1、初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)專題最值問題是數(shù)學(xué)競賽中考試的重要內(nèi)容之一，任何一級、任何一年的競賽都是必考內(nèi)容。現(xiàn)根據(jù)我在輔導(dǎo)學(xué)生過程中的體會歸納整理如下：（一）根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求最值。1.若M=（x土a）2+b，則當(dāng)x土a二0M有最小值b。2.若M=（x土a+b，則當(dāng)x土a二0M有最大值b。3.用（a士b）20，|a|0，0的方法解題。【說明：這里用到的很重要的思想方法是配方法和整體代換思想。】例題（1）、若實(shí)數(shù)a，b，c滿足a2+b2+c2=9，則代數(shù)式（ab）2+（bc）2+（ca）2的最大值是（）A.27B、18C、15D、12解：（ab）2+（bc）2+（ca）2=2（a2+b2+c2）2ab2b

2、c2ca=3（a2+b2+c2）a2b2c22ab2bc2ca=3（a2+b2+c2）（a2+b2+c22ab2bc2ca）=3（a2+b2+c2）（a+b+c）2=27（a+b+c）2W27.*.*a2+b2+c2二9,a,b,c不全為0。當(dāng)且僅當(dāng)a+b+c=0時原式的最大值為27。【說明，本例的關(guān)鍵是劃線部份的變換，采用加減（a2+b2+c2）后用完全平方式。】例題（2）、如果對于不小于8的自然數(shù)N，當(dāng)3N+1是一個完全平方數(shù)時，N+1都能表示成K個完全平方數(shù)的和，那么K的最小值是（）A、1B、2C、3D、4解：設(shè)J3N+1是完全平方數(shù)，設(shè)3N+1=X2（N三8），則3不能整除X,所以X可

3、以表示成3P1的形式。3N+1=（3P1）2=9P26P+1=3X22X+1=X2+X2+（X1）2。即3N+1能夠表示成三個完全平方數(shù)的和。所以K的最小值為3。選C。【說明，本例的關(guān)鍵是如何把3X2拆成X2+X2+X2，然后配方求解。】TOC o 1-5 h z例題（3）、設(shè)a、b為實(shí)數(shù)，那么a2+ab+b2a2b的最小值是。解：a2abb2a2b=a2(b1)ab22b331a2(b1)a()2+b2a2(b1)a(424=(a+3=(a+3)2+4(b1)21上1只有當(dāng)a+耳=0且b1=0時，即a=0,b=1時取等號。所以原式的最小值是一1。注意：做這一類題的關(guān)鍵是先按一個字母降冪排列，

4、然后配方。】例題（4）、已知實(shí)數(shù)a、b滿足a2+ab+b2=1,貝Va2ab+b2的最小值和最大值的和是解：設(shè)a2ab+b2解：設(shè)a2ab+b2=K,與a2+ab+b2=1聯(lián)立方程組,解得：a2+b2=2(1+K),ab=2(1K)。*.*(a+b)20,11a2+b2+2ab=(1+K)+2X(1K)三0,KW3.J(ab)21111三0,a2+b22ab=2（1+K）2X刁（1一K）20,.K三3-得3WKW3。所11以a2ab+b2的最小值是3，最大值是3，這兩個值的和是33。【本題的關(guān)鍵在于直接運(yùn)用（a土b）2三0】TOC o 1-5 h z例題5、若a、b滿足3+5IbI=7，則S=

5、2扁3Ib丨的最大值為，最小值為。解：聯(lián)立3Ja+5|b|=7和S=2匸3|b|兩式，解得19、=21+5S，19|b|=143S。廠211419a三0,.21+5S20,S三一丁。.19丨b丨三0,143S20,AS,得一 HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 211414210,則函數(shù)Y=站X+我+【X+X+2的最小值。解：原式=+護(hù)=伐+咅+我+左上=2+2=4。所以原式的最小值是解：原式=+護(hù)=伐+咅+我+左上=2+2=4。所以原式的最小值是4。【說明：這個公式的來源是由（ab）20直接推出的。例題（7、已知a、b、c、d均為實(shí)數(shù)，且a+b

6、+c+d=416a2+b2+c2+d2=-3的最小值與最大值。解：.a+b+c+d=4,b+c+d=4-a,(b+c+d)2=b2+c2+d2+2bc+2cd+2bdWb2+c2+d2+(b2+c2)+(c2+d2)+(d2+b2)=3(b2+c2+d2)b+c+d=4a,(b+c+d)2=(4a)2.16+C2+d2二-316.b2+c2+d2=a2316(4a)2W3X(a2)，化簡得a(a2)W0a2+b2,解得0WaW2。Aa的最小值是0，a的最大值是2。【說明，本例的關(guān)鍵是劃線部份的變換逆用了a2+b22ab,從而達(dá)到了把（b+c+d）以及b2+c2+d2都用a替換的目的。】（三）、

7、用一元二次方程根的判別式A=b24ac（結(jié)合韋達(dá)定理）求最值。例題（8）、已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=2，abc=4，求a、b、c中最大者的最小值；求Ia|+|b|+|cI的最小值。4解：，設(shè)a為最大者，則由題意得b+c=2a,bc二,由韋達(dá)定理得b、c是關(guān)于X的二a次方程X2(2a)X+次方程X2(2a)X+-=0的兩個實(shí)數(shù)根。=aa解因式得(a2+4)(a4)三4,a三4。所以最大數(shù)a的最小值是4。【即當(dāng)b=c=-1時a取最小值。劃線部份轉(zhuǎn)化為二次方程根與系數(shù)關(guān)系是關(guān)鍵。另外設(shè)a、b、c哪個最大是等價(jià)的。】、由知最大數(shù)a的最小值為4,所以a、b、c不可能全為正，那么只可能是兩負(fù)一正，

8、若a為正，則b、c均為負(fù)，.丨a丨+丨b丨+丨c丨二abc=2a20,.a三4,|a|+|b|+|c|三6.*.|aI+Ib|+|c|的最小值是6。3X2+6X+5例題(9)、求函數(shù)Y=的最小值。-X2+X+121解：原式可化為(-X2+X+I)Y=3X2+6X+5，整理得(6Y)X2+(122Y)X+C10厶2Y)=0，因?yàn)閄的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，所以關(guān)于X的二次方程有實(shí)數(shù)根，.:=(122Y)24X(6Y)(102Y)=4Y2+40Y9620。即丫210Y+24W0，由(Y4)(Y6)0,解得m1,且已知m是不小于一1的實(shí)數(shù)，一1Wm1。由韋達(dá)定理得：X+X=2(2-m),XX=m23m+

9、3,=2(m23m+1)=2(mmX2mX2mX+X2XXXX(X+X)+2=121_21_=2(m23m+1)=2(m1X1XXX(X+X)+11212123）22.y是關(guān)于m的二次函數(shù)，對稱軸為直線m=|，在對稱軸左側(cè)，y隨m的增大而減小，因?yàn)橐?Wm1,所以當(dāng)m=1時，y的最大值是10,.原代數(shù)式的最大值是10。【說明：二次函數(shù)最值的確定，要根據(jù)自變量的取值范圍來確定，當(dāng)自變量的變化范圍是一個閉區(qū)間時，它一定有最大和最小值，若是半閉半開區(qū)間時，它只能有一個最大或最小值，這個最值不一定在頂點(diǎn)取得；若是開區(qū)間則由頂點(diǎn)位置確定最值。】六）、用軸對稱變換法求最值。（見本人另文，這里不再舉例）。七

10、）、用方程組消元（也稱主元代換法），再用不等式組確定字母取值范圍，在字母約束條件下求最值。例題（17）、已知三個非負(fù)數(shù)a、b、c滿足3a+2b+c=5,2a+b3c=1,若Q=3a+b7c，求Q的最大和最小值。解：由已知條件3a+2b+c=5，2a+b3c=1得a=7c3,b=11c+7,.Q=3cQ+237從而c=|.a、b都是非負(fù)數(shù)，.7c3三0,11c+7三0,7WcW譏,5WQW+Q的最大值是一1/11,Q的最小值是一5/7。【本例先用c代換a、b，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)確定c的允許值范圍，在c的約束下求Q的值域,確定Q的最大、最小值。】八）、用不等式性質(zhì)和整體代換思想求最值。例題（18）、已

11、知X，X，X，X，X，X，X為自然數(shù)，且XXX-XX，又XTOC o 1-5 h z1234567123671+XHX+X=159,則X+X+X的最大值是。267123解：XXXX，且它們均是自然數(shù)，X三X+1三-X+52X+6；X三126776216X+5,，X三X+1；7X+（1+25+6）WX+X+X+X=159,7XW138,1211126715XW19,X的最大值是19。同理6X+（1+25）WX+X+X=140,X17122372W20,X2的最大值是20；-,兀的最大值是22oAXx+X2+X3的最大值是61。九）、用圖形的旋轉(zhuǎn)法求最值。例題（19）、如圖（2-1）,P為正三角形

12、外一點(diǎn)，且不與A、B在同一直線上，AP=2,BP=3,當(dāng)此三角形的邊長、位置都可改變時，PC的長能否取到最大值？若能取到，求出這個最大值；若不能取到，請說明理由。解：把AAPB繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)600,使AB與AC重合，得ACP,連結(jié)PP,則厶APP：是正三角形，PP=AP=AP=2,PC=PB=3，當(dāng)P、P、C不在一直線上時，PCPP+PC=2+3=5,只有當(dāng)p、c在一直線上時，pc之間的距離在到最大值，11這個最大值是PP1+P1C=5。十）、用整數(shù)的性質(zhì)求最值。例題（20）、若對于n三2存在整數(shù)a,a，a使得a+a+a=aaa=1990,則12n12n12nn的最小值是。解：由于1990是

13、偶數(shù)，且只能被2整除，所以由aaa=1990知a,a,a中只有一個偶12n12n數(shù)；又由a+aa=1990是偶數(shù)知，在a,a,a中有偶數(shù)個奇數(shù)。因?yàn)閚2，所12n12n以n必是大于等于3的奇數(shù)。當(dāng)n=3時，,由a當(dāng)n=3時，,由a1+a2+a3=1990,知三1990結(jié)合aaa123=1990得a=1990,或者a=995，從而找不到a,a滿足條件；當(dāng)n=5時，可取a=1990,a=a=1,a=a=1,滿足12312345條件。所以n的最小值是5o十一）、用數(shù)學(xué)建模求應(yīng)用題的最值。例題（21）、某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年的市場行情知，從二月一日起的250天內(nèi)，西紅柿的市場售價(jià)P與上市時間t的

14、關(guān)系用圖（3-1）中的一條線段表示；西紅柿的種植成本Q與上市時間t的關(guān)系可用圖（3-2）中的拋物線來表示。（市場售價(jià)P和種植成本Q的單位:元/102kg，時間單位：天）（若認(rèn)定“市場售價(jià)一種植成本=純收益”問何時上市的西紅柿純收益最大？解：如圖(3-1)得函數(shù)關(guān)系式為：P=300t(OWtW250).1如圖(3-2)得函數(shù)關(guān)系式為：Q=200(t150)2+100(0WtW250).1純收益S=PQ=-0-(t50)2+100即從二月一日開始的第50天上市西紅柿的純收益最大。【說明：此類生活中的數(shù)學(xué)問題，具有強(qiáng)烈的時代氣息，來源于生活生產(chǎn)實(shí)際，是近年來各級各類競賽考試的熱門試題，綜合性強(qiáng)，知識

15、的涉及點(diǎn)多，知識的應(yīng)用要求高，在輔導(dǎo)中要引起重視。】(十二)、練習(xí)題：1、已知：a0，且；b24ac=b22ac，求b24ac的最小值。【把已知條件兩邊平方后得ac=b1,代入b24ac就能求得最小值4。】2、已知在直角坐標(biāo)系中有三點(diǎn)A(0,1)、B(1,3)、C(2,6),直線Y=aX+b上橫坐標(biāo)為0、1、2的三點(diǎn)為D、E、F,試求a、b的值，使DA2+EB2+FC2取得最小值。【把D、E、F三點(diǎn)的縱坐標(biāo)用含a、b的代數(shù)式表示，然后把DA2+EB2+FC2用含a、b的二次式表示，配方后求出最小值。當(dāng)a=5/2,b=5/6,最小什為1/6。】3、設(shè)X,X2是關(guān)于X的方程X2+aX+a=2的兩個

16、實(shí)數(shù)根，貝9(X廠2兀)(兀一2X/的最大值為。4、求函數(shù)Y=X4+X2+1的最小值。3Y=(X2+1)2+，當(dāng)X=0時Y最小值是1。45、四邊形ABCD的面積為32,AB、CD、AC的長都是整數(shù)，且它們的和為16,這樣的四邊形有幾個？這樣的四邊形邊長的平方和的最小值是多少？【先由AB=a、CD=b、AC=m都是正整數(shù)，且四邊形ABCD面積=三角形ABC面積+三角形ACD面積=1/2ah+1/2bhW1/2(a+b)m,當(dāng)且僅當(dāng)h=h=m時等號成立，這時ABHCD，即四邊abab形ABCD為平行四邊形或梯形，且AC是高。又從(a+b)m三32,a+b+m=16得滿足條件的四種情況。】6、設(shè)實(shí)數(shù)

17、a,b滿足a2bc8a+7=0b2+c2+bc6a+6=0,則a的最大值與最小值的和是。【先由原方程組求出b2+c2,bc用a表示的代數(shù)式，再由(bc)20解不等式a210a+9W0求得lWaW9,所以a的最大值為9,最小值為1。】如果a,b,c是實(shí)數(shù)，且滿足關(guān)系式b2+c2=2a2+16a+14與bc=a24a5,那么a的最大值與最小值的和是.【用(b-c)20】TOC o 1-5 h z若M=(X+1)(X+2)(X+3)(X+4)+50,則M的最小值是.若M=4X2-12XY+10Y2+4Y+9，則當(dāng)X=Y=時M的值最小，M的最小值為。正實(shí)數(shù)X、Y、Z滿足XY+YZ=10，則X2+5Y2

18、+4Z2的最小值是。【由XY+YZ=10得4XY+4YZ=40，則X2+5Y2+4Z2=(X-2Y)2+(Y-2Z)2+40,當(dāng)X=2Y且Y=2Z時原代數(shù)式有最小值40。】實(shí)數(shù)P、Q、R滿足P+Q+R=5,PQ+QR+RP=3，則R的最大值是。【令P=(5-R)/2+d,Q=(5-R)/2d,代入PQ+QR+RP=3得3R210R13=-4d2，解不等式3R2-10R-13W0得R的最大值是13/3。也可用/法解。】若X為正實(shí)數(shù)，求Y=X2X+的最小值。X【Y=(X-1)2+(/X-)2+1,當(dāng)X=1時Y有最小值1。】7、8、9、10、111213141516171819、已知那么代數(shù)式石+的

19、最小值是若X已知那么代數(shù)式石+的最小值是若X0,則函數(shù)y=3x+：x+-+2x的最小值是1+X2+x4：1+x4右xM0，貝yy=的最大值是xy=1+1+x2+x4+；1+x4x2+丄+1+：I1x2已知函數(shù)y=x2+(a-1)x+2a2-2a-100,且存在實(shí)數(shù)x,使得yW0,則滿足條件的最大整數(shù)a的值是。【/三0】!5x22&5x+7,，一,若x為實(shí)數(shù)，求函數(shù)y=的最小值。x+1【用根的判別式，16乖。3x2+3x+4求函數(shù)y=的最大值。【13/3】x2+x+1已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0,abc=8,且c0,則c的最小值是【用韋達(dá)定理和根的判別式，234】20、212223242

20、5、26、27、28、29、已知x,y,z是實(shí)數(shù)，并且滿足x+y+z=0,xyz=2,則z的最小值是,|x|+|y|+丨z丨最小值是。【用/法，結(jié)果為2、4】在四邊形ABCD中，AD=DC=l,ZDAB=ZDCB=9Oo,BC,AD的延長線交于P,求ABS的ABP最小值。【設(shè)PD=x,得ABS=孚嗎=y,用/法求得最小值是2-J3。】ABP2(x-1)2x153x已知一312x2，求丨x-1丨-丨x+3丨最大值和最小值。【4,-36/11。】設(shè)x為實(shí)數(shù)，y=Ix+2l+lx-4|，求y取最小值時的所有實(shí)數(shù)x。【-2WxW4。】已知y=Ix-1I-I2xl+lx+2I，且-2WxW1,則y的最大

21、值與最小值的和是()A.0B.2C.4D.5【選B】m-2I+Im-4I+Im-6I+Im-8I最小值是()A.4B.6C.8D.12【選B】設(shè)a為實(shí)數(shù)，若二次函數(shù)y=x2-4ax+5a23a的最小值為m,當(dāng)a滿足0Wa2-4a-2W10時，求m的最大值。【由0Wa2-4a-2W10得2+、：6WaW6或-2WaW2-、：6，求得m的最大值為18。】設(shè)P是實(shí)數(shù),二次函數(shù)y=x22Px-P的圖像與X軸有兩個不同交點(diǎn)A(x1,0)、(x2,0),若A、B兩點(diǎn)之間的距離不超過I2P-3I，求P的最大值。【9/16】12印刷一張矩形廣告，它的印刷部份的面積是32dm2,上、下各空白1dm，兩邊各空白0

22、.5dm,設(shè)印刷部份從上到下的長度是xdm,四周空白處的面積為Sdm2,要使四周空白處的面積最小、!_1這張矩形廣告紙的長和寬各是多少？【用/法或x+1/x22yx，長是9dm,寬是6dm.】x在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(4,-V3),且在X軸上截得的線段AB長為6,請?jiān)赮軸上求一點(diǎn)P,(不寫作法)使PA+PB的值最小，并求P點(diǎn)坐標(biāo)。【軸對稱法,2*7】30、平面直角坐標(biāo)系中，有點(diǎn)P(-1,-2)和Q(4,2),取點(diǎn)R(1,m),求當(dāng)m為何值時,PR+QR有最小值。因?yàn)辄c(diǎn)P、Q在直線x=1的兩側(cè)，所以只要求出過點(diǎn)P、Q的直線方程，然后求直線PQ直線x=1的交點(diǎn)坐標(biāo)。m=-2/

23、5】31、若a,c,d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足a+b=c,b+c=d,c+d=a.那么a+b+c+d的最大值為（）A.-1B.-5C.0D.1【選B】32、已知x2+xy+y2=2,求x2-xy+y2的最大值和最小值。【6，1/3】33、已知a,b是正數(shù)，拋物線y=x2+ax+2b與y=x2+2bx+a都與x軸有公共點(diǎn)，則a2+b2的最小值是。【當(dāng)a=4，b=2時，最小值為20。】34、已知x,y,z是三個非負(fù)有理數(shù)，且滿足3x+2y+z=5,x+y+z=2,設(shè)S=2x+y-z,求S的最大和最小值。【把y、z用x表示，然后確定x的取值范圍，就可通過解不等式組求S的最值。】35、在4ABC中，

24、ZAWZCWZB，且2ZB=5ZAO求ZB的最大和最小值。【750，1000】36、圓周上依次相連排列著十個圓，要將1，2,3,，10這十個數(shù)分別填入十個圓圈內(nèi)，使任意連續(xù)相鄰的五個圓圈內(nèi)的數(shù)的和均不大于某個整數(shù)M,求M的最小值并完成你的填圖。【根據(jù)題意建立不等式組，確定MW27.5,M的最小值為28,填法有多種：如10，7,6,3,2，9,8,5,4,1就是一種。】37、如圖，ABC的邊AB=2,AC=3,IIIIII分別表示以AB、BC、AC為邊的正方形，則圖中陰影部分面積和的最大值是O【把三角形ECD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)900,得三角形ECF,點(diǎn)C為FA的中點(diǎn)，BCF的面積=ABC的面積，即

25、4ECF的面積=ABC的面積，所以陰影部分面積和=3AABC的面積。而4ABC的面積W1/2ACAB,只有當(dāng)ZBAC=900時等號成立。面積和的最大值為9。】38、ABC中，BC=a,AC=b，以AB為邊向ABC外作等邊厶ABD，問當(dāng)ZACB為多少度時，C、D兩點(diǎn)的距離最大？最大值是多少？若以AB為邊向外作正方形ABDE，問當(dāng)ZACB為多少度時，點(diǎn)C到正方形ABDE的中心0的距離最大？最大值是多少？BC圖(6-1BC圖(6-1)【如圖6-1,把ADBC繞點(diǎn)D逆時針旋轉(zhuǎn)600,點(diǎn)B與A重合，得DAEADBC,且厶DEC是等邊三角形，當(dāng)C、A、E三點(diǎn)共線時，CD的值最大。此時ZACB=120o,C

26、D的最大值是a+b.在圖6-2中，同理可得當(dāng)ZACB=900時，CO的最大距離為J2(a+b)。】39、將形狀為等腰三角形的鐵片改制成有一個內(nèi)角為450的平行四邊形，問怎樣做才能使材料的利用率最高？(接縫處材料損失不計(jì))【取AC、BC中點(diǎn)D、E,連結(jié)DE,把ACDE繞點(diǎn)E逆時針旋轉(zhuǎn)1800，得AEBF，則AEBF9AECD,這時四邊形ADFB是平行四邊形。它的面積就等于AABC的面積，材料利用率最高。】40、代數(shù)式rvz-rwy-suz+swx+tuy-tvx中,r、s、t、u、v、w、x、y、z可以取1或者-1。(1)證明代數(shù)式的值為偶數(shù)；(2)求這個代數(shù)式所能取到的最大值。【中六項(xiàng)的值均為1或-1，且個數(shù)同奇同偶，所以和必為偶數(shù)；C2六式相乘積為-(rstuv