1、( ) 根 典 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN平方根 算術平方根 立方根三說一、平根、算術平根、立根知識點概 1. 平方根、術平方的概念與性如果一個數 的平方等于 （即 a ），那么這個數 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根），記作： ，這里 a 是 的平方數，故 a 必是一個非負數 0 ；例 如 16 的平方根是4從定義還可得出：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數；負數沒有平方根；0 的平方根只有一個 0，即為它本身。正數 a 的正的平方根叫做 的算術平方根，表示為 的算術平方根是 4 從定義中容易發現：算術平方根具有雙重非負性： 0 ； 0

2、 。2. 平方根、術平方的區別與聯區別：定義不同；個數不同；表示方法不同；取值范圍不同：平方根可以是正數、負數、零，而算術平方根只能取零及正數， 即非負數。聯系：它們之間具有包含關系；它們賴以生存的條件相同，即均為非負數；0 的平根以及算術平方根均為 03. 立方根定義與質22 2 2 2 如果一個數 x 立方等于 （即 x 方根），記作： 。3a），那么這個數 就叫做 a 立方根（或三次立方根的性質：正數的立方根是正數，0 的立方根是 ，負數的立方根是負數。二、解中常見的錯剖析例 錯解： 剖析：個正數有兩個平方根，它們互為相反數， 平方根應有兩個即3例 求 的算術平方根。錯解： 29 9 算

3、術平方根是 剖析：題是沒有搞清題目表達的意義，錯誤的認為是求 9 的術平方根，因而導致誤解，事實上本題 就是表示的 9 的算術平方根，而整個題目的意義是讓求 9 的算 術平方根的算術平方根。 9 ，而 的術平方根為 ，故 的算術平方根應為 3 。仿此你能給出 的平方根的結果嗎？3三、典例題的探索解析例 已知： M 算數平方根， N a 立方根，求M 的平方根。分析：算術平方根及立方根的意義可知 a a 2 聯立解方程組，得： a ， 代入已知條件得： M 9 ， 0所以 M 9 3故 MN 平方根是 3 。例 已知 y 3，4 x y 求 x 算術平方根與立方根。分析：已知得 x y 32 9

4、 4 x 聯立解方程組，得： x ， 所以 x y 5因而 x 的算術平方根與立方根分別為 3 。42 22 2例 若一個正數 的兩個平方根分別為 x a的值。分析：平方根的性質：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，因而可構造方 程 x 解得 x 從而 a 評注：題利用平方根的性質，構造一元一次方程，先求出其平方根，再進一步求出 a解法可謂簡捷明了，令人耳目一新。事實上方程思想是初中階段一種重要的數學 思想方法，應引起同學們高度重視。例 比較 a、1a、 a 的小。1 1分析：比較 、 、 a 大小，必須搞清 a 的取值范圍，由 知 a 0 ， 知a aa 0 ，綜合得 a 0 此時仍無法比

5、較，為此可將 a 的取值分別為 ； a 三種情況進行討論，各個擊破。當 時，取 a 0.01則1 1100、 a ，顯然有 a a a a當 時， a 1a 5當 時，仿取特殊值可得 a a 1a評注：題的解答用到了分類討論的思想，所謂分類思想就是根據問題的需要將涉及的對象按一定的標準分成若干類，然后再逐類討論求解的思維方法。分類要遵循三 條原則：標準統一；任何兩種情況不重復；每一種情況都不能遺漏。例 已知有理數 滿足 2004 a ，求 2004 2 的值。分析：察表達式 2005 的隱含條件，被開方數應為非負數即 a 亦即 ，原已知式可化為： 2005 a 2005 2005 200420

6、05例 若 、 合關系式3 2 x y m y 2005 x 試求 m 值。分析：察等式的右邊的兩個表達式的被開方數互為相反數，再結合只有非負數才 有算術平方根，因而必有 6所以 y 。原已知式可化為：3 y 2 x 再變形得： 2 *將 y 代入（*得：6015 4010 0由算術平方根的非負性，再根據“干個非負數的和為零，則其中每一個非負數均 為零”可得 y 4010 y 解這個方程組得： m 2008評注：住題目中隱含的算術平方根具有雙重非負性： 0 ； 0 解決此類問題的關鍵。例 9.有理數 、c 在數軸對應點如下圖所示，化簡b 。分析：據數軸上的點表示的數，右邊的總比左邊的數大可知： 0， ，a 再結合算術平方根應為非負數，因而7原式 a評注：例借助以形（數軸）輔數（確 ， ， 的符號）的方法解題的，是數形結合思想的具體體現。所謂數形結合思想就是在已知條件下建立數和形之間的關系，以形輔數，以數定形，利用數、形的相互關系來解題的思維方法。例 10.借助計算器計算下列各題：（1 11 （2 22（3 111111 （4 仔細觀察上面幾道題及其計算結果，你能發現什么規律你能解釋這一規律嗎分析：用計算器計算得：（1 11 （2 1111 （3 111111 222 333（4 11111111 33338 觀察上述各式的結果，容易猜想其中的規