1、機器人技術基礎第四章 機器人雅可比矩陣 (Manipulator Jacobian)課程的基本要求: 掌握運動和力雅可比矩陣的物理含義及基本的求解方法4.1雅雅可比比矩陣的的定義回顧：基基本概念念剛體位姿姿描述和和齊次變變換齊次坐標標,歐拉拉角與RPY 角齊次變換換和齊次次變換矩矩陣的運運算操作臂運運動學連桿參數數、連桿桿坐標系系連桿變換換和運動動學方程程機器人關關節空間間與操作作空間關節角位位置和操操作臂末末端的直直角坐標標位置關節空間間操作空間間運動學正正解運動學反反解關節角速速度和操操作臂末末端的直直角坐標標速度關節空間間操作空間間運動學正正解運動學反反解4.1雅雅可比比矩陣的的定義(J

2、acobianmatrix)操作空間間速度與與關節空空間速度度之間的的線性變變換。操作臂的雅可比矩陣 ，建立了從關節速度向操作速度的映射關系。進行機器人操作臂的速度分析。式中， 稱為末端在操作空間的廣義速度，簡稱為操作速度， 為關節速度； 是6n的偏導數矩陣，稱為操作臂的雅可比矩陣。它的第i行第j列元素為 ，i=1,2,6; j=1,2,n。操作臂的運動學方程，描述機器人操作臂的位移關系，建立了操作空間與關節空間的映射關系。剛體的齊次變換矩陣，描述剛體之間的空間位姿關系。假設矢量量yRm為uRn的函數y=y(u)y相對于于u的偏偏導數定定義為對于m=1,（標量對對矢量的的導數）根據上述述一般數

3、數學定義義，對于于6關節節機器人人：設有6個各含6個獨立變變量的函函數，簡簡寫為x=f(q)。求微分，注意，如如果函數數f1(q)到到f6(q)是是非線線性的，則是是q的的函數，寫成，式子子兩邊同同除以時時間的微微分，上式中，66的偏偏導數矩矩陣J(q)叫做雅可比矩矩陣。其其中機器人關關節數*雅可比比矩陣的的行數取取決于機機器人的的類型雅可比矩矩陣在機機器人中中的應用用可以把雅雅可比矩矩陣看作作是關節節的速度度變換到操操作速度度V的變變換矩陣陣在任何特特定時刻刻，q具有某一一特定值值，J(q)就是一一個線性性變換。在每一一新的時時刻，q已改變，線性變變換也因因之改變變，所以以雅可比比矩陣是是一

4、個時時變的線線性變換換矩陣。在機器人人學領域域內，通通常談到到的雅可可比矩陣陣是把關關節角速速度和操操作臂末末端的直直角坐標標速度聯聯系在一一起的。必須注意意到，對于任何何給定的的操作臂臂的結構構和外形形，關節節速度是是和操作作臂末端端的直角角坐標速速度成線線性關系系，但這這只是一一個瞬間間關系。(x,y)21xyl1l2例4.1將平面2R機械械手的運運動學方方程兩端端分別對對時間t求導,則得其其雅可比比矩陣為為平面2R機械手手的運動動學方程程為對于關節節空間的的某些形形位q，操作臂臂的雅可可比矩陣陣的秩減減少、這這些形位位稱為操操作臂的的奇異形形位：操作臂的的雅可比比矩陣的的秩減少少的形位位

5、（數學學上）操作臂在在操作空空間的自自由度將將減少（物理上上）(singularconfiguration)(x,y)21xyl1l2例4.1可利用雅雅可比矩矩陣的行行列式判判別奇異異形位當290或或20時,機械手手的雅可可比行列列式為0矩陣陣的秩為為1，因因而處于于奇異狀狀態。從從幾何上上看機械械手完全全伸直(20)或或完全縮縮回(2180)時，機械手手末端喪喪失了徑徑向自由由度僅僅能沿切切向運動動，在奇奇異形位位時，機機械手在在操作空空間的自自由度將將減少。例4.2如如圖所示示為了了實現平平面2R機械手手末端沿沿x0軸以lm/s的速度度運動，求相應應的關節節速度解：由可可以以看出，只要機機

6、械手的的雅可比比J(q)是滿秩秩的方陣陣,相應應的關節節速度即即可解出出對于平面面2R機機械手，運動學學方程為為平面2R機械手手的速度度反解例4.2如如圖所示示為了了實現平平面2R機械手手末端沿沿x0軸以lm/s的速度度運動，求相應應的關節節速度解：雅可可比J(q)為為于是得到到與末端端速度相相應應的關節節速度反解為逆雅可比比可為討論：機機械手接接近奇異異形位時時，關節節速度將將趨于無無窮大。當20；2180時，機機械手在在水平位位置，例：物理理仿真中中的雅可可比矩陣陣約束函數數C(x),單位圓上上的質點點位置約約束為一般情況況下，采采用位姿姿矢量q聚合表達達n個粒粒子的位位置。在在3D空空間

7、，矢矢量長度度為3n。考慮慮位置約約束C是一個關關于位姿姿矢量q的未知知函數，則速度度約束 矩陣被被稱稱作C的雅可比比矩陣，記作J。為了進進行物理理仿真，求微分分，根據力力學關系系，建立立微分約約束方程程，基于于物理仿仿真。例子2：立體視視覺雅可可比矩陣陣兩只CCD攝像像機任意意的安裝裝在機器器人手腕腕上，形形成手眼眼機器人人立體視視覺系統統。Xc,Yc,Zc為攝像像機坐標標系，x,y為圖像像坐標系系，CO為攝攝像機焦焦距fXw,Yw,Zw為世界界坐標系系，則根據上述述透視投投影關系系,得到到以世界坐標標系表示示的P點點坐標與與其投影點p的坐標標(x,y)的的關系：scene pointopt

8、ical centerimage planeyxXcYcCOpP(Xc, Yc, Zc)ZcXwYwZwW攝像機成成像模型型對上式兩兩邊求導導，得：為世界坐坐標系到到圖像坐坐標系的的雅可比比映射矩矩陣，它它是攝像像機內外外參數的的函數。進一步步，經過過立體視視覺攝像像機定標標，得到到：其中，=，k代表攝像像機1，2。上式為為手眼機機器人跟跟蹤系統統的視覺覺伺服控控制方程程。如果物體體在世界界坐標系系下的速速度已已知，根據采采樣時間間步長t，前前一幀圖圖像位置置x(k)，根據據上式可可以估計計下一幀幀圖像位位置x(k+1)，則可通過過控制攝攝像機位位姿，可可以實現現對目標標的跟蹤蹤。4.2微微分

9、運運動與廣廣義速度度4.2微微分運運動與廣廣義速度度剛體或坐坐標系的的微分運運動包含含微分移移動矢量量d和微分轉轉動矢量量。前者由沿沿三個坐坐標軸的的微分移動動組成；后者又又繞三個個坐標軸軸的微分分轉動組組成，即即將兩者合合并為6維列矢矢量D，稱為剛剛體或坐坐標系的的微分運運動矢量量：相應地，剛體或或坐標系系的廣義義速度V是由線速速度v,組成的6維矢量量： d微分運動動D和廣義速速度V是相對于于參考坐坐標系而而言的。例如，相對于于坐標系系T而言，用用，表表示示。d若相對于于基坐標標系的微微分運動動為D，則相對于于坐標系系T的微分分運動為為Tpnoa注意：D的微分位位移和旋旋轉應看看作通過過基坐

10、標標系的原原點的矢矢量。合并寫為為對于任何何三維矢矢量p=px，py，pzT，其反對對稱矩陣陣S(p)定義為為S(p)是一個個叉積算算子，易易證S(p)=p,S(p)=(p)T微分位移移的變換換簡寫為為式中,R=n,o,a是是旋轉矩矩陣。相應地，廣義速速度V的的坐標標變換為為任意兩坐坐標系A,B之間廣廣義速度度的坐標標變換為為4.3雅雅可比比矩陣的的構造法法雅可比矩矩陣J(q)既可看成成是從關關節空間間向操作作空間速速度傳遞遞的線性性關系，也可看看成是微微分運動動轉換的的線性關關系，即即對n個關關節的機機器人，J的每一列列代表相相應的關關節速度度對于手手爪線速速度和角角速度的的傳遞比比。因此此

11、，可將將雅可比比矩陣分分塊為4.3雅雅可比比矩陣的的構造法法關節速度度線速度角速度關節1速速度引起起手爪的的線速度度下面采用用構造性性的方法法直接構構造出各各項Jti和JaiWhitney基于運運動坐標標系的概概念提出出求機器器人雅可可比的矢矢量積方方法。如如圖所示示,末端端手爪的的線速度度v和角速度度與關節速速度有有關（1）對對于移動關節i,（2）對對于轉動關節i,標量矢量矢量積方方法其中，表示手爪爪坐標原原點相對對坐標系系i的位置置矢量在在基坐標標系o 中的的表示。zi是坐標系系i的z軸單位向向量(在在基坐標標系o表示的的)。用矢量積積方法計計算J(q)由于PUMA560的6個個關節都都是

12、轉動動關節因此其其雅可比比具有下下列形式式：4.4PUMA560的雅雅可比矩矩陣4.5力力雅可可比機器人與與外界環環境相互互作用時時，在接接觸的地地方要產產生力f和力矩n，統稱為為末端廣廣義(操操作)力力矢量。記為例如，操操作臂提取重物物時承受受的外載載作用力力和力矩矩；抓手手對被抓抓物體的的作用力力和力矩矩；多足足步行機機構與地地面的作作用力和和力矩。在靜止止狀態下下，廣義義操作力力矢量f應與各關關節的驅驅動力(或力矩矩)相平平衡。n個關節的的驅動力力(或力力矩)組組成的n維矢量量稱為關關節力矢矢量預備知識識操作器的靜靜力利用虛功功原理可以導導出關節節力矢量量與相應的的廣義操操作力矢矢量F之

13、之間的關關系。令令各關節節的虛位位移為qi，末端執執行器相相應的虛虛位移為為D。所所謂虛位位移，是是滿足機機械系統統幾何約約束的無無限小位位移。各各關節所所作的虛虛功之和和WTq與末端執執行器所所作的虛虛功WFTDfTd+nT應該相等等(總的的虛功為為零)，即將代代入入上式可可得出操作臂的的力靜態態平衡4.5力力雅可可比式中，JT(q)稱為操作作臂的力力雅可比比。它表表示在靜靜態平衡衡狀態下下，操作作力向關關節力映映射的線線性關系系。上式式也表示示操作臂臂的力雅雅可比就就是它的的(運動動)雅可可比的轉轉置。因因此可以以看出操作臂臂的靜力力傳遞關關系與速速度傳遞遞關系緊緊密相關關。具有有對偶性性

14、。操作臂的的力雅可可比表示示在靜態態平衡狀狀態下，操作力力向關節節力映射射的線性性關系。當J(q)退化化時(即即秩虧)，操作作臂處于于奇異形形位。J(q)的零空空間N(J(q)表示示不產生生操作速速度的關關節速度度的集合合。靜力映射射的零空空間N(JT(q)代表表不需要要任何關關節驅動動力(矩矩)而能能承受的的所有操操作力的的集合，末端操操作力完完全由機機構本身身承受。而值域域空間R(JT(q)則表示示操作力力能平衡衡的所有有關節力力矢量的的集合。根據線性性代數的的有關知知識，零零空間N(J(q)是值值空間R(JT(q)在n維關節節空間的的正交補補，即對對于任何何非零的的N(J(q)，則則有R

15、(JT(q)；反反之亦然然。其物物理含義義是，在在不產生生操作速速度的這這些關節節速度方方向上，關節力力矩不能能被操作作力所平平衡。為為了使操操作臂保保持靜止止不動，在零空空間N(J(q)的的關節力力矢量必必須為零零。在m維操操作空間間中存在在著相似似的對偶偶關系。R(J(q)是N(JT(q) 在操操作空間間的正交交補。因此，不不能由關關節運動動產生的的這些操操作運動動的方向向恰恰正正是不需要關節節力矩來來平衡的的操作力力的方向向。反之之，若外外力作用用的方向向是沿著著末端執執行器能能夠運動動的方向向，則外外力完全全可以由由關節力力(矩)來平衡衡。當雅雅可比J(q)退化時時，操作作臂處于于奇異

16、形形位，零零空間N(JT(q)不只包包含0，因而外外力可能能承受在在操作臂臂機構本本身上。利用瞬時時運動和和靜力的的對偶關關系，可可以從瞬瞬時運動動關系推推導出相相應的靜靜力關系系。由式式(4.18)可以導導出兩坐坐標系A和和B之間廣廣義操作作力的坐坐標變換換關系例：雙連桿桿平面機機器人(p48, 55-56)：雙連桿操操作器4.5雅雅可比比的奇異異性和靈靈巧度一、雅可比的奇奇異性操作臂的的雅可比比依賴于于形位q，關節空空間的奇奇異形位位q定義為操操作臂6n的雅可比比的秩不不是滿秩秩的這些些關節矢矢量q，即滿足足相應的操操作空間間中的點點xx(q)為工作作空間的的奇異點點。在奇奇異形位位處，操

17、操作臂喪喪失一個個或多個個操作自自由度。粗略地地講，機機器人的的奇異形形位分為為兩類：(1)邊邊界奇異異形位；(2)內內部奇異異形位。二、速度度反解機器人在在執行某某一特定定任務時時，所需需抓手獨獨立運動動參數的的數目m隨任務的的性質而而異，最最多為6，有些些則小于于6，例例如弧焊焊、噴漆漆等有對對稱軸線線，獨立立運動參參數是5個；帶帶球形測測頭的機機器人需需要3個個獨立運運動參數數；用于于圓柱銑銑刀加工工的需要要4個獨獨立運動動參數。用于端端銑刀的的需要4個獨立立運動參參數，用用于平面面作業的的機器人人需要3個獨立立運動參參數。獨獨立運動動參數的的數目即即為操作作空間的的維數m(1)當當Mn

18、，且J(q)是滿秧秧時，機機器人具具有冗余余自由度度，冗余余度定義義為dim(N(J)(2)當當Mn，且J(q)是滿秩秩的，稱稱為滿自自由度；(3)當當Mn，機器器人是欠欠自由度度的。對于滿自自由度的的機器人人，J(q)是是方陣，一般情情況下，根據操操作速度度，可可以反解解出相應應的關節節速度。只是在在奇異形形位時，逆雅可可比J-1(q)不不存在，速度反反解可能能不存在在。并且且，在奇奇異點附附近J(q)矩矩陣是病病態的，反解的的關節速速度矢量量可能趨趨于無限限大。操操作臂的的運動性性能和動動態性能能變壞。實際上上，若雅雅可比J(q)是滿秩秩方陣時時，操作作臂運動動方程的的速度反反解為雅可比矩

19、矩陣的秩秩若J是方陣，且非奇奇異，求求逆運算算對于冗余余度機器器人，其其雅可比比的列數數多于行行數即即nm。當J(q)是滿秩秩的時，冗余度度為dim(N(J(q)=nm0其運動方方程(4.2)的速度度反解不不唯一，解集合合所包含含的任意意參數的的數目等等于冗余余度dim(N(J(q)。其通通解可表表示為式中，是是方方程(4.2)的一特特解;是是J(q)零空間間的任意意矢量，k是任意常常數.冗余度機機器人對對于避免免碰撞，避開奇奇異狀態態，增加加操作臂臂的靈巧巧性，改改善動態態性能會會帶來好好處。若其中是J的廣義逆逆操作臂雅雅可比的的奇異性性定性地地描述了了操作臂臂的運動動靈巧性性和運動動性能。

20、為了定定量分析析操作臂臂的靈巧巧性和速速度反解解的精度度，提出出了許多多度量指指標。所所有這些些指標在在概念上上都與雅雅可比的的奇異值值有關。根據矩矩陣的奇奇異值分分解理論論，對操操作臂在在任意形形位的雅雅可比J(q)進行奇奇異值分分解，即即式中，為為正交交矩陣，而式中，12m0為為J的奇奇異值。三、雅可可比矩陣陣的奇異異值分解解1.條件件數四、靈巧巧性度量量指標最大奇異異值最小奇異異值2.最最小奇異異值操作臂形形位具有有各向同同性操作臂終終端對于于關節運運動的響響應越快快。3可操操作性(可操作作度)小節計算雅克克比速度映射射力映射作業：4.4,4.5,4.154.7剛剛度和和變形機械臂在在外

21、力作作用下發發生變形形，與操操作臂剛剛度和作作用力矢矢量有關關。剛度是影影響動態態特性和和定位精精度的主主要因素素。主要來源源：連桿桿變形、連桿支支撐和關關節驅動動裝置。機器人關關節變形形的一個個直接影影響是引引起末端端的靜態態變形誤誤差。在在機器人人的自重重和外部部負載的的作用下下，各關關節會發發生相應應的變形形，而這這種變形形又會累累積到機機器人的的末端。對串聯聯機器人人，這種種作用尤尤為明顯顯。對于絕大大多數工工業機器器人，連連桿臂的的剛度足足夠大，機器人人的彈性性變形主主要體現現在組成成關節的的傳動部部件上。關節變形形主要是是由傳動動件產生生，如諧諧波齒輪輪，齒輪輪箱，傳傳動帶，長轉軸軸。連桿桿變形則則主要是是機械臂臂的結構構剛度不不足引起起的。轉子扭扭簧模型型操作剛度度建模為操作柔柔度矩陣陣為操作剛剛度矩陣陣在關節處處附加一一個彈簧簧，其彈彈性系數數為k。稱k為關節剛剛度，稱稱k的倒數c為關節柔柔度。設各關節節剛度為為kqi，在外力力F的作用下下，末端端的變形形為X，各關節節的彈性性變形為為dqi。模態分析析結果4.8誤誤差標標定和補補償要對機器器人位姿姿和軌跡跡誤差進進行補償償，