4．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))n的展開式中，只有第5項的二項式系數最大，則展開式中系數最小的項的系數為()A．－126 B．－70C．－56 D．－28解析：選C∵只有第5項的二項式系數最大，∴n＝8，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,\r(x))))8的展開式的通項為Tk＋1＝(－1)kCeq\o\al(k,8)xSKIPIF1<0(k＝0,1,2，…，8)，∴展開式中奇數項的二項式系數與相應奇數項的系數相等，偶數項的二項式系數與相應偶數項的系數互為相反數，而展開式中第5項的二項式系數最大，因此展開式中第4項和第6項的系數相等且最小，為(－1)3Ceq\o\al(3,8)＝－56.5．若二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x)))7的展開式中的各項系數之和為－1，則含x2的項的系數為()A．560 B．－560C．280 D．－280解析：選A取x＝1，得二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(a,x)))7的展開式中的各項系數之和為(1＋a)7，即(1＋a)7＝－1，解得a＝－2.二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))7的展開式的通項為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,7)·(x2)7－r·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)))r＝Ceq\o\al(r,7)·(－2)r·x14－3r.令14－3r＝2，得r＝4.因此，二項式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－\f(2,x)))7的展開式中含x2項的系數為Ceq\o\al(4,7)·(－2)4＝560，故選A.6．(2021·海口調研)(eq\r(3,2)＋x)5的展開式中系數為有理數的各項系數之和為()A．1 B．20C．21 D．31解析：選C因為(eq\r(3,2)＋x)5展開式的通項為Tk＋1＝Ceq\o\al(k,5)(eq\r(3,2))5－kxk＝Ceq\o\al(k,5)2SKIPIF1<0xk，因此，要使系數為有理數，只需eq\f(5－k,3)為正整數，又因為0≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，因此系數為有理數的項為Ceq\o\al(2,5)(eq\r(3,2))3x2，x5，故所求系數之和為20＋1＝21.7．(2021·遼寧八市重點高中聯考)已知(2m＋x)(1＋x)4的展開式中x的奇數次冪項的系數之和為64，則mA.eq\f(7,4) B.eq\f(7,2)C．4 D．7解析：選B設(2m＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5令x＝1，得(2m＋1)×24＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5.令x＝－1，得0＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5.②①－②，得16(2m＋1)＝2(a1＋a3＋a5)＝2×64，解得m＝eq\f(7,2)，故選B.8．設(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，則eq\f(a2＋a4,a1＋a3)的值為()A．－eq\f(61,60) B．－eq\f(122,121)C．－eq\f(3,4) D．－eq\f(90,121)解析：選C由二項式定理，得a1＝－Ceq\o\al(1,5)·24＝－80，a2＝Ceq\o\al(2,5)·23＝80，a3＝－Ceq\o\al(3,5)·22＝－40，a4＝Ceq\o\al(4,5)·2＝10，所以eq\f(a2＋a4,a1＋a3)＝－eq\f(3,4)，故選C.9．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))5的展開式中，x3的系數等于－5，則該展開式的各項的系數中最大值為()A．5 B．10C．15 D．20解析：選Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,x)))5的展開式的通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,5)x5－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,x)))r＝(－a)rCeq\o\al(r,5)x5－2r，令5－2r＝3，則r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展開式中第2,4,6項的系數為負數，第1,3,5項的系數為正數，故各項的系數中最大值為Ceq\o\al(2,5)＝10，故選B.10．(多選)若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(\f(a,x))))n的展開式中最中間的一項是－eq\f(5,2)xeq\r(x)，則()A．a＝eq\f(1,2)B．展開式中所有項的二項式系數之和為64C．展開式中的所有項的系數和為eq\f(1,64)D．展開式中的常數項為eq\f(15,16)解析：選BCD因為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(\f(a,x))))n的展開式中存在最中間的一項，所以n必然為偶數，且最中間的一項為＝＝－eq\f(5,2)xeq\r(x)，所以·(－eq\r(a))SKIPIF1<0＝－eq\f(5,2)，eq\f(n,4)＝eq\f(3,2)，解得n＝6，a＝eq\f(1,4)，故A錯誤；展開式中所有項的二項式系數之和為2n＝26＝64，故B正確；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\r(\f(a,x))))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2\r(x))))6，令x＝1，得展開式中所有項的系數和為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))6＝eq\f(1,64)，故C正確；因為二項展開式的通項公式為Tr＋1＝Ceq\o\al(r,6)x6－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))rxSKIPIF1<0，令6－eq\f(3r,2)＝0，得r＝4，所以展開式中的常數項為T5＝Ceq\o\al(4,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))4＝eq\f(15,16)，故D正確．故選BCD.11．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,\r(x))))10的展開式中含有xSKIPIF1<0的系數是－120，則a＝________.解析：由二項式定理的展開式可得Ceq\o\al(r,10)x10－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,\r(x))))r＝Ceq\o\al(r,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a))rxSKIPIF1<0.因為xSKIPIF1<0的系數是－120，所以xSKIPIF1<0＝xSKIPIF1<0.解得r＝3.所以系數為Ceq\o\al(3,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a))3＝－120.解得a＝1.答案：112．若(1＋2020x)2020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2020x2020，則eq\f(a1,2020)＋eq\f(2a2,20202)＋eq\f(3a3,20203)＋…＋eq\f(1010a1010,20201010)＝__________.解析：因為eq\f(nan,2020n)＝eq\f(n2020nC\o\al(n,2020),2020n)＝nCeq\o\al(n,2020)＝2020Ceq\o\al(n－1,2019)，所以eq\f(a1,2020)＋eq\f(2a2,20202)＋eq\f(3a3,20203)＋…＋eq\f(1010a1010,20201010)＝2020(Ceq\o\al(0,2019)＋Ceq\o\al(1,2019)＋…＋Ceq\o\al(1009,2019))＝2020×eq\f(22019,2)＝2020×22018.答案：2020×2201813．已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，若a0＋a1＋…＋an＝62，則logn25等于________．解析：令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n＝eq\f(22n－1,2－1)＝2n＋1－2＝62，解得n＝5，所以logn25＝2.答案：214．(2021·青島模擬)已知(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，設Sn＝a0＋a1＋a2＋…＋an，數列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,Sn)))的前n項和為Tn，當|Tn－1|≤eq\f(1,2020)時，n的最小整數值為________．解析：因為(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)，令x＝1，得Sn＝a0＋a1＋a2＋…＋an＝2n，所以eq\f(1,Sn)＝eq\f(1,2n)，所以Tn＝eq\f(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n))),1－\f(1,2))＝1－eq\f(1,2n)，所以|Tn－1|≤eq\f(1,2020)即為eq\f(1,2n)≤eq\f(1,2020)，所以n≥11，即n的最小整數值為11.答案：1115．已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.解：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②(1)∵a0＝Ceq\o\al(0,7)＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝eq\f(－1－37,2)＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝eq\f(－1＋37,2)＝1093.(4)∵(1－2x)7展開式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.16．已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n的展開式中，前三項的系數成等差數列．(1)求n；(2)求展開式中的有理項；(3)求展開式中系數最大的項．解：(1)由二項展開式知，前三項的系數分別