1、置信區間 ( Confidence Intervals )DefineMeasureAnalyzeImproveControlStep8-Data分析Step 9- Vital FewX的選定多變量研研究中心極限限定理假設檢驗驗置信區間間方差分析析，均值值檢驗卡方檢驗驗相關/回歸分析析Step7-Data收集路徑位置置理論課目錄置信區間間介紹總體均值值的置信信區間總體標準準差的置置信區間間Cp的置信區區間置信區間間例題抽樣估計計：根據樣本本提供的的信息對對總體的的某些特特征進行行估計或或推斷。估計量或或統計量量：用用來估計計總體特特征的的的樣本指指標；總體參數數：待估估計的總總體指標標。所以對

2、總總體數字字特征的的抽樣估估計也叫叫參數估估計。可分為：點估計計和區間間估計。總體樣本抽取樣本本零假設備擇假設設P-value預測總體體特征統計性推推斷總體參數數統計量參數估計計區間估計計：根據樣本本估計量量以一定定可靠程程度推斷斷總體參參數所在在的區間間范圍。這種估計計方法不不僅以樣樣本估計計量為依依據，而而且考慮慮了估計計量的分分布，所所以它能能給出估估計精度度，也能能說明估估計結果果的把握握程度。利用基于于統計學學的置信信區間來來量化樣樣本的不不確定性性設總體參參數為，L、U為樣本確確定的兩兩個樣本本量，對于給定定的（01），有P（L U）= 1- 則稱（L，U）為參數數的置信度度為1-

3、的置信區間間。該區間的的兩個端端點L、U分別稱為為置信下下限和置置信上限限，通稱為置置信限。為顯著性性水平；1-則稱為置置信度，置信區間間的定義義它表示區區間估計計的可靠靠程度或或把握程程度，也也即所估估計的區區間包含含總體真真實的可可能性。置信度為為1-的置信區區間也就就表示以以1-的可能性性（概率率）包含含了未知知總體參參數的區區間。置信區間間的直觀意義義為：若作多次次同樣的的抽樣，將得到到多個置置信區間間，那么么其中有有的區間間包含了了總體參參數的真真值，有有點區間間卻未包包含總體體參數的的真值。平均說說來，包包含總體體參數真真值的區區間有（1-）*100%，反之有有*100%的區間未未

4、包含總總體參數數真值。置信區間間的意義義絕大多數數情況下下，我們們計算95%的置信區區間(CI)這可解釋釋為100中中大約95的CI將包含總總體參數數，或者者我們95%確信總體體參數在在此區間間內反觀以前前，我們們看到大大約95%的樣樣本平均均在總體體平均的的2倍標標準差內內(正態分布布時Z=2s內的概率率約為95%.)如果我們們從一個個工程中中隨機抽抽取一個個樣本并并計算其其平均值值時，我們確信信其樣本本的均值值包含在在總體中中的概率率是95%.95%的置信區區間求參數置置信區間間時可參參考下面面的通用用格式：置信區間間=統計量K*（標準誤誤差）這里，統統計量=均值、方方差、Cp等K =基于

5、某統統計分布布的常數數置信區間間反映我我們的點點估計的的樣本與與樣本間間的散布布我們將考考慮如下下的置信信區間：1）總體均均值u的置信區區間；2）總體方方差的置信區區間；3）工程能能力Cp的置信區區間；4）總體比比例P的置信區區間；置信區間間介紹1-1）總體方方差已知時，正態態總體均均值的區區間估計計1）總體均均值的置置信區間間xZxZ-+aas()m/22xs()x一般公式式其中x稱為樣本本均值;稱為對應應于a/2的Z值;稱為抽樣樣平均誤誤差;稱為抽樣樣極限誤誤差(x)Za/2s( x )Za/2s( x )例題1 某企業從從長期實實踐得知知，其產產品直徑徑X是一個隨隨機變量量，服從從標準差

6、差為0.05的正態分分布。從從某日產產品中隨隨機抽取取6個，測得得其直徑徑分別為為14.8，15.3，15.1，15，14.7，15.1（單位：厘米）。在0.95的置信度度下，試試求該產產品直徑徑的均值值的置信信區間。 Minitab解法將題中的的6個數據輸輸入到Minitab中的C1列路徑：統統計基基本統計計單樣本Z輸入相關關參數（參考右右圖）輸出結果果：結論：該該產品直直徑的均均值置信信區間為為（14.96,15.04）cm平均值變量N平均值標標準準差標標準誤誤95%置信區間間C1615.00000.21910.0204(14.9600,15.0400)當樣本容容量相當當大時，即使總總體分

7、布布形式未未知或總總體為非非正態分分布，根根據定理理，樣本本均值近近似服從從正態分分布，因因此估計計總體均均值的方方法與上上述方法法相同；大樣本情情況下，當總體體方差未未知而用用樣本方方差代替替時，由由于t分布可用用正態分分布近似似，所以以對總體體均值的的估計也也采用上上述方法法。注意例題2 某企業生生產某種種產品的的工人有有1000人，某日日采用不不重復抽抽樣從中中隨機抽抽取100人調查他他們的當當日產量量，樣本本人均產產量為35件，產量量的樣本本標準差差為4.5件，試以以95.5%的置信度度估計平平均產量量的置信信區間。 Minitab解法打開Minitab路徑：統統計基基本統計計量單樣本

8、Z輸出結果果：結論：平平均產量量的均值值置信區區間為（34.0979,35.9021）件平均值N平均值標標準誤95.5%置信區間間10035.0000.450(34.098,35.902)輸入相關關參數（參考下下圖）1-2）總體方方差未知時，正態態總體均均值的區區間估計計（小樣樣本）一般公式式其中x稱為樣本本均值;稱為對應應于a/2，自由度為為n-1的的t值;稱為抽樣樣極限誤誤差(x)ta/2,n-1SSta/2,n-1sn例題3 某食品廠廠從一批批袋裝食食品中隨隨機抽取取10袋，測得得每袋重重量（單單位：克克）分別別為789、780、794、762、802、813、770、785、810、8

9、06，要求以以95%的把握程程度，估估計這批批食品的的平均每每袋重量量的區間間范圍及及其允許許誤差。 Minitab解法將題中的的10個數據輸輸入到Minitab中的C1列路徑：統統計基基本統計計量單單樣本t輸入相關關參數（參考右右圖）輸出結果果：結論：該該產品每每袋重量量的均值值置信區區間為（778.841,803.359）克；允許誤差差：2.262*5.419= 12.26（克）平均值變量N平均值標標準準差標標準誤誤95%置信區間間C110791.1017.145.42(778.84,803.36)2）總體標標準差的的置信區區間一般公式式（小樣本本）其中 s 稱為樣本標準差; 稱為對應于a

10、/2的Chi-Square值; 稱為自由度;2a/2n-1/scsscaann-1122122SS假設我們們獲得一一個16個數據據點的樣樣本，得得到的標標準偏差差為1.66。自由度度(為16-1或 15。Sigma的95%(= .05)置信區間間是：例題4 用例題3的10個數據求求標準差差的置信信區間 Minitab解法將題中的的10個數據輸輸入到Minitab中的C1列路徑：統統計基基本統計計量圖形化匯匯總結論：樣樣本的標標準差是是17.14,總體標準準差的95%的置信區區間在11.79和31.78之間。輸出結果果Cpn-1CpCpn-11-/2,n-12/2,n-12ccaa Cpn-1C

11、pCpn-11-/2,n-12/2,n-12ccaa這就是說說，我們們有95%把握說真真實的Cp值在1.57和 3.01之之間Cp=2.29 (n=20)的95%置信區間間計算如如右：3）工程能能力Cp的置信區區間一般公式式我們將定定義一個個過程，其目標標值為70，USL=100，LSL=40.班上的每每個人都都從一個個平均值值=70，標準準差=10的分分布中產產生20個隨隨機正態態數字假設我們們的“真真實的”Cp= 1.00.產生數據據后，先先用Minitab計算出Cp；再用前面面的公式式計算Cp的95%置信區區間；假設班里里的人數數為50，我我們期待待至少一一個CI不包含1.00準備發表表

12、你的結結果Cp的置信區區間Minitab模擬1.產生20個隨機數數據，并并保存在在C12.求其工程程能力3.統計 基本本統計量量圖形形化匯總總4.求總體標標準差的的置信區區間的上上限和下下限.總體標準準差的置置信區間間下限Sigma上限樣樣本大大小8.68911.42516.68720CCpBest Case)(WorstCase)p(=-=-=100406*8.6891.15100400.599現在我們們可以使使用這些些估計的的上下限限來計算算Cp的置信區區間了我們看到到這是一一個包含含1.00的實際Cp95%的的置信區區間5.求Cp的置信區區間6*16.6874）總體比比率（或或比例）P的置信區區間pZpZ-+aas()P/22ps()p一般公式式其中p稱為樣本本比例;稱為抽樣樣極限誤誤差(p)Za/2s( p )例題5 某廠對一一批產品品的質量量進行抽抽樣檢驗驗，采用用重復抽抽樣抽取取樣品200只，樣本本良品率率為85%，試計算算當把握握程度為為90%時良品率率的區間間范圍。公式求法法已知：n=200，p=0.85，1-a=0.90，Za/2=1.645則將上面面的數字字代入公公式中，得總體良品品率P的置信度度為90%的置信區區間為：85%-4.15%P85%+4.15%；即為（80.85%，89.15%）1.在班上隨隨機選了了10名名學員