1、精品文檔由遞推公式求通項(xiàng)公式的常用方法由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)問題，也是難點(diǎn)問題， 它是歷年高考命題的熱點(diǎn)題。 對(duì)于遞推公式確定的數(shù)列的求解， 通常可以通過遞推公式的變換， 轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題，有時(shí)也用到一些特殊的轉(zhuǎn)化方法與特殊數(shù)列。方法一：累加法形如 an+1 anf(n)（n2,3,4 , ） , 且 f( 1) f( 2) f( n- 1) 可求，則用累加法求 an。有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后利用這種方法求解。例 1：（ 07 年北京理工農(nóng)醫(yī)類）已知數(shù)列 an中，1 2,an1ancn(c是常數(shù)， na 1,2,3,)且 a1,a2,a3 成公比

2、不為 1 的等比數(shù)列1）求 c 的值2）求 an 的通項(xiàng)公式解：（ 1） a1,a2,a3 成公比不為1 的等比數(shù)列a22a1a3an1ancn(n1,2,3, )(a1c)2a1(a1c 2c)又a12解得c或（舍去）20因此 c2（2）由（1）知 an 1an2n,即 an 1an 2n ，將 n 1,2, ,n1,分別代入a2a121a3a222a4a323anan 12(n1)將上面 n 1 個(gè)式子相加得an a1 2(12 3 n1)n2n又 a1 2, ann2 n 2方法二 ：累乘法形如 an+1 g(n)（ n 2,3,4），且f(1) f(2) f(n 1)可求，則用累乘法求

3、an.有時(shí)若不an能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解。精品文檔精品文檔例 2：設(shè) an 是首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列，且 (n 1)an 12 nan 2 an 1an 0(n 1,2,3 )，求它的通項(xiàng)公式。解：由題意知a1=1,an 0(n 1,2,3 )由 (n 1)an 12 nan2 an 1an 0得 (an 1 an)( n 1)an 1 nan 0因?yàn)?，則an n所以 an+1nn,n,ann1a2=1a1232a=a23an=n 1an1n將上面 n1 個(gè)式子相乘得 ，an12 n1a123n1又 a1=1，則 ann點(diǎn)評(píng)：本題先由已知求出遞推公式，化成了an+1

4、g(n)的類型，再利用累乘法求通項(xiàng)公an式。方法三：構(gòu)造新數(shù)列法構(gòu)造新數(shù)列法：將遞推關(guān)系經(jīng)過適當(dāng)?shù)暮愕茸冃无D(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的遞推關(guān)系（等差數(shù)列、等比數(shù)列、常數(shù)列或等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和形式），以下類型均采用這種解法。類型一 : an 1 Aan B(A,BR,A 0) 線性遞推關(guān)系當(dāng) A 0，B0 時(shí)， an 1 Aan 是以 A 為公比的等比數(shù)列；精品文檔精品文檔當(dāng) A0，B0時(shí)， a 1 AanB 可變形為 a 1B A（an B ），此時(shí)nnA 1A 1就構(gòu)造出了 anB 這樣一個(gè)以aB為首項(xiàng)，以 A 為公比的新的等比數(shù)列，從而A 1A 1求出 an。例 3：（ 07 年全國(guó)理科卷）已知

5、數(shù)列 an 中， a12, an1（ 2 1）（an 2） n 1,2,3,， 求 an 的通項(xiàng)公式。解：由題設(shè)： an1 （ 2 1）（ an 2）可變形為 an 12 =（2 1）（ an2 ）所以數(shù)列 an2 是首項(xiàng)為 22 公比為2 1 的等比數(shù)列，則an2 2 （2 1）n 即 an 的通項(xiàng)公式為an2 （2 1）n 1類型二 ：an 1 pancqn(其中 p,q,c 均為常數(shù) )方法一： 觀察所給的遞推公式， 它一定可以變形為 an 1 xqn+1p(anxqn ),將遞推關(guān)系 an 1 pancqn 待入得 pancqn xqn+1 p(anxqn )解得 x pc q,則由原

6、遞推公式構(gòu)造出了 an 1 c qn+1p(anc qn )，而數(shù)列 ancqn 是以為首相以為公比p qp qp q的等比數(shù)列。nn+1n+1nn方法二：將 an1兩邊分別除以qpancq,則有n+1nn+1然后利用累加法ppp求得。可見對(duì)于同一個(gè)題型的構(gòu)造的新數(shù)列類型可能不唯一，所以要注意巧妙構(gòu)造。例 4：（ 07 年唐山二摸） 在數(shù)列 an中，11，1n1 1n*na6an2a23(n n,n 2) ,求 a 的通項(xiàng)公式。111111),則數(shù)列 111解：由 anan n可變形為 an+ n (an n-1an+ n 是以為 a1+首2233233321,根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得1（1

7、n項(xiàng)以 為公比的等比數(shù)列an+n）232精品文檔精品文檔1因此 an n n 2 3類型三： an 2 pan1qan(其中 p,q 均為常數(shù) )方法：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為 2san1n1sans t p，其中 s,t 滿足an= t(a)s t q再利用等比數(shù)列來求解。例 5：已知數(shù)列 an 中, a1=1, a2=2,an2 2an11an, 求 an 的通項(xiàng)公式。33解：由 an2 2an 11an 可轉(zhuǎn)化為an2 san1= t(an1san)33即 an 2（ s t） an1s tan,s t2s 11s 113解得或s 3這里不妨選用（當(dāng)然也可以選用s 3）111s tt 3t

8、1t 3t 13an2 an1= 13 (an 1 an)所以 an1an 是以 a2 a11 為首項(xiàng) ,13為公比的等比數(shù)列，1 n-1所以 an 1 an( )31 n-110111n-21(3)再用累加法 ana1() ()+ ( )133313731n-1又 a1=1，因此 an44(3)上面給大家介紹了由遞推公式求通項(xiàng)公式常用的三種方法（累加法、 累乘法和構(gòu)造新數(shù)列法） 以及幾種典型類型題。構(gòu)造新數(shù)列法比較簡(jiǎn)捷，但如果觀察不到結(jié)構(gòu)的特殊性，就想不到構(gòu)造的新數(shù)列， 所以仔細(xì)觀察結(jié)構(gòu)的特征是運(yùn)用這種方法解決求通項(xiàng)公式的問題的關(guān)鍵所在。如果構(gòu)造新數(shù)列難度較大時(shí)也可采用迭代法 求通項(xiàng)公式，

9、迭代法即根據(jù)遞推公式循環(huán)代入， 一直代到首項(xiàng)為止， 上面這些類型的問題大都也可采用此種方法求解。有時(shí)由遞推公式求通項(xiàng)公式還可以用 猜想歸納法 ，即利用數(shù)列的遞推公式求出前幾項(xiàng)，根據(jù)前幾項(xiàng)猜想出精品文檔精品文檔通項(xiàng)公式， 然后運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明其正確性。 需要說明的是以上這些方法都有一定的局限性，求解時(shí)要注意靈活運(yùn)用。配套練習(xí)：1、 已知數(shù)列n滿足a11，an 1 an 21,求n。a 2nna2、（04 年唐山二摸）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1，2n-1anan 1(nN, n2)，求an。3、（ 06 年福建卷）已知數(shù)列 an 滿足 a1 1， an1 2an 1（ n 2），求 an。、已知數(shù)列n511 n+1，求 an。1 ， an