1、-. z.小學數學牛吃草問題吃草問題是小學奧數五年級的內容，學過的同學都知道這是一類比擬復雜的應用題，還有一些相應的變形題：排隊買票、大壩泄洪、抽水機抽水等等。則在這里講下牛吃草問題的解題思路和解題方法、技巧供大家學習。一、解決此類問題，孩子必須弄個清楚幾個不變量：1、草的增長速度不變2、草場原有草的量不變。草的總量由兩局部組成，分別為：牧場原有草和新長出來的草。新長出來草的數量隨著天數在變而變。因此孩子要弄清楚三個量的關系：第一：草的均勻變化速度是均勻生長還是均勻減少第二：求出原有草量第三：題意讓我們求什么時間、牛頭數。注意問題的變形：如果題目為抽水機問題的話，會讓求需要多少臺抽水機二、解題

2、根本思路1、先求出草的均勻變化速度，再求原有草量。2、在求出每天新增長的草量和原有草量后，頭數求時間時，我們用原有草量每天實際減少的草量即頭數與每日生長量的差求出天數。3、天數求只數時，同樣需要先求出每天新生長的草量和原有草量。4、根據原有草量+假設干天里新生草量天數，求出只數三、解題根本公式解決牛吃草問題常用到的四個根本公式分別為：1、草的生長速度對應的牛頭數吃的較多天數相應的牛頭數吃的較少天數吃的較多天數吃的較少天數2、原有草量牛頭數吃的天數草的生長速度吃的天數3、吃的天數原有草量牛頭數草的生長速度4、牛頭數原有草量吃的天數草的生長速度四、下面舉個例子例題：有一牧場，養牛27頭，6天把草吃

3、盡；養牛23頭，9天把草吃盡。如果養牛21頭，則幾天能把牧場上的草吃盡呢？并且牧場上的草是不斷生長的。一般方法：先假設1頭牛1天所吃的牧草為1，則就有：127頭牛6天所吃的牧草為：276162這162包括牧場原有的草和6天新長的草。223頭牛9天所吃的牧草為：239207這207包括牧場原有的草和9天新長的草。31天新長的草為：20716296154牧場上原有的草為：276156725每天新長的草足夠15頭牛吃，21頭牛減去15頭，剩下6頭吃原牧場的草：72211572612天所以養21頭牛，12天才能把牧場上的草吃盡公式解法：1草的生長速度=20716296152牧場上原有草=2715672

4、 再把題目中的21頭牛分成兩局部，一局部15頭牛去吃新長的草因為新長的草每天長15份，剛好可供15頭牛吃，剩下21-15=6頭牛吃原有草：72211572612天所以養21頭牛，12天才能把牧場上的草吃完。方程解答：設草的生長速度為每天*份，利用牧場上的原有草是不變的列方程，則有276-6* =239-9*解出*=15份再設21頭牛，需要*天吃完，同樣是根據原有草不變的量來列方程：276-615 =239-915=21-15*解出*=12天所以養21頭牛。12天可以吃完所有的草。牛吃草問題在普通工程問題的根底上，工作總量隨工作時間均勻的變化，這樣就增加了難度牛吃草問題的關鍵是求出工作總量的變化

5、率.下面給出幾例牛吃草及其相關問題 1. 草場有一片均勻生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周，則它可供21頭牛吃幾周(這類問題由牛頓最先提出，所以又叫牛頓問題)【分析與解】27頭牛吃6周相當于276=162頭牛吃1周時間，吃了原有的草加上6周新長的草； 23頭牛吃9周相當于239=207頭牛吃1周時間，吃了原有的草加上9周新長的草；于是，多出了207-162=45頭牛，多吃了9-6=3周新長的草所以453=15頭牛1周可以吃1周新長出的草即相當于給出15頭牛專門吃新長出的草于是27-15=12頭牛6周吃完原有的草，現在有21頭牛，減去15頭吃長出的草，于是21-15=6頭牛來吃原

6、來的草；所以需要1266=12(周)，于是2l頭牛需吃12周評注：我們求出單位1面積的草需要多少頭年來吃，這樣就把問題化歸為一般工程問題了一般方法：先求出變化的草相當于多少頭牛來吃：(甲牛頭數時間甲-乙牛頭數時間乙)(時間甲-時間乙)；再進展如下運算：(甲牛頭數-變化草相當頭數)時問甲(丙牛頭數-變化草相當頭數)=時間丙或者：(甲牛頭數-變化草相當頭數)時間甲時間丙+變化草相當頭數丙所需的頭數 2有三塊草地，面積分別是4公頃、8公頃和10公頃草地上的草一樣厚而且長得一樣快第一塊草地可供24頭牛吃6周，第二塊草地可供36頭牛吃12周問：第三塊草地可供50頭牛吃幾周【分析與解】我們知道246=14

7、4頭牛吃一周吃2個(2公頃+2公頃周長的草).3612=432頭牛吃一周吃4個(2公頃+2公頃12周長的草)于是1442=72頭牛吃一周吃2公頃+2公頃6周長的草4324=108頭牛吃一周吃2公頃+2公頃12周長的草所以108-72=36頭牛一周吃2公頃126=6周長的草即366=d頭牛1周吃2公頃1周長的草對每2公頃配6頭牛專吃新長的草，則正好于是4公頃，配426=12頭牛專吃新長的草，即24-12=12頭牛吃6周吃完4公頃，所以1頭牛吃61(42)=36周吃完2公頃所以10公頃，需要1026=30頭牛專吃新長的草，剩下50-30=20頭牛來吃10公頃草，要36 (102)20=9周于是50

8、頭牛需要9周吃10公頃的草3如圖，一塊正方形的草地被分成完全相等的四塊和中間的陰影局部，草在各處都是同樣速度均勻生長牧民帶著一群牛先在號草地上吃草，兩天之后把號草地的草吃光(在這2天內其他草地的草正常生長)之后他讓一半牛在號草地吃草，一半牛在號草地吃草，6天后又將兩個草地的草吃光然后牧民把的牛放在陰影局部的草地中吃草，另外號的牛放在號草地吃草，結果發現它們同時把草場上的草吃完則如果一開場就讓這群牛在整塊草地上吃草，吃完這些草需要多少時間？【分析與解】一群牛，2天，吃了1塊+1塊2天新長的；一群牛，6天，吃了2塊+2塊2+6=8天新長的；即3天，吃了1塊+1塊8天新長的.即群牛，1天，吃了1塊1

9、天新長的.又因為，的牛放在陰影局部的草地中吃草，另外的牛放在號草地吃草，它們同時吃完.所以，=2陰影局部面積.于是，整個為塊地.則需要群牛吃新長的草，于是=現在.所以需要吃：天.所以，一開場將一群牛放到整個草地，則需吃30天. 4現在有牛、羊、馬吃一塊草地的草，牛、馬吃需要45天吃完，于是馬、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度為馬吃草的速度，求馬、牛、羊一起吃，需多少時間【分析與解】我們注意到：牛、馬45天吃了原有+45天新長的草牛、馬90天吃了 2原有+90天新長的草馬、羊60天吃了原有+60天新長的草牛、羊90天吃了原有+90天新長的草馬 90天吃了原有+

10、90天新長的草所以，由、知，牛吃了90天，吃了原有的草；再結合知，羊吃了90天，吃了90天新長的草，所以，可以將羊視為專門吃新長的草所以，知馬60天吃完原有的草，知牛90天吃完原有的草現在將牛、馬、羊放在一起吃；還是讓羊吃新長的草，牛、馬一起吃原有的草.所需時間為l=36天.所以，牛、羊、馬一起吃，需36天 5. 有三片牧場，場上草長得一樣密，而且長得一樣快它們的面積分別是公頃、10公頃和24公頃12頭牛4星期吃完第一片牧場的草，21頭牛9星期吃完第二片牧場的草，則多少頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草【分析與解】由于三片牧場的公頃數不一致，給計算帶來困難，如果將其均轉化為1公頃時的情形所以表

11、1中，3.6-0.9=2.7頭牛吃4星期吃完l公頃原有的草，則18星期吃完1公頃原有的草需要2.7(184)=0.6頭牛，加上專門吃新長草的O9頭牛，共需0.6+0.9=1.5頭牛，18星期才能吃完1公頃牧場的草所以需1.524=36頭牛18星期才能吃完第三片牧場的草一個牧場長滿青草，牛在吃草而草又不斷勻速生長，27頭牛6天可以把牧場上的草全部吃完；23頭牛吃完牧場全部的草則要9天，假設21頭牛來吃，幾天吃完？最正確答案這種問題叫:牛頓問題完整解題思路: 假設每頭牛每天的吃草量為1,則27頭6天的吃草量為276=162；23頭牛9天的吃草量為239=207。207與162的差就是9-6天新長出

12、的草，所以牧場每天新長出的草量是207-1629-6=15 因為27頭牛6天吃草量為162，這6天新長出的草之和為156=90，從而可知牧場原有的劃量為162-90=72 牧場每天新長的草夠15頭牛吃一天，每天都讓21頭牛中的15頭牛吃新長出的草，其余的21-15=6頭專吃原來的草。所以牧場上的草夠吃726=12天，也就是這個牧場上的草夠21頭牛吃12天。綜合算式：276-239-2769-6621-239-2769-6=12天牛吃草問題是小學奧數的一類難題,記得在*本書上看到過：牛吃草問題就是追及問題，牛吃草問題就是工程問題。對于前半句很好理解，給孩子講的時候，也是按追及問題的思路來講的。而

13、對于后半句，直到上周才算明白。這個問題是在仁華學校課本六年級下冊第六講最大與最小問題中出現的?，F暫且把這個題放下，看看以前我是如何講牛吃草問題的。例1 小軍家的一片牧場上長滿了草，每天草都在勻速生長，這片牧場可供10頭牛吃20天，可供12頭牛吃15天。如果小軍家養了24頭牛，可以吃幾天？草速：102012152015=4 老草路程差：根據：路程差=速度差追及時間10420=120 或12415=120 追及時間=路程差速度差： 120244=6天例2 一個牧場可供58頭牛吃7天，或者可供50頭牛吃9天。假設草的生長量每天相等，每頭牛的吃草量也相等，則，可供多少頭牛吃6天？草速：50958797

14、=22 老草路程差： (50229=252 或 (58227=252 求幾頭牛就是求牛速,牛速=路程差追及時間草速 252622=64(頭) 現在回頭看看仁華學校課本那道題吧! 例3 一個水池，底部安有一個常開的排水管，上部安有假設干個同樣粗細的進水管，當翻開4個進水管時需要5小時才能注滿水池；當翻開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池；現在需要在2小時內將水池注滿，則至少要翻開多少個進水管？分析此題沒給出排水管的排水速度，因此必須找出排水管與進水管之間的數量關系，才能確定至少要翻開多少個進水管. 解：此題是具有實際意義的工程問題，因沒給出注水速度和排水速度，故需引入參數.設每個進水管1小時

15、注水量為a，排水管1小時排水量為b，根據水池的容量不變，我們得方程4a-b5=2a-b15，化簡，得：4a-b=6a-3b，即a=b. 這就是說，每個進水管1小時的注水量等于排水管1小時的排水量. 再設2小時注滿水池需要翻開*個進水管，根據水池的容量列方程，得*a-a22a-a15，化簡，得 2a*-2a=15a，即 2*a=17a.a0所以*=8.5 因此至少要翻開9個進水管，才能在2小時內將水池注滿. 注意：*=8.5，這里假設開8個水管達不到2小時內將水池注滿的要求；開8.5個水管不切實際.因此至少開9個進水管才行. 以上是書中給出的解法,考慮到此解法不適合給小學孩子講,所以把此題當作牛

16、吃草問題來講的. 把進水管看成牛,排水管看成草,滿池水就是老草排水管速：21545155=1 滿池水路程差： (2115=15 或 (415=15 幾個進水管：1521=8.5個) 我和學生都有個好習慣，解完一道題后要反思，這道題既然是工程問題，則，可不可以用工程問題的解法來做呢？之后在課堂上當時做了嘗試，結果答案是肯定的！當翻開4個進水管時，需要5小時才能注滿水池，則4個進水管和1個排水管的效率就是1/5。當翻開2個進水管時，需要15小時才能注滿水池，則2個進水管和1個排水管的效率就是1/15。兩者之間差了42=2個進水管的效率，于是1個進水管的效率是：1/51/1542=1/15 1個排水

17、管的效率是： 41/151/5=1/15 或者 21/151/15=1/15 現在需要在2小時內將水池注滿，則至少要翻開多少個進水管？1/21/151/15=8.5個) 讓我們用這個方法驗證一下例2吧例2 一個牧場可供58頭牛吃7天，或者可供50頭牛吃9天。假設草的生長量每天相等，每頭牛的吃草量也相等，則，可供多少頭牛吃6天？牛速：1/71/95850=1/252 草速： 581/2521/7=11/126 或者 501/2521/9=11/126 多少頭牛：1/611/1261/252=64頭)有這樣的問題，如：牧場上有一片勻速生長的草地，可供27頭牛吃6周，或供23頭牛吃9周。則它可供21

18、頭牛吃幾周？這類問題稱為牛吃草問題。解答這類問題，困難在于草的總量在變，它每天、每周都在均勻地生長，時間越長，草的總量越多。草的總量是由兩局部組成的：1*個時間期限前草場上原有的草量；2這個時間期限后草場每天周生長而新增的草量。因此，必須設法找出這兩個量來。下面就用開頭的題目為例進展分析。見下列圖從上面的線段圖可以看出23頭牛9周的總草量比27頭牛6周的總草量多，多出局部相當于3周新生長的草量。為了求出一周新生長的草量，就要進展轉化。27頭牛6周吃草量相當于276=162頭牛一周吃草量或一頭牛吃162周。23頭牛9周吃草量相當于239=207頭牛一周吃草量或一頭牛吃207周。這樣一來可以認為每

19、周新生長的草量相當于20716296=15頭牛一周的吃草量。需要解決的第二個問題是牧場上原有草量是多少？用27頭牛6周的總吃草量減去6周新生長的草量即156=90頭牛吃一周的草量即為牧場原有的草量。所以牧場上原有草量為266156=72頭牛一周的吃草量或者為239159=72。牧場上的草21頭牛幾周才能吃完呢？解決這個問題相當于把21頭牛分成兩局部。一局部看成專吃牧場上原有的草，另一局部看成專吃新生長的草。但是新生的草只能維持15頭牛的吃草量，且始終保持平衡前面已分析過每周新生的草恰夠15頭牛吃一周。故分出15頭牛吃新生長的草，另一局部2115=6頭牛去吃原有的草。所以牧場上的草夠吃726=1

20、2周，也就是這個牧場上的草夠21頭牛吃12周。例2：一只船發現漏水時，已經進了一些水，水勻速進入船內。如果10人淘水，3小時淘完；如5人淘水8小時淘完。如果要求2小時淘完，要安排多少人淘水？分析與解答：這類問題，都有它共同的特點，即總水量隨漏水的延長而增加。所以總水量是個變量。而單位時間內漏進船的水的增長量是不變的。船內原有的水量即發現船漏水時船內已有的水量也是不變的量。對于這個問題我們換一個角度進展分析。如果設每個人每小時的淘水量為1個單位，則船內原有水量與3小時內漏水總量之和等于每人每小時淘水量時間人數，即1310=30。船內原有水量與8小時漏水量之和為158=40。每小時的漏水量等于8小

21、時與3小時總水量之差時間差，即403083=2即每小時漏進水量為2個單位，相當于每小時2人的淘水量。船內原有的水量等于10人3小時淘出的總水量3小時漏進水量，3小時漏進水量相當于32=6人1小時淘水量。所以船內原有水量為3023=24。如果這些水24個單位要2小時淘完，則需242=12人。但與此同時，每小時的漏進水量又要安排2人淘出，因此共需要122=14人。從以上這兩個例題看出，不管從哪一個角度來分析問題，都必須求出原有的量及單位時間內增加的量，這兩個量是不變的量。有了這兩個量，問題就容易解決了。例3：12頭牛28天可以吃完10公畝牧場上全部牧草，21頭牛63天可以吃完30公畝牧場上全部牧草

22、。多少頭牛126天可以吃完72公畝牧場上全部牧草每公畝牧場上原有草量相等，且每公畝牧場每天生長草量相等？分析：解量的關鍵在于求出一公畝一天新生長的草量可供幾頭牛吃一天，一公畝原有的草量可供幾頭牛吃一天。12頭牛28天吃完10公畝牧場上的牧草，相當于1公畝原來的牧草加上28天新生產的草可供33.6頭牛吃一天122810=33.6。21頭牛63天吃完30公畝牧場上的牧草，相當于1公畝原有的草加上63天新生長的草可供44.1頭牛吃一天632130=44.1。1公畝一天新生長的牧草可供0.3頭牛吃一天，即： (44.133.6)(6328) = 0.3頭1公畝原有的牧草可供25.2頭牛吃一天，即： 3

23、3.60.328=25.2頭72公畝原有牧草可供14.4頭牛吃126天，即： 7225.2126=14.4頭72公畝每天新生長的草量可供21.6頭牛吃一天，即： 720.3=21.6頭所以72公畝牧場上的牧草可供36=14.421.6頭牛吃126天，問題得解。解：一公畝一天新生長草量可供多少頭牛吃一天？6321301228106328=0.3頭一公畝原有牧草可供多少頭牛吃一天？ 1228100.328=25.2頭72公畝的牧草可供多少頭牛吃126天？ 7225.2126720.3= 36(頭)例4：一塊草地，每天生長的速度一樣?，F在這片牧草可供16頭牛吃20天，或者供80只頭吃12天。如果一頭

24、牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量，則10頭牛與60只羊一起吃可以吃多少天？分析：由于1頭牛每天的吃草量等于4只羊每天的吃草量，故60只羊每天的吃草量和15頭牛每天的吃草量相等，80只羊每天吃草量與20頭牛每天吃草量相等。解：60只羊每天吃草量相當于多少頭牛每天的吃草量？ 604=15頭草地原有草量與20天新生長草量可供多少頭牛吃一天？ 1620=320天80只羊12天的吃草量可供多少頭牛吃一天？ 80412=240頭每天新生長的草量夠多少頭牛吃一天？3202402012=10頭原有草量可夠多少頭牛吃一天？ 3202010=120頭原有草量可供10頭牛與60只羊吃多少天？ 1206041010=8天例5：一水庫原有存水量一定，河水每天均勻入庫。5臺抽水機連續20天可抽干，6臺同樣的抽水機連續15天可抽干。假設要求6天抽干，需要多少臺同樣的抽水機？解：水庫原有的水與20天流入水可供多少臺抽水機抽1天？ 205=100臺水庫原有水與15天流入的水可供多少臺抽水機抽1天？ 615=90臺每天流入的水可供多少臺