1、第九章 二階常微分方程級數解法變換法 本征值問題9.2 特殊函數常微分方程9.1 正交曲線坐標系9.3 常點鄰域的級數解法9.4 正則奇點鄰域上的級數解法9.5 施圖姆劉維本征值問題對于圓的Dirichlet問題，其邊界條件若分離變量則但若選極坐標9.1 正交曲線坐標系邊界條件分離不出來則邊界條件能分離出來若以q1 , q2 , q3 正交坐標，則它與直角坐標的相互關系為如（1）、柱坐標1、 正交曲線坐標系（1）、柱坐標其中（2）、球坐標其中（1）、柱坐標2、 正交曲線坐標系中的 u直角坐標系中類似有上面第一式兩邊除以 2在柱坐標系中直角坐標系中在柱坐標系中直角坐標系中在極坐標系中（2）、球坐

2、標系中9.2 特殊函數常微分方程（1）、球坐標系（一）、Laplace方程 u=0首先試圖將此變量變r與 和 分離代入令化簡為兩個方程兩邊除以R，Y，乘以r2上邊第一式化為是歐拉型常數方程，令稱為球函數方程稱為球函數方程令接著試圖將變量 和 分離代入用除以兩邊用除以兩邊令令令令令該方程稱為連帶勒讓德方程如 m=0稱為勒讓德方程球坐標系連帶勒讓德方程代入稱為球函數方程（2）、柱坐標系試圖將變量變 與 和 z 分離代入用除以兩邊代入令令用除以兩邊代入令令令即即稱為貝塞爾方程即稱為虛宗量貝塞爾方程柱坐標系考慮三維波動方程 （二）、波動方程 首先試圖將時間變量t與空間變量r代入令簡化為令分解為第一個方

3、程的解為稱為亥姆霍茲方程考慮三維輸運方程 （三）、輸運方程 首先試圖將時間變量t與空間變量r代入令簡化為令分解為第一個方程的解為為亥姆霍茲方程（1）、球坐標系（三）、亥姆霍茲方程首先試圖將此變量變r與 和 分離代入兩邊除以R，Y，乘以r2令化簡為兩個方程上邊第一式化為這稱為 l 階球貝塞爾方程稱為球函數方程令若 k=0 l 階球貝塞爾方程退化為歐拉型方程 l 階球貝塞爾方程 l 階球貝塞爾方程為 l+1/2 階貝塞爾方程 l 階球貝塞爾方程連帶勒讓德方程（2）、柱坐標系試圖將變量變 與 和 z 分離代入用除以兩邊代入令令代入令令為 m 階貝塞爾方程令代入若為 m 階貝塞爾方程m 階球貝塞爾方程

4、退化為歐拉型方程為 m 階貝塞爾方程m 階貝塞爾方程退化為歐拉型方程例：輸電線影響帶電云層與地間的電場 柱外泛定方程導體為等勢體，不妨 u=0Laplace 方程在極坐標下的表達方程為邊界條件空間一點電勢為 u無限遠處，Ey=0, Ex=E0 即：泛定方程邊界條件解：令因為常微分方程為歐勒方程令則下面確定系數邊界條件邊界條件若導體原來不帶電D0=0邊界條件例：在圓域內求泊松方程邊值問題泊松方程由對稱性1）、尋找泊松方程的特解解：考慮令特解 v2）、泊松方程的轉化為邊界條件泊松方程為 Laplace 方程方程一般解圓域內代入邊界條件亥姆霍茲方程:球坐標:柱坐標:I、連帶勒讓德方程II、貝塞爾方程

5、虛宗貝塞爾方程l+1/2 階(l球階)貝塞爾方程注：（1）（實）貝塞爾方程：（2）：（3）統一形式：9.3 常點鄰域的級數解法(解析解)考慮二階常微分方程初始條件為可以用級數求更一般，對于復變函數 w(z)初始條件為z為復變函數, z0 為選定點，C0，C1為復常數9.3 常點鄰域的級數解法考慮二階常微分方程初始條件為Liouville公式：則是一個特解，也是一個與線性無關的特解。（1）、勒讓德方程的級數解即在 x0 =0的鄰域內解析, 可以用級數求勒讓德方程或令代入有即比較各次冪系數有從而可得外推外推將以上系數代入得其中將以上系數代入得其中（2）、解的收斂性利用達朗貝爾判別法有說明收斂說明發

6、散可以證明在（3）、勒讓德多項式由于勒讓德方程的級數解若能退化為多項式，則發散問題解決考慮到若取則 y0(x) 只到 x2n 項被稱為 l 階勒讓德多項式若取則 y0(x) 只到 x2n 項因為但可取則 y1(x)仍發散從而將l 限制在 0 或正整數，使“解在 x=1 保持有限“，稱為勒 讓德方程的自然邊界條件小結：連帶勒讓德方程在-1,1有解析解在（-1,1）有解析解考慮二階常微分方程9.4 正則奇點鄰域上的級數解法若 z0 是p(z)和 q(z)的奇點，z0 稱為方程的奇點，解也以方程為奇點，則在存在兩個線性獨立解或（一）、正則奇點鄰域上的級數解存在兩個線性獨立解或在若存在的兩個線性獨立解

7、為有限個負冪項，稱 z0 為方程的正則奇點考慮p(z)以z0為不高于一階極點，q(z)以z0為不高于二階極點，則可以證明 z0 為方程的正則奇點有或或其中 s1 和 s2 是如下判定方程的兩個根取若 s1 s2 整，則取第一個w2(z)等式，否則取第二個的證明代入的證明考慮z的最低冪次zs-2考慮階貝塞爾方程（二）、階貝塞爾方程p(z)以 x0=0 為一階極點，q(z)以 x0=0 為二階極點判定方程代入（1）、0階貝塞爾方程（階數不為整數或半奇數）考慮階貝塞爾方程代入先取 s1 =代入階貝塞爾方程先取 s1 =代入階貝塞爾方程即即比較各次冪系數有得其中而故只要 y=(x/2)2 有限，級數收

8、斂A:解的收斂性利用達朗貝爾判別法有故只要 x 有限，級數收斂B:貝塞爾函數有取稱為貝塞爾函數表示為階貝塞爾函數用同理有階貝塞爾方程的通解為J 和 J- 稱為第一類柱函數當 m時，J 和 J- 線性無關當 = m時，J 和 J- 線性相關證明如下：（2 )、整數 m 階貝塞爾方程令 k-m=l=0故當 = m時，J 和 J- 線性相關需要尋找另一與 Jm 無關的解 取階貝塞爾方程的一個特解為稱為階諾伊曼函數階諾伊曼函數為第二類柱函數階貝塞爾方程的通解可取為但當 = m時C為歐拉常數考慮(l+1/2)階貝塞爾方程取 l=0代入=1/2（3 )、（l+1/2)階貝塞爾方程1/2階貝塞爾函數1/2階

9、貝塞爾函數 s1 s2 = 1 第二個特解應為但可試著用 =-1/2代入貝塞爾函數與線性無關故J1/2 和 J-1/2 可作為 =1/2貝塞爾方程的線性獨立解 =1/2貝塞爾方程的通解為l+1/2貝塞爾函數為 s1 s2 = 2l+1 第二個特解應為但可試著用 =-(l+1/2)代入貝塞爾函數與線性無關 =l+1/2貝塞爾方程的通解為當 x0 時，（6）、x=0處的自然邊界條件剩下若研究區域含x=0，要去掉稱 x=0 處的具有自然邊界條件考慮階虛宗量貝塞爾方程（三）、虛宗量貝塞爾方程（1）、階虛宗量貝塞爾方程令為階貝塞爾方程和階諾伊曼函數令階虛宗量貝塞爾函數為實數階虛宗量貝塞爾方程的一般解為考

10、慮m階虛宗量貝塞爾方程（2）、整數m階虛宗量貝塞爾方程令為m階貝塞爾方程m階虛宗量貝塞爾函數為實數故要尋找另一個獨立解而m階虛宗量貝塞爾函數為實數小結：貝塞爾方程有解析解虛宗貝塞爾方程（nu非整數）l+1/2 階(l球階)貝塞爾方程（1）（實）貝塞爾方程：（2）：9.5 施圖姆劉維本征值問題（一）、施圖姆劉維本征值問題考慮形式為的帶參量的二階常微分方程，只有某些非零方程才有解，稱為本征值，對應的非零解稱為本征函數前面介紹的方程都屬于施圖姆劉維型方程（i)考慮貝塞爾方程（i) 貝塞爾方程注意：貝塞爾方程是在柱坐標系中代換得到的自然邊界條件（ii)勒讓德方程自然邊界條件（iii)連帶勒讓德方程自然邊界條件（iv)一般二階常微分方程邊界條件連帶勒讓德方程對于有自然邊界條件的情況貝塞爾方程勒讓德方程（二）、施圖姆劉維本征值問題的性質（1）、若k(x),k(x),q(x) 連續，或最多以x=a,x=b 為一階極點，則存在無限多本征值（2)、所有本征值均大于零對應有非零本征函數（3）、有帶全重 (x)