1、第一章 古典概型和概率空間1. 條件概率和乘法公式 P(AB)=P(B)P(A|B) 2. 事件的獨立性 對任意的事件A，B，若P(AB)=P(A)P(B)， 則稱事件A，B是相互獨立的。1精選PPT3. 全概率公式和Bayes公式2精選PPT離散型隨機變量連續型隨機變量概率分布函數隨機變量函數的分布第二章 隨機變量及其分布3精選PPT1.離散型隨機變量的概率分布4精選PPT2. 幾種常用的離散型隨機變量1.兩點分布 (Bernoulli分布) 2.二項分布 (Binomial分布)3.泊松分布(Poisson 分布)4.幾何分布(Geometric分布)5精選PPT分布函數分布列3.分布列與

2、分布函數的關系圖示如下6精選PPT4.離散型隨機變量函數的分布 設 X 是離散型隨機變量，其分布列為Y 是 X 的函數 ， 則 Y 也是離散型隨機變量. 它的取值為或7精選PPT設X 是隨機變量,如果存在非負函數使得對任何滿足 的 有則稱 X 是連續型隨機變量,稱 是 X 的概率密度函數,簡稱為概率密度或密度1.連續型隨機變量的概率分布8精選PPT2. 幾種常用的連續型隨機變量1.均勻分布(Uniform 分布) 2.指數分布(Exponential 分布) 3.正態分布（高斯分布）9精選PPT重要結論 若 ，則 1、3、2、10精選PPT3. 連續型隨機變量的分布函數 1、 如果 X 是連續

3、型隨機變量, 有概率 密度 則 并且在 的連續點有 11精選PPT4.連續型隨機變量函數的分布也是連續型隨機變量. 試求 Y = g ( X ) 的密度函數 設 X 是連續型隨機變量，其密度函數為 再設 Y = g ( X )是 X 的函數，假定 Y （1）先求 Y = g ( X ) 的分布函數（2）利用 Y = g ( X ) 的分布函數與密度函數的關系 ，求 Y = g ( X ) 的密度函數12精選PPT 設 X 是一個取值于區間 a , b ，具有概率密度 f ( x ) 的連續型隨機變量 ；又設 y = g ( x ) 處處可導，且對于任意 x , 恒有 或恒有 ；則 Y = g

4、(X) 是一個連續型隨機變量 , 它的概率密度為定理 13精選PPT 其中， x = h ( y ) 是 y = g ( x ) 的反函數定理 5.1 (續)14精選PPT上逐段嚴格單調，其反函數分別為隨機變量，其概率密度為若 g ( x ) 在不相疊的區間均為連續可導函數，那么Y = g ( x ) 是連續型補充定理15精選PPT第 3 章隨機向量及其獨立性聯合分布邊緣分布隨機變量的獨立性隨機向量函數的概率分布16精選PPT1. 二維離散型隨機向量 ( X,Y ) 的分布律17精選PPT聯合分布律的性質18精選PPT2.邊緣分布列19精選PPT3. 離散型隨機變量的獨立性20精選PPT1.

5、連續型隨機向量聯合概率密度 21精選PPT聯合概率密度的性質22精選PPT2. 聯合分布與聯合密度連續型隨機變量(X,Y)，其概率密度與分布函數的關系如下：23精選PPT同理， Y的邊緣密度為X的邊緣密度為3. 邊緣密度24精選PPT4. 連續型隨機變量的獨立性25精選PPT1. 二維均勻分布2. 二維正態分布五、兩個常用的分布下面介紹兩個常用的二維隨機變量.26精選PPT均勻分布 設D為平面上的區域, 面積若 (X,Y)的聯合密度為則稱(X,Y)在D上服從均勻分布.27精選PPT二 維正態分布28精選PPT29精選PPT一個重要的結論即二維正態分布的兩個邊緣分布都是一維正態分布,30精選PP

6、T5. 隨機向量的函數的分布 設(X, Y)是二維隨機變量,z = (x, y)是一個已知的二元函數,如果當(X, Y)取值為(x, y)時, 隨機變量Z取值為z = (x, y),則稱Z是二維隨機變量的函數,記作Z = (X, Y)問題: 已知(X, Y)的分布, 求Z = (X, Y)的分布.31精選PPT一、離散型隨機向量函數的分布 二、連續型隨機變量函數的概率分布1. 已知(X,Y) f(x,y)，求Z = (X,Y)的概率分布. 2. 若Z為連續型隨機變量, 則在 f(z) 的連續點處32精選PPT推論 設(X,Y)關于X,Y的邊緣密度分別為fX(x) , fY(y). 若X和Y獨立

7、, 則Z=X+Y的概率密度的一般公式33精選PPT極大極小值的分布 設X，Y是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數分別為FX(x)和FY(y), 求M=max(X,Y) 及 N=min(X,Y)的分布函數.34精選PPTM=max(X,Y)FM(z) = PMz = Pmax(X,Y)z= PXz,Yz= PXz PYz= FX(z) FY(z)35精選PPT 類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數是=1-PXz,YzFN(z) =PNz =Pmin(X,Y) z=1 Pmin(X,Y) z=1- PXzPYz= 1-1-FX(z)1-FY(z) 36精選PPT第四章 數學期望和方差 隨

8、機變量的平均取值 數學 期望 隨機變量取值平均偏離平均值的 情況 方差 描述兩個隨機變量之間的某種關 系的數 協方差與相關系數本章內容37精選PPT定義1.1：設離散型隨機變量X 的概率分布為若無窮級數絕對收斂，則稱其和為隨機變量 X 的數學期望或均值，記作 E( X )。數學期望的定義38精選PPT定義1. 2 ：設 X 為連續型隨機變量, 其密度函數為，若積分絕對收斂，則稱此積分為隨機變量 X 的數學期望或均值，記作 E( X )。39精選PPT 離散型隨機向量函數的數學期望 設X=(X1 , Xn)為離散型隨機向量，概率 分布為Z = g(X1 , Xn),若級數絕對收斂，則40精選PP

9、T連續型隨機向量函數的數學期望 設X=(X1 , Xn)為連續型隨機向量，聯合 密度函數為 Z = g(X1 , Xn),若積分絕對收斂，則41精選PPTA. 方差的概念和計算公式Var (X)=E(X-E(X)242精選PPT性質2: Var(b+X)=Var(X) .特別地，若X=C，C為常數，則 Var(C)=0B. 方差的性質Var (aX + b ) = a2 Var(X)性質3: 若a,b為常數, 則性質1: 若b為常數,隨機變量X的方差存在， 則bX的方差存在，且 Var(bX) = b2Var(X)43精選PPT若隨機變量X,Y 的方差都存在，則X+Y的方差存在，且 性質5:性

10、質4:Var(XY)= Var(X) +Var(Y) 2cov(X,Y)若X, Y 獨立， Var(XY)= Var(X) +Var(Y)44精選PPTA. 協方差函數和相關系數協方差相關系數45精選PPT協方差的性質 當且僅當時，等式成立Cauchy-Schwarz不等式B. 協方差和相關系數的性質46精選PPT47相關系數的性質 47精選PPT48 X , Y 不相關注：X與Y不相關僅僅是不線性相關，可以非線性相關。48精選PPT49 X,Y 相互獨立X,Y 不相關若 X , Y 服從二維正態分布，X,Y 相互獨立X,Y 不相關49精選PPT第五章 極限定理強大數律中心極限定理50精選PP

11、T 設隨機序列 獨立同分布，并且 ，則有 定理 51精選PPT（中心極限定理）這里 是標準正態分布的分布函數. 設隨機序列 獨立同分布,有共同的數學期望 和方差 . 部分和則 的標準化依分布收斂到標準正態分布. 即對任何 ,(3.2)52精選PPT點估計和矩估計最大似然估計抽樣分布及其上分位數正態總體的區間估計第七章 參數估計53精選PPT參數估計點估計區間估計點估計 估計未知參數的值區間估計 根據樣本構造出適當的區間，使他以一定的概率包含未知參數或未知參數的已知函數的真值54精選PPT記總體k階矩為樣本k階矩為用相應的樣本矩去估計總體矩的估計方法就稱為矩估計法.1. 矩估計法55精選PPT矩

12、估計的一般步驟設總體分布含有m個未知參數 1 ，m（1）根據未知參數的個數求總體的各階矩56精選PPT（2）解方程組（即從方程組中解出未知參數）（3）用Ai代替上述方程組中的 ，i=1,2,m得到i=1,2,m作為 的矩估計量i=1,2,m57精選PPT（4）若估計的是參數的函數則用代替得到作為的矩估計量58精選PPT最大似然估計法的基本思想：根據樣本觀測值，選擇參數p的估計 ，使得樣本在該樣本值附近出現的可能性最大2. 最大似然估計法59精選PPT求最大似然估計(MLE)的一般步驟是：(1) 由總體分布導出樣本的聯合分布列 (或聯合密度);(2) 把樣本聯合分布列(或聯合密度)中自變 量看成

13、已知常數,而把參數 看作自變量, 得到似然函數L( );(3) 求似然函數 的最大值點(常轉化為求對 數似然函數 的最大值點) 即 的MLE;60精選PPT離散型樣本的似然函數連續型樣本的似然函數61精選PPT點估計的無偏性則稱 為 的無偏估計 .設是未知參數 的估計量，若注： 樣本均值 與樣本方差S2 分別是 總體均值和總體方差2的無偏估計量.62精選PPT 設X1 ，X2,，Xn為來自總體XF(x;)的一個樣本， 是未知參數. 若對于給定的（0 1），存在兩個統計量 使得對任意的 滿足 區間估計63精選PPT則稱隨機區間 為參數 的置信水平(confidence level)為1- 的置信區間(confidence interval).置信水平又稱為置信度，置信區間的左端點 又稱為置信下界，置信區間的右端點 又稱為置信上界.64精選PPT正態總體參數的置信區間總體個數待估參數條件樞軸 量置 信 區 間一個65精選PPT正態總體參數的置信區間總體個數待估參數條件樞軸 量置 信 區 間一個66精選PPT第八章 假設檢驗統計學專題：/tongjixue/67精選PPT 0 0 0 0 0均值的正態 檢驗法 (2 已知)原假設 H