1、專題四三角函數4.1三角函數的概念、同角三角函數的基本關系及誘導公式數學 北京專用考點一三角函數的概念以及同角三角函數的基本關系考點清單考向基礎1.象限角第一象限角的集合第二象限角的集合第三象限角的集合第四象限角的集合終邊落在x軸上的角的集合|=k,kZ終邊落在y軸上的角的集合終邊落在坐標軸上的角的集合終邊與角終邊相同的角的集合|=+2k,kZ2.終邊相同的角3.弧度制(1)角度制與弧度制的互化1= rad;1 rad=.(2)弧長及扇形面積公式弧長公式:l=|r.扇形面積公式:S=lr=|r2,其中|為圓心角弧度數的絕對值,r為扇形半徑.4.任意角的三角函數的定義設角終邊上任意一點的坐標為(

2、x,y),它與原點的距離為r,則sin =,cos =, tan = .5.三角函數值在各象限的符號上述符號可簡記為:一全正,二正弦,三正切,四余弦.6.同角三角函數的基本關系(1)平方關系:sin2+cos2=1;(2)商數關系:tan =.【知識拓展】(1)利用平方關系求三角函數值,在進行開方時,要根據角的象限或范圍判斷符號后,正確取舍.(2)三角求值、化簡是三角函數的基礎,在求值與化簡時,常用方法有:弦切互化法:利用公式tan x=進行轉化;和積轉換法:如利用(sin cos )2=12sin cos 進行變形、轉化;巧用“1”的變換:1=sin2+cos2=cos2(1+tan2)=s

3、in2.注意求值與化簡后的結果要盡可能有理化、整式化.(3)已知tan =m,求解關于sin 、cos 的齊次式問題必須注意以下幾點:一定是關于sin 、cos 的齊次式(或能化為關于sin 、cos 齊次式的三角函數式).因為cos 0,所以可用cosn(nN*)除之,這樣可以將被求式化為關于tan 的表達式,進而將tan =m代入,從而完成被求式的求值運算.注意1=sin2+cos2的應用.(4)半角的“八卦圖”在平面直角坐標系中作一個單位圓,作出四個象限的角平分線,把單位圓分成八等份,如圖,按逆時針方向依次標上1,2,3,4,1,2,3,4,其含義為:如果是第一象限的角,則為圖中1和它的

4、對頂部分,即第一或第三象限的角;如果是第二象限的角,則為圖中2和它的對頂部分,即第一或第三象限的角;如果是第三象限的角,則為圖中3和它的對頂部分,即第二或第四象限的角;如果是第四象限的角,則為圖中4和它的對頂部分,即第二或第四象限的角.考向突破考向利用同角三角函數基本關系求三角函數值例1(2018北京順義二模,13)在平面直角坐標系xOy中,角與角均以Ox為始邊,它們的終邊關于x軸對稱,若cos =,則cos(-)=.解析由三角函數的定義可得cos =.若為第一象限角,則為第四象限角,sin =,sin =-;若為第四象限角,則為第一象限角,sin =-,sin =.sin sin =-.co

5、s(-)=cos cos +sin sin =-.答案- 考點二三角函數的誘導公式考向基礎1.三角函數的誘導公式角“(kZ)”的三角函數的記憶口訣:“奇變偶不變,符號看象限”.公式一二三四五六角2k+(kZ)+-+正弦sin -sin -sin sin cos cos 余弦cos -cos cos -cos sin -sin 正切tan tan -tan -tan 口訣函數名不變,符號看象限函數名改變,符號看象限2.正確理解“奇變偶不變,符號看象限”“奇”“偶”指的是k+(kZ)中的整數k是奇數還是偶數.“變”與“不變”是相對于奇偶關系而言的,sin 與cos 對偶.“符號看象限”指的是在k+

6、(kZ)中,將看成銳角時,k+(kZ)的終邊所在的象限.考向突破考向利用誘導公式進行化簡求值例2(2016四川,11,5分)sin 750=.解析sin 750=sin(720+30)=sin 30=.答案 方法1同角三角函數基本關系式的應用技巧1.已知sin ,cos 與tan 三者中的一個求另外兩個,可利用平方關系和商數關系構造方程組求解.2.已知tan 的值,求關于sin 與cos 的齊n次分式的值,可將分子、分母同除以cosn,轉化為關于tan 的式子求解.3.“1”的代換問題:含有sin2,cos2及sin cos 的整式求值問題,可將所求式子的分母看作“1”,利用“sin2+cos

7、2=1”代換后轉化為“切”,然后求解.特別提醒:對于sin +cos ,sin cos ,sin -cos 這三個式子,已知其中一個式子的值,可求其余兩個式子的值.轉化的公式為(sin cos )2=12sin cos方法技巧 .例1已知,且+=35,則tan 2=()A.B.C.D.解題導引 解析依題意,知12(sin +cos )=35sin cos ,令sin +cos =t,t(1,兩邊平方并整理得sin cos =,原式化為12t=35,解得t=,故sin +cos =,sin cos =,即=,即=,即12tan2-25tan +12=0,解得tan =或tan =,由tan 2=可得tan 2=或tan 2=-,故選D.答案D方法2誘導公式及其應用利用誘導公式求解問題時,應先觀察角,后看函數名.一般是先將負角化成正角,再化為0360的角,最后化成銳角求其函數值.在化簡過程中應牢記“奇變偶不變,符號看象限”的原則.例2sin(-1 200)cos 1 290+cos(-1 020)sin(-1 050)=()A.-1B.1C.D.-解題導引 解析原式=-sin 1 200cos 1 290-cos 1 020sin 1 050=-sin(3360+120)cos(3360+210)-cos(2360+300)sin(2360+330)=-sin 1