1、.專題講座高中數學“函數的看法與性質”授課研究李梁北京市西城區教育研修學院函數是中學數學中的重點內容，它是描述變量之間依賴關系的重要數學模型.本專題內容由四部分構成：關于函數內容的深層理解；函數看法與性質的授課建議；學生學習中常有的錯誤剖析與解決策略；學生學習目標檢測剖析.研究函數問題平時有兩條主線：一是對函數性質作一般性的研究，二是研究幾種詳盡的基本初等函數二次函數、指數函數、對數函數、冪函數.研究函數的問題主要圍繞以下幾個方面：函數的看法，函數的圖象與性質，函數的相關應用等.一、關于函數內容的深層理解（一）函數看法的發展史簡述數學史角度：早期函數看法（Descartes，15961650引

2、入坐標系創立剖析幾何，已經關注到一個變量關于另一個變量的依賴關系）幾何角度；Newton，16421727，用數流來定義流量（fluxion）的變化率，用以表示變量間的關系；Leibniz，16461716引入常量、變量、參變量等看法；Euler引入函數符號，并稱變量的函數是一個剖析表達式代數角度；Dirichlet，18051859提出是與之間的一種對應的觀點對應關系角度；Hausdorff在會集論綱領中用“序偶”來定義函數會集論角度.Dirichlet：認為怎樣去建立與之間的關系沒關緊迫，他拓廣了函數看法，指出：“對于在某區間上的每一個確定的值，都有一個確定的值，那么叫做的函數.”這類函數

3、的定義，防備了過去函數定義中所有的關于依賴關系的描述，簡短精確（經典函數定義）.Veblen，18801960用“會集”和“對應”的看法給出了近代函數定義，經過會集看法，把函數的對應關系、定義域及值域進一步詳盡化了，且打破了“變量是數”的限制，變量能夠是數，也能夠是其他對象.（二）初高中函數看法的差異與聯系1初中函數看法：Word文檔.設在某個變化過程中有兩個變量，若是關于在某個范圍內的每一個值，都有唯一的值與它對應，我們就說是的函數，叫自變量，叫的函數.2高中函數看法：（1）設A，B是兩個非空會集，若是依照某種對應法規f，對A中的任意一個元素x，在B中有一個且僅有一個元素y與x對應，則稱f是

4、會集A到會集B的照射.記作，其中叫原象，叫象.（2）設會集A是一個非空的數集，對A中的任意數x，依照確定的法規f，都有唯一確定的數y與它對應，則這類照射叫做會集A上的一個函數.記作.其中x叫做自變量，自變量取值的范圍（數集A）叫做這個函數的定義域.所有函數值構成的會集叫做這個函數的值域.函數的值域由定義域與對應法規完好確定.3）函數是一種特其他照射.其定義域和值域都是非空的數集，值域中的每一個元素都有原象.構成函數的三要素：定義城，值域和對應法規，其中定義域和對應法規是核心.（三）函數在整個數學知識系統中的地位及作用函數是中學數學最重要的基本看法之一，其核心內涵為從非空數集到非空數集的照射；函

5、數思想也是整個高中數學最重要的數學思想之一，而函數看法是函數思想的基礎；它不但對前面學習的會集知識做了牢固和發展，而且它是學好后繼知識的基礎和工具；函數與方程、不等式、數列、三角函數、剖析幾何、導數等內容的聯系也特別親近；函數的基礎知識在現實生活、社會、經濟及其他學科中有寬泛的應用；函數看法及其反響的數學思想方法已寬泛浸透到數學的各個領域，是進一步學習數學的重要基礎.（四）函數的看法與性質構造框圖Word文檔.（五）函數的看法與性質授課重點和難點授課重點：1函數的看法2函數的基本性質3基本初等函數的圖象和性質授課難點：Word文檔.1函數看法的理解2對函數的單調性、奇偶性、周期性實質的掌握3運

6、用基本初等函數的圖象和性質解決簡單問題二、函數看法與性質的授課建議：（一）怎樣深入掌握函數的看法？1照射與函數的授課建議：授課中，由于照射與函數的看法比較抽象，不易掌握，故本部分內容宜采用教師引導，師生共同商議的方式來學習.在授課中，教師能夠近似舉以下的例子進行剖析：例1：設會集和都是自然數會集.照射把會集中的元素照射到會集中的元素,則在照射作用下,2的象是；20的原象是_.剖析：由已知，在照射作用下的象為.因此，2的象是；設象20的原象為，則的象為20，即.由于，隨著的增大而增大，又，因此20的原象是4.這個例子要修業生理解照射的意義，關于給出對應關系的照射會求照射中指定元素的象與原象.能夠

7、有效鑒識學生對照射、象、原象這些看法的掌握程度.同時，題目中兼顧關于函數性質的研究，擁有必然的綜合程度.二、函數看法與性質的授課建議：（一）怎樣深入掌握函數的看法？1照射與函數的授課建議：Word文檔.授課中，由于照射與函數的看法比較抽象，不易掌握，故本部分內容宜采用教師引導，師生共同商議的方式來學習.在授課中，教師能夠近似舉以下的例子進行剖析：例1：設會集和都是自然數會集.照射把會集中的元素照射到會集中的元素,則在照射作用下,2的象是；20的原象是_.剖析：由已知，在照射作用下的象為.因此，2的象是；設象20的原象為，則的象為20，即.由于，隨著的增大而增大，又，因此20的原象是4.這個例子

8、要修業生理解照射的意義，關于給出對應關系的照射會求照射中指定元素的象與原象.能夠有效鑒識學生對照射、象、原象這些看法的掌握程度.同時，題目中兼顧關于函數性質的研究，擁有必然的綜合程度.2函數的定義域問題：確定函數的定義域是研究函數問題的先決條件，因此關于一個函數問題，第一要明確自變量的取值會集.授課中，教師可經過近似下述問題明確求函數定義域的幾類常有問題：例2：求以下函數的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）；解：（1）由，得，因此或，因此或.Word文檔.因此，所求函數的定義域為.（2）由得，或.因此，所求函數的定義域為.（3）由得，且，因此，所求函數的定義域為（4）由得即因此.因此，所求

9、函數定義域為.例3：如圖，用長為的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架，若矩形的底邊長為，求此框架圍成的面積與的函數關系式，并指出定義域.解:依照題意,.弧長為，因此.因此，.依照問題的實質意義.解得.因此，所求函數定義域為.Word文檔.上述求函數定義域問題涵蓋了確定函數定義域的兩各種類問題.（1）給出函數剖析式求定義域（如例2），這類問題就是求使剖析式有意義的自變量的取值范圍.正確的解不等式或不等式組在解決這類問題中是重要的.中學數學中常有的對變量有限制的運算法規有：分式中分母不為零；偶次方根下被開方數非負；零次冪的底數要求不為零；對數中的真數大于零，底數大于零且不等于1；，則.2）在實

10、責問題中求函數的定義域（如例3）.在這類問題中除了考慮剖析式對自變量的限制,還應試慮實責問題對自變量的限制.其他，在辦理函數問題時要有一種隨時關注定義域的意識，這是極其重要的.比方在研究函數單調性、奇偶性、最值等問題時，第一要考慮的就是函數的定義域.3函數的對應法規問題：確定函數的對應法規（即求函數的剖析式）是相關函數看法中的重要問題，授課中教師能夠設置以下相關題組，和學生共同解決.例4：（1）已知，求的剖析式；（2）已知，求的值；（3）若是為二次函數，而且當時，獲取最小值，求的剖析式；（4）已知函數與函數的圖象關于直線對稱，求的剖析式.Word文檔.剖析：（1）求函數的剖析式，從照射的角度看

11、就是求對應法規，于是，我們一般有下面兩種方法解決（1）這樣的問題.方法一：.經過這樣“湊型”的方法，我們能夠明確看到法規是“原象對應于原象除以原象的平方減1”.因此，.方法二：設,則.則，因此.這樣，經過“換元”的方法也能夠明確看到法規是什么.（2）用“湊型”的方法，.因此，.（3）由于為二次函數，而且當時，獲取最小值，因此，可設，又，因此，因此.（4）這個問題相當于已知的圖象滿足必然的條件，進而求函數的剖析式.所以，能夠類比剖析幾何中求軌跡方程的方法求的剖析式.設的圖象上任意一點坐標為，則關于對稱點的坐標為，由已知，點在函數的圖象上，因此，點的坐標滿足的剖析式，即，因此，.Word文檔.由于

12、已知條件的不同樣，求函數的剖析式的常有方法有像（1）（2）所用到的“湊形”及“換元”的方法；有像（3）所用到的待定系數法；也有像（4）所用到的剖析法.值得注意的是（4）中所用的剖析法.在求函數剖析式或求曲線的軌跡方程時都能夠用這種方法，是一種通法.同時也表示函數和它的圖象與曲線和它的方程之間有必然的取系.（二）授課中怎樣突出函數性質的實質？函數的性質主要包括函數的單調性、奇偶性、周期性與對稱性等，重視點在于理解與函數性質相關的看法，掌握相關判斷、證明的基本方法以及簡單的應用.這部分內容常用到數形結合的思想方法.1關于基本看法的理解：（1）設函數的定義域為，若是關于內的任意一個，都有，且，則這個

13、函數叫做奇函數.設函數的定義域為，若是關于內任意一個，都有，且，則這個函數叫做偶函數.由奇函數定義可知，關于奇函數，點與點都在其圖象上.又點與點關于原點對稱，我們能夠獲取：奇函數的圖象是以坐標原點為對稱中心的中心對稱圖形；經過同樣的剖析能夠獲取，偶函數的圖象是以軸為對稱軸的軸對稱圖形.（2）一般地，設函數的定義域為，區間.若是取區間中的任意兩個值，改變量，則當時，就稱函數在區間上是增函數；當時，就稱函數在區間上是減函數.若是一個函數在某個區間上是增函數或是減函數，就說這個函數在這個區間上擁有單調性，區間稱為單調區間.在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的.Word文檔.（3）

14、一般地，關于函數，若是存在一個不為零的常數，使合適取定義域中的每一個值時，都建立，那么就把函數叫做周期函數，不為零的常數叫做這個函數的周期.（4）一般地，關于函數，若是存在一個不為零的常數，使合適取定義域中的每一個值時，都建立，則函數的圖象關于直線對稱.這四個看法都比較抽象，建議表達相關看法時采用數形結合的手段，不斷揭穿看法的幾何背景，進而完滿學生對看法的認識.2關于函數的奇偶性問題：關于函數的奇偶性，要修業生會判斷及簡單應用.授課中可給出以下題組：例1：判斷以下函數的奇偶性.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.解：（1）解，獲取函數的定義域為或，關于原點不對稱，因此此函數為非奇非偶函數.

15、（2）函數的定義域為，但是，由于，即，且，因此此函數為非奇非偶函數.（3）函數的定義域為，又，因此此函數為偶函數.（4）解，得，Word文檔.又，因此此函數為奇函數.（5）函數的定義域為，又，因此此函數為奇函數.經過本例及函數奇偶性的定義，進一步能夠獲取下面幾個結論：一個函數是奇（或偶）函數的必要不充分條件是定義域關于原點對稱；是奇函數，而且在時有定義，則必有；既是奇函數又是偶函數的函數，其剖析式必然為，等.判斷函數奇偶性依照其定義能夠分為兩個步驟：判斷函數的定義域可否關于原點對稱；察看與的關系.由此，若以奇偶性為標準能夠把函數分為奇函數，偶函數，既奇又偶函數和非奇非偶函數四類.例2：已知為奇

16、函數，當時，（1）求的值；（2）當時，求的剖析式.解：（1）由于為奇函數，因此.（2）方法一:當時,.因此，.Word文檔.方法二:設是在時圖象上一點,則必然在在時的圖象上.因此，.上述三個例子分別從詳盡函數、抽象函數、以及奇偶性的應用上加深對看法的理解.3關于函數的單調性問題：例3：用函數單調性定義證明，函數在區間上為增函數.證明：設，由于，因此，又由于，因此，因此，函數在區間上為增函數.例4：設是定義域為的奇函數，且它在區間上是減函數.（1）試比較與的大小；（2）若，且，求證：.解：（1）由于是奇函數，因此，Word文檔.又在區間上是減函數，因此，即.（2）由于，因此異號，不如設，由于，因

17、此，由于，在區間上是減函數，因此，由于是奇函數，因此，因此，即.總之，函數的單調性是我們研究的極為重要的函數性質，其與其他問題的聯系、自己的應用都很寬泛，在授課中要予以充分注意.（三）怎樣有效提升學生對基本初等函數的圖象與性質的掌握？基本初等函數包括:二次函數、指數函數、對數函數和冪函數.函數的圖象上直觀地反響著函數的性質,學習函數的“捷徑”是熟知函數的圖象.熟知函數圖象包括三個方面：作圖，讀圖，用圖.掌握初等函數一般包括以下一些內容：第一是函數的定義，此后是函數的圖象和性質.函數的性質一般包括定義域，值域，圖象特點，單調性，奇偶性，周期性，零點、最值以及值的變化特點等，研究和記憶函數性質的時

18、候應全面考慮.函數的定義（平時情況下是剖析式）決定著函數的性質，我們能夠經過剖析式研究函數的性質，也能夠經過剖析式畫出函數的圖象，進而直觀的發現函數的性質.1關于二次函數的辦理：關于二次函數，初中已有研究，但高中階段辦理二次函數的視角又和初中有所不同樣.比方：設是實數，證明關于的方程有兩個不相等的實數解.（初中、高中的不同樣辦理方法）授課中能夠參照以下的題目：Word文檔.例1：（1）若是二次函數在區間上是增函數，則的取值范圍是_.（2）二次函數的最大值恒為負，則的取值范圍是_.（3）函數關于任意均有，則，的大小關系是_.解：（1）由于此拋物線張口向上，且在上是增函數，畫簡圖可知此拋物線對稱軸

19、或與直線重合，或位于直線的左側，于是有，解之得.（2）剖析二次函數圖象可知，二次函數最大值恒為負的充要條件是“二次項系數，且鑒識式”，即解得.（3）由于關于任意均有，因此拋物線對稱軸為.又拋物線張口向上，做出函數圖象簡圖可得.例2、已知二次函數的對稱軸為，且圖象在軸上的截距為，被軸截得的線段長為，求的剖析式.解：解法一：設，由的對稱軸為，可得；由圖象在軸上的截距為，可得；由圖象被軸截得的線段長為，可得均為方程的根.Word文檔.因此，即，因此.解法二：由于圖象被軸截得的線段長為，可得均為方程的根.因此，設，又圖象在軸上的截距為，即函數圖象過點.即.因此.二次函數是非常常有的一種函數模型，在高中

20、數學中地位很重.二次函數的剖析式有三種形式：一般式；極點式，其中為極點坐標；雙根式，其中為函數圖象與軸交點的橫坐標，即二次函數所對應的一元二次方程的兩個根.例1、2兩個題目充分表現了數形結合思想及運動變化思想的運用.這兩種數學思想在函數問題的解決中被寬泛使用.2關于指數函數、對數函數和冪函數的辦理：這三種基本初等函數是在研究一般函數基礎上的重要模型，授課中建議采用以下問題突出相關函數性質的應用.例3、比較以下各小題中各數的大小：（1）與；（2）；（3）與；（4）與；（5）與；（6）.剖析：（1）是減函數,.Word文檔.（2）函數在區間(0,+)上是增函數，因此，函數在區間(0,+)上是減函數

21、，因此，因此.（3）由于,因此.（4）利用冪函數和指數函數單調性.（5）由于,.依照不等式的性質有.（6）由于，因此，即；比較與，只需比較與，由于是增函數，因此只需比較與的大小，由于，因此，因此，綜上，.例4：已知，比較的大小.剖析：方法一（作商比較法），又，因此，因此，因此.Word文檔.方法二（作差比較法），由于，因此，因此，即.方法三（構造函數）令，將看作是關于的一次函數，由于，因此此函數為減函數，又，因此，即.兩個數比較大小的基本思路：若是直接比較，能夠考慮用比較法（包括“作差比較”與“作商比較”，如例4的方法一與方法二），也許利用函數的單調性來比較（如例3（1）（2）（3），例4的方

22、法三）.若是用間接的方法能夠試一試對要比較的兩數進行合適的變形，轉變為對另兩個數的比較，也能夠考慮借助中間量來比較（如例3（4）（5）（6）.三、學生學習中常有的錯誤剖析與解決策略例1：以下四組函數中，表示同一個函數的是（）（A）,（B）,（C）,（D）,易錯點：定義域；對應法規；函數的看法.錯因剖析：忽視函數的定義域；不清楚函數看法的實質，如（B）中表示自變量的字母不同樣，就誤認為不會是同一個函數.Word文檔.解題策略：判斷兩個函數可否為同一函數，就是要看兩個函數的定義域與對應法規可否完好同樣.一般有兩個步驟：（1）在不對剖析式進行變形的情況下求定義域，看定義域可否一致.（2）對剖析式進行

23、合理變形的情況下，看對應法規可否一致.剖析：（A）（C）（D）中兩個函數的定義域均不同樣，因此不是同一函數.（B）中兩個函數的定義域同樣，化簡后為及，對應法規也同樣，因此選（B）.這個例子能夠有效檢測學生對函數看法的掌握，同時突出照射與函數看法的聯系.例2：已知函數的定義域為，求函數及的定義域.易錯點：對應法規定義域；定義域的看法.錯因剖析：對對應法規的符號不理解；不清楚定義域的含義.解題策略：此題的題設條件中未給出函數的剖析式，這就要求我們依照函數三要素之間的相互限制關系明確兩件事情：定義域是指的取值范圍；受對應法規限制的量的取值范圍在“已知”和“求”中間是一致的.那么由的定義域是可知法規限

24、制的量的取值范圍是，而在函數中，受直接限制的是，而定義域是指的范圍，因此經過解不等式得，即的定義域是.同理可得的定義域為.例3：設函數在上有定義，的值不恒為零，關于任意的，恒有建立，則函數的奇偶性為_.易錯點：抽象函數；對“恒建立”的理解.錯因剖析：抽象函數的相關性質；對“恒建立”的理解不清楚，不能夠將其轉變為所需求的構造.解題策略：關于對抽象函數“”的使用一般有以下兩個思路：令為某些特其他值，如此題解法中，令獲取了.自然，若是令則能夠獲取，等等.Word文檔.令擁有某種特其他關系，如此題解法中，令.獲取，在某些情況下也可令，等等.總之，函數方程的使用比較靈便，要依照詳盡情況作合適辦理.在不是

25、很熟悉的時候，要有試一試看的勇氣.解：令，則，因此，再令，則，因此，又的值不恒為零，故是奇函數而非偶函數.例4：已知函數是定義域為的單調增函數.（1）比較與的大小；（2）若，求實數的取值范圍.易錯點：函數看法；增函數.錯因剖析：對函數看法中的對應法規的理解不清楚；沒有理解增函數看法的實質，不會將其應用于解決問題.解題策略：回顧單調增函數的定義，在，為區間任意兩個值的前提下，有三個重要的問題：的符號；的符號；函數在區間上是增還是減.由定義可知：關于任取的，若，且，則函數在區間上是增函數；不但這樣，若，且函數在區間上是增函數，則；若，且函數在區間上是增函數，則；于是，我們能夠清楚地看到，函數的單調

26、性與不等式有著自然的聯系，請結合例4加以領悟.解：（1）由于，因此，Word文檔.由已知，是單調增函數，因此.（2）由于是單調增函數，且，因此，解得或.四、學生學習目標檢測剖析（一）課程標準中的相關要求1函數經過豐富實例，進一步領悟函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，在此基礎上學習用會集與對應的語言來刻畫函數，領悟對應關系在刻畫函數看法中的作用；認識構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；認識照射的看法。在實質情境中，會依照不同樣的需要選擇合適的方法（如，圖像法、列表法、剖析法）表示函數。經過詳盡實例，認識簡單的分段函數，并能簡單應用。經過已學過的函數特別是二次函數，理解函數的

27、單調性、最大（小）值及其幾何意義；結合詳盡函數，認識奇偶性的含義。學會運用函數圖像理解和研究函數的性質。2指數函數經過詳盡實例（如，細胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內殘留量的變化等），認識指數函數模型的實質背景。理解有理指數冪的含義，經過詳盡實例認識實數指數冪的意義，掌握冪的運算。理解指數函數的看法和意義，能借助計算器或計算機畫出詳盡指數函數的圖像，研究并理解指數函數的單調性與特別點。在解決簡單實責問題的過程中，領悟指數函數是一類重要的函數模型。3對數函數Word文檔.理解對數的看法及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉變為自然對數或常用對數；經過閱讀資料，認識對數的發現歷

28、史以及對簡化運算的作用。經過詳盡實例，直觀認識對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，領悟對數函數是一類重要的函數模型；能借助計算器或計算機畫出詳盡對數函數的圖像，研究并認識對數函數的單調性與特別點。知道指數函數y=ax與對數函數y=logax互為反函數。（a0,a1）4冪函數23經過實例，認識冪函數的看法；結合函數y=x,y=x,y=x,y=,y=的圖像，認識它們的變化情況。（二）高考考試內容與要求1函數認識構成函數的要素，會求一些簡單函數的定義域和值域；認識照射的看法.在實質情境中，會依照不同樣的需要選擇合適的方法（如圖像法、列表法、剖析法）表示函數.認識簡單的分段函數，并能簡單應用.理解函數的單調性、最大（小）值及其幾何意義；結合詳盡函數，認識函數奇偶性的含義.會運用函數圖像理解和研究函數的性質.2指數函數認識指數函數模型的實質背景.理解有理指數冪的含義，認識實數指數冪的意義，掌握冪的運算.理解指數函數的看法，理解指數函數的單調性，掌握函數圖像經過的特別點.知道指數函數是一類重要的函數模型.3對數函數Word文檔.理解對數的看法及其運算性質，知道用換底公式能將一般對數轉變為自然對數或常用對數