1、幾何題中常用輔助線的作法稍微復雜一點的幾何問題，總要添加輔助線，通過恰當的輔助線，我們可以較快地尋求證題的途徑和方法，減少彎路，本文就初中幾何常用的輔助線作一小結，并分別舉例說明.連結即連結已知兩點得到線段，這是幾何中最基本，最常用的輔助線，通過連結兩點可得三角形或四邊形，如連結圓心和切點可得垂直關系，連結等腰三角形的頂點與底邊中點可得垂直與平分.例1如圖1，等腰ABC中，D為底邊BC的中點，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE=DF.證：連結AD.AB=AC,D為底邊BC的中點，AD平分BAC.又DEAB,DFAC,DE=DF例2如圖2，已知O與O相交于A、B,從O上一點P作直線PA、PB

2、分別交O于C、D，PE是O的切線.求證：PEDC.證：連結AB。PE為切線，EPCABP.，ABP=C，EPC=C，PEDC.評注：相交兩圓的公共弦對兩圓中角的溝通作用很大，故在兩圓相交的問題中，通常要嘗試連結公共弦這條輔助線.二、延長（或截?。┮话阍谧C明兩線段和（或差）等于第三條線段時，或者幾條線段之間的關系時，都采用截長補短法，這里主要滲透了化歸思想.例3已知P是ABC中A的外角平分線上任一點，求證：ABACPB+PC.證：如圖3，延長BA至D，使AD=AC，連結PD，則APDAPC，所以PD=PC,在BPD中，有BDPBPD，ABACPB+PC.如圖4，在正方形ABCD中，E、F是BC、

3、CD邊上的兩點，EAC=45，求證：EF=BEDF.證：延長CD至G，使DG=BE.AB=AD,B=ADG=Rt，ABEADG，AE=AG,BAE=DAG.BAE+FAD=45，FAD+DAG=45，EAF=FAG=45，AEFAFG，FG=EF，EF=FD+DG=FD+BE.三、平移即作平行線，利用線段的平行移動，可以構造許多可以利用的基本圖形，如相似三角形、平行四邊形等等，其縝密的思路有很強的啟發性.例5如圖5，已知AD是ABC的平分線.求證：.分析：要證，一般只要證BD、DC與AB、AC，或BD、AB與DC、AC，所在的三角形相似，現在B、C、D三點共線，需要考慮用別的途徑換比，在結論中

4、，AC恰好是BD、DC、AB的第四比例項，所以考慮過C作CEAD交BA的延長線于E.從而得到BD、DC、AB的第四比例項，這樣只需要證明AC=AE就可以了，請同學們自己完成本題證明.例6已知，如圖6，點D、E分別在BC、AB邊上，AD、CE相交于F，AE:EB=1:3,BD:DC=2:1.求：的值.解：作DGCE交AB于G；作EHBC交AD于H，則.同理：=四、作垂線在圓中，遇到與弦有關的問題時，常常要過圓心作弦的垂線，以及證明一條直線是圓的切線時，要過圓心作直線的垂線.在等腰三角形中，作底邊的高線，可利用等腰三角形三線合一的性質，等等.例7已知O的半徑OA=1,弦AB、AC的長分別是、,求B

5、AC的度數.分析：如圖7，由半徑OA=1，弦AB、AC的長分別是、，聯想到過O作弦AC、AB的垂線，同時考慮到AB、AC與OA的位置關系，需分類討論，故本題有兩解.簡解：如圖7所示，易求CAD=30，OAC=30.當AC、AB位于OA的同側時，有BAC=15；當AC、AB位于OA兩側時，有BAC=75.五、作切線一般是兩圓相切時，常作出過切點的公切線.例8如圖8，O與O內切于點P，O的弦AB切于O于點C,PA、PB分別交于O點E、F,求證：PC平分APB.證：作兩圓的公切線PT,連結CE,則B=TPA,ECP=TPAAB是O的切線，BCP=CEP.APCBPC，即PC平分APB.本題證法很多，

6、請同學們考慮其他證法，當兩圓相切時，過切點作兩圓的公切線，能將圓周角和弦切角進行轉換來證題，這種轉化的思想要認真體會并能靈活運用.六、補圓例9如圖9，ABC中，AD平分BAC交BC于D.求證：AD=ABAC-BDCD證：作ABC的外接圓O，延長AD交O于E,連接BE,由相交弦定理，得ADDE=BDCD.在ABE和ADC中，BAD=CAD,E=C,ABEADC.，ADAE=ABAC,AD(AD+DE)=ABAC,AD=ABAC-ADDE= ABAC-BDCD.七、旋轉變換運用旋轉變換，能使已知或所求的部分線段集中到一個基本圖形中，從而簡便地解決問題.例10如圖10，P是等邊三角形ABC內一點，PA=2,PB=2,PC=4,求ABC的邊長.解：將BPA繞點B逆時針旋轉60，則BA與BC重合，BP移到BM處，PA移到MC處，BM=BP，MC=PA，PBM=60，BPM是等邊三角形，PM=PB=2.在MCP中，PC=4，MC=PA=2，PM=2，PG=PMMC且PC=2MC，MCP為Rt，且CMP90。CPM30.又MBP是等邊三角形，BPM=60,故BPC=90，CBP是 Rt.BCPBPC=（2）