1、第二十三章 旋轉導入新課探究新知鞏固練習課堂小結綜合復習（提高）九年級數學(上)教學課件旋轉的目的：旋轉的條件：旋轉的方法：以公共端點為旋轉中心，相等的兩條線段的夾角為旋轉角。一、利用旋轉變換解決問題將分散的條件集中，隱蔽的關系顯現；具有公共端點的等線段；二、常見利用旋轉解決問題的圖形等腰三角形等邊三角形等腰直角三角形正方形類型1 “等腰三角形”的旋轉 類型1類型2類型3類型4類型5【例1】(2012年第14題)如圖正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合,將AEF繞其頂點A旋轉,在旋轉過程中,當BE=DF時,BAE的大小可以是_ . 15或165AEFCDBEF1.如圖,正ABC與等腰AD

2、E的頂點A重合,AD=AE,DAE=30,將ADE繞頂點A旋轉,在旋轉過程中,當BD=CE時,BAD的大小可以是_.15或165DAEDCBE鞏固練習類型2 “正三角形”的旋轉 類型1類型2類型3類型4類型5如圖,ABC為等邊三角形,D是ABC內一點,若將ABD經過逆時針旋轉后得到ACP位置,則旋轉中心是_,旋轉角等于_,AD與AP的夾角是_，ADP是_三角形。點A等邊6060ADPCB類型2 “正三角形”的旋轉 類型1類型2類型3類型4類型5【例2】如圖,點P為等邊ABC內一點,且PA=4,PB=3,PC=5,求APB的度數3.APB=BQC=BQP+PQC =60+90=150Q【思路點撥

3、】1.先將ABP繞點B順時針旋轉60 得CBQ,再連接PQ 2.再證CBQ是正三角形, CPQ 是直角三角形 APCBP1.如圖,點P是等邊ABC內一點,PB=2,PC=1,BPC=150, 求PA的長3.由勾股定理得： 【思路點撥】1.先將ABP繞點B順時針旋轉60 得CBQ,再連接PQ 2.再證CBQ是正三角形， CPQ 是直角三角形 鞏固練習APCB2.如圖,點O是等邊ABC內一點,AOB=110,BOC=.將BOC繞點C按順時針方向旋轉60得ADC,連接OD.(1)求證:COD是等邊三角形；(2)當=150時,試判斷AOD的形狀,并說明理由；(3)探究:當為多少度時,AOD是等腰三角形

4、？(3)分類討論利用等角對等邊得出,當為110、125、140時, AOD是等腰三角形(2)由勾股定理的逆定理證明AOD為直角三角形(1)利用有一個角等于60的等腰三角形是等邊三角形證明【思路點撥】鞏固練習AOCBD3.如圖,點P為等邊ABC內一點,且PA=4,PB=3,PC=5,求APB的度數.4.如圖,點P是等邊ABC內一點,PB=2,PC=1,BPC=150,求PA的長.鞏固練習APCB類型3 “等腰直角三角形”的旋轉 類型1類型2類型3類型4類型5【例3】已知AOB和COD均為等腰直角三角形,AOB=COD=90,連接AD,BC,點H為BC的中點,連接OH.(1)如圖1所示,求證：OH

5、=0.5AD且OHADADCOBH圖1(B)(C)(H)類型3 旋轉的概念及性質的應用(2)將COD繞點O旋轉到圖2,圖3所示位置時,線段OH與AD又有怎樣的關系,并選擇一個圖形證明你的結論ADCOBH圖3(B)(H)(C)ADCOBH圖2(B)(H)(C)類型1類型2類型3類型4類型52.如圖,在RtABC中,ABC=90,AB=BC=4,將ABC繞點A順時針旋轉60,得到ADE,連接BE,求BE的長。CFDEAB鞏固練習類型4 “正方形”的旋轉 類型1類型2類型3類型4類型5【例4】如圖,點P是正方形ABCD內一點, (1)求APD的大小； (2)求正方形邊長。ABCDPQH【思路點撥】(

6、1)將APD繞點D逆時針旋轉90 得CQD,再連接PQ, (2)作CHDQ于點H，求得CH=HQ=1,再由勾股定理得出CD= 求得APD=CQD=45+90=1351.如圖,點P是正方形ABCD內一點,PA=1, ADP沿點A旋轉至ABP,連結PP,并延長AP與BC相交于點Q.(1)求證：APP是等腰直角三角形；(2)求BPQ的大小；(3)求正方形邊長。(2)先用勾股定理的逆定理得出PPB=90,BPQ=45【思路點撥】H(3)作BHAQ于點H,得出BH=PH=2，在由勾股定理得出AB=鞏固練習AQPPDCB2.如圖,點P是正方形ABCD內一點,點P到點A,B和D的距離分別為1,2,3.ADP

7、沿點A旋轉至ABP,連結PP,并延長AP與BC相交于點Q(1)求證：APP是等腰直角三角形；(2)求BPQ的大小；(3)求CQ的長鞏固練習AQPPDCB3.如圖,正方形ABCD的邊長為6,將其繞點A順時針旋轉30得到正方形AEFG,FG與BC相交于點H.(1)求證：BH=GH； (2)求BH的長 鞏固練習BADCFEGH4.把正方形ADCB繞著點A,按順時針方向旋轉得到正方形AGFE,邊BC與GF交于點H(如圖).試問線段GH與線段HF相等嗎？請先觀察猜想,然后再證明你的猜想.證法1：連結AH， 利用RtAGHRtABH(HL)證明證法2：連結BG， 利用等角對等邊證明鞏固練習ADCBFEGH

8、1.如圖,在平面直角坐標系中,直線 經過點A,作ABx軸于點B,將ABO繞點B逆時針旋轉60得到CBD,若點B的坐標為(2,0),則點C的坐標為_.yxCBDOA鞏固練習2.如圖,將線段AB繞點O順時針旋轉90得到線段AB,那么A(-2,5)的對應點A的坐標是 .3.如圖所示,OA的長為2,將ABC繞點A旋轉180后,得ABC,若點B的坐標為(a,b),則點B的坐標為 .(5,2)xBCAOyBC(4-a,-b)鞏固練習AxyOBAB4.如圖,在直角坐標系中(網格中的單位長度為1),將ABC繞點P順時針旋轉90得到ABC,則點P的坐標是_. (1,2)鞏固練習1.把一副三角板如圖放置,其中AC

9、B=DEC=90,A=45,D=30,斜邊AB=6,DC=7.把三角板DCE繞著點C順時針旋轉15得到D1CE1(如圖),求線段AD1的長度AD1=5A圖DBECAOFE1BCD1圖綜合練習2.某校九年級學習小組在學習探究過程中,用兩塊完全相同的且含60角的直角三角板ABC與AFE按如圖所示位置放置.現將RtAEF繞A點按逆時針方向旋轉角(090),如圖,AE與BC交于點M,AC與EF交于點N,BC與EF交于點P.(1)求證：AM=AN；(2)當旋轉角=30時,四邊形ABPF會是什么樣的特殊四邊形？并說明理由綜合練習CBAACFEBPMEFN圖圖3.已知MAN=135,正方形ABCD繞點A旋轉

10、。(1)當正方形ABCD旋轉到MAN的外部(頂點A除外)時,AM、AN分別與正方形ABCD的邊CB、CD的延長線交于點M,N,連接MN如圖1,若BM=DN,則線段MN與BM+DN之間的數量關系是_；如圖2,若BMDN,請判斷中的數量關系是否仍成立？若成立,請給予證明;若不成立,請說明理由；NADBCMHNADBCMNMN=BM+DN23MN=BM+DNNADBCMN圖1圖1圖2綜合練習(2)如圖3,當正方形ABCD旋轉到MAN的內部(頂點A除外)時,AM、AN分別與直線BD交于點M、N,探究：以線段BM,MN,DN的長度為三邊長的三角形是何種三角形,并說明理由ANMDCBNMN2=BM2+DN

11、2圖3綜合練習4.(1)操作發現：如圖1,已知ABC是等腰直角三角形,C=90.將ABC繞點A旋轉m(0m180),且點C落在線段AB上,如果BC的延長線與BC所在的直線相交于點E,那么m=_,BEB=_.(2)類比探究：如圖2,將任意ABC繞點A旋轉m(0m180),得到ABC.試求出BC,BC所在直線的夾角的度數。EFAECBBC圖1ACBBC圖2綜合練習(3)運用推廣：請運用(2)中的發現解決下列問題：如圖3,將折線A-C-B繞點A逆時針旋轉90與折線A-C-D重合,且B,C,C在同一直線上,DBC=30,連接BD,猜想BC與BD之間的數量關系,并說明理由.如圖4,將ABE繞點A逆時針旋

12、轉一定角度得到ACD,且BDC=60,連接BC,DE,探索線段AD,CD,BD之間存在的數量關系.ADCCB圖3綜合練習AECB圖4D如圖，ABC繞著點O按順時針方向旋轉90后到達了CDE的位置，下列說法中不正確的是( )A.線段AB與線段CD互相垂直 B.線段AC與線段CE互相垂直 C.線段BC與線段DE互相垂直 D.點A與點E是兩個三角形的對應點DADEOCB綜合練習例1：已知在ACB中，ACB=90，AC=BC，PA=3，PC=2，PB=1，求BPC的度數？分析：可以判斷 ACB 為等腰直角三角形，因此可以利用將其中一腰旋轉至與另一腰重合，構造全等三角形，來解決問題。例題2、如圖所示，在

13、等腰 RtACB 中，ACB = 90 ， D 為 ACB 外一點， 且滿足 ADC = 45 ， AD = 3，CD = 4 ， 求 BD 的長？分析：這里已知等腰 RtACB ，可以將等腰 RtACB 的一腰 BC 順時針旋轉90 與 另一腰 AC 重合，從而帶動 DCB 順時針旋轉90 至 HCA 。 解答過程：將 DCB 繞點C 順時針旋轉90 至 HCA ，則有 DCB HCA ， DC = HC，DCH = 90，HDC = 45，CH = DC = 4 ， 在 RtDCH 中 ， 有 DH = 2 DC = 42 .又 ADC = 45 HDA =ADC + CDH = 90 ，

14、在 RtADH 中 ，AD = 3 , DH = 42 , AH = （AD2+DH2）= （9 + 32）= 41 BD = AH = 41 .例題3、已知如圖，在四邊形 ABCD 中，ADC = 60 ，ABC = 30 ，且 AD = AC 。求證：AB2 + BC2 = BD2 。分析：易知 ADC 為等邊三角形，滿足旋轉條件。解答過程：將 ADB 繞點 A 逆時針旋轉 60 至 ACH ，則可得 ABH 為等邊三角形， ABC = 30 CBH =ABC + HBA = 90 ，又 ADB ACH BD = HC , 在直角CBH 中 ，由勾股定理可得CH2 = BC2 + BH 2

15、 ,又 在等邊 ABH 中，AB = BH BD2 = BC2 + AB2 。例題4、如圖，已知在等邊 ABC 中，點 D 為 ABC 外一點，且滿足 BDC = 120 ，試探究 BD，DA，DC 三者之間滿足什么樣的數量關系？并說明你的理由 。分析：這里 ABC 為等邊三角形，滿足旋轉條件。解答過程：DA = DB + DC 。理由如下：將 ABD 繞點 A 逆時針旋轉 60 至 ACH ，則有 ABD ACH ， ABD = ACH ，BD = CH 。 ADH 為等邊三角形 DA = DH在四邊形 ABDC 中 ， BDC = 120 ， BAC = 60 ， ABD + ACD = 180 ， ACH + ACD = 180 ， D，C，H 三點共線（必須證三點共線，否則扣分） DH = DC + CH , DA = DC + DB 。例