1、優選文檔優選文檔PAGEPAGE41優選文檔PAGE選修4-5不等式選講講義河南省三門峽市盧氏縣第一高級中學山永峰不等式選講是新課標的新增內容，也是選考內容。從題型上看小題、大題都有，難度不大。從能力要求上看，主要觀察學生認識不等式、應用不等式的能力，解析問題和解決問題的能力。（1）在填空題或解答題中觀察含絕對值不等式的解法與含絕對值符號的函數的最值、恒成立問題。（2）直接運用柯西不等式、排序不等式或證明不等式，經常難度不大。加以適合的訓練是完好能夠掌握的。預計在2015年高考中：（1）本專題仍為選考部分內容，且以絕對值不等式的解法和證明內容為主，把不等式的綜合應用放在次重點地址上，把不等式的

2、證明放在一般地址上。從題型上看，仍為填空題或解答題，難度不大。現結合考綱領求和自己多年授課經驗整理以下，以餙讀者！第一節絕對值不等式備考方向要了然考什么怎么考1.理解絕對值不等式的幾何意義，并能利用絕從近兩年的高考試題能夠看出，本節重對值不等式的幾何意義證明以下不等式：點觀察含絕對值不等式的解法(可能含(1)|ab|a|b|；(2)|ab|ac|cb|.參)或以函數為背景證明不等式，題型為2.會利用絕對值的幾何意義求解以下種類的不解答題，如2012年新課標T24等.等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.歸納知識整合1絕對值不等式的解法(1)|axb|c(c0)和|axb|c(c0

3、)型不等式的解法|axb|c?caxbc.|axb|c?axbc或axbc.(2)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，表現了數形結合思想；法二：利用“零點分段法”求解，表現了分類談論思想；法三：經過構造函數，利用函數的圖象求解，表現了函數與方程的思想研究1.解含絕對值不等式或含絕對值方程的重點是什么？提示：重點是依照絕對值的定義或性質去掉絕對值2絕對值三角不等式(1)定理1：若是a，b是實數，則|a|b|ab|a|b|，當且僅當ab0時，等號成立(2)定理2：若是a，b，c是實數，那么|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc

4、)0時，等號成立研究2.絕對值的三角不等式的向量形式及幾何意義是什么？提示：當a，b不共線時，|ab|a|b|，它的幾何意義是三角形的兩邊之和大于第三邊自測牛刀小試1求不等式|2x1|3的解集2已知函數f(x)|x2|x1|，求f(x)的值域3(2011西江)關于xR，求不等式|x10|x2|8的解集4已知關于x的不等式|x1|x|k無解，求實數k的取值范圍5若是關于x的不等式|xa|x4|1的解集是全體實數，求實數a的取值范圍考點一：絕對值不等式性質的應用例1確定“|xa|m且|ya|m”是“|xy|2m(x，y，a，mR)”的什么條件兩數和與差的絕對值不等式的性質|a|b|ab|a|b|(

5、1)對絕對值三角不等式定理|a|b|ab|a|b|中等號成立的條件要深刻理解，特別是用此定理求函數的最值時(2)該定理可增強為|a|b|ab|a|b|，它經常用于證明含絕對值的不等式變式訓練：1若不等式|x1|x2|a對任意xR恒成立，求的取值范圍考點二：絕對值不等式的解法例2(2012新課標全國卷)已知函數f(x)|xa|x2|.(1)當a3時，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍絕對值不等式的解法(1)用零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零點；劃區間、去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每個結果的并集，注意在分段時不要遺漏區間的端點值(2)

6、用圖象法，數形結合能夠求解含有絕對值的不等式，使得代數問題幾何化，既平時易懂，又簡潔直觀，是一種較好的方法變式訓練：2設函數f(x)|x1|xa|(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)若是?xR，f(x)2，求a的取值范圍3(2011遼寧高考)已知函數f(x)|x2|x5|.(1)證明：3f(x)3；(2)求不等式f(x)x28x15的解集種方法求解絕對值不等式的方法形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有以下解法：(1)零點分段談論法：利用絕對值號內式子對應方程的根，將數軸分為(，a，(a，b，(b，)(此處設ac(c0)的幾何意義：數軸上到點x1a和x2b的距離之和大于c的點的會集(

7、3)圖象法：作出函數y1|xa|xb|和y2c的圖象，結合圖象求解.創新交匯含參數的絕對值不等式的恒成立問題1含參數的絕對值不等式的恒成立問題是高考的熱點內容之一，此類問題常與二次函數、對數函數、三角函數結合命題，需要有必然的綜合知識的能力2解答此類問題時，依照絕對值的定義，分類談論去掉絕對值符號，轉變成分段函數，爾后利用數形結合解決，是常用的思想方法典例(2012遼寧高考)已知f(x)|ax1|(aR)，不等式f(x)3的解集為x|2x1(1)求a的值；x(2)若fx2f2k恒成立，求k的取值范圍名師談論1本題有以下創新點把絕對值不等式與會集、函數知識、恒成立問題親密結合起來研究，盡管難度不

8、大，但需要有必然的知識綜合能力2解決本題的重點點解答本題的重點點：(1)先求解不等式|ax1|3，并將解集與已知解集比較求出a的值；(2)利用零點分段談論去掉絕對值，將問題轉化為恒成立問題3在解決恒成立問題時應注意Cf(x)恒成立?Cf(x)max，Cf(x)恒成立?Cf(x)min.變式訓練1(2014陜西高考改編)若存在實數x使|xa|x1|3成立，求實數a的取值范圍2(2014蘇北四市調研)已知函數f(x)|x1|x2|.若不等式|ab|ab|a|f(x)對a，bR，且a0恒成立，求實數x的范圍模擬測試題：1(2014青島模擬)若不等式x2|2x6|a關于一的確數x均成立，求實數a的最大

9、值2(2013江西高考)在實數范圍內，求不等式|2x1|2x1|6的解集13若不等式xx|a2|1關于所有非零實數x均成立，求實數a的取值范圍4解不等式x|2x1|3.5設函數f(x)|2x1|x4|.(1)解不等式f(x)2；(2)求函數yf(x)的最小值備選習題：1若不等式|3xb|0)(1)當a1時，求此不等式的解集；(2)若此不等式的解集為R，求實數a的取值范圍3已知f(x)|6xa|.15(1)若不等式f(x)4的解集為x|x2或x6，求實數a的值；(2)在(1)的條件下，若f(x1)f(x1)b對一的確數x恒成立，求實數b的取值范圍第二節不等式證明的基本方法備考方向要了然考什么怎么

10、考1.認識以下柯西不等式的幾種不同樣形式理解它們的幾何意義，并會證明柯西不等式的向量形式：|.(a2b2)(c2d2)(acbd)2.1.該部分是對必修5中“不等式”的x1x22y1y22x2x32y2y32補充和深入，屬選學選考內容單獨x1x32y1y32(平時稱為平面三角不等式)命題時，以解答題形式出現，屬中等2.會用向量遞歸方法談論排序不等式難度題目3.認識數學歸納法的原理及其使用范圍，會用數學歸2.高考觀察的重點是不等式的證明、納法證明一些簡單問題基本不等式、柯西不等式、數學歸納4.會用數學歸納法證明貝努利不等式：(1x)n1法的應用，利用基本不等式、柯西不等式求函數的最值等，如201

11、2年新課nx(x1，x0，n為大于1的正整數)，認識當n標T24等.為大于1的實數時貝努利不等式也成立5.會用上述不等式證明一些簡單問題能夠利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函數的極值6.認識證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法.歸納知識整合1比較法：作差比較法與作商比較法的基根源理：方法原理作差法作商法2綜合法與解析法方法ab0?abab1?ab(a0，b0)特色證明不等式時，從已知條件出發，利用定義、公義、定理、性質等，綜合法經過推理論證而得出命題成立，綜合法又叫順推證法或由因導果法證明命題時，從待證不等式出發，漸漸追求使它成立的充分條件，解析法直到將待證不等式

12、歸納為一個已成立的不等式(已知條件、定理等)這是一種執果索因的思慮和證明方法.研究1.在證明不等式時綜合法和解析法如同何的關系？提示：綜合法：由條件出發推導出所要證明的不等式成立解析法：從結論出發搜尋使結論成立的充分條件，綜合法與解析法是對峙一致的兩種方法在實質解題時，經常用解析法研究解題思路，用綜合法表達2在什么條件下用解析法證明不等式？提示：若是不合合用反證法、歸納法，而綜合法又不易操作時，經過解析又簡單找到使要證明結論成立的已知條件，這時用解析法3反證法：先假設要證的命題不成立，以此為出發點，結合已知條件，應用公義、定義、定理、性質等，進行正確的推理，獲取和命題的條件(或已證明的定理、性

13、質、明顯成立的事實等)矛盾的結論，以說明假設不正確，從而證明原命題成立，我們把它稱為反證法4放縮法：證明不等式時，有時要把所證不等式的一邊適合地放大或減小，以利于化簡，并使它與不等式的另一邊的不等關系更為明顯，從而得出原不等式成立這種方法稱為放縮法5數學歸納法：數學歸納法證明不等式的一般步驟(1)考據：當n取第一個值n0(比方n01,2等)時結論正確；(2)假當nk正確，明當nk1也正確合(1)(2)可知，于任意nn0，且n0，nN*都成立6柯西不等式：a，b，c，d均數，(a2b2)(c2d2)(acbd)2等號當且當adbc成立自牛刀小bb11ta，sa1(ba0)，確定s與t的大小關系2

14、求函數yx3x的最大1493已知a，b正數，求：abab.4ab0，求：3a32b33a2b2ab2.數列的通公式nn(n2)求：1113naa2n0，b0，c0，求：bcacab2.解析合法解析法與合法經常合起來使用，稱解析合法，其是既充分利用已知條件，又刻瞄準解目，即不要搞清已知什么，要明確干什么，平時用解析法找到解思路，用合法寫程式2已知a，b，c均正數b2c2a2求：abccbaacbbac.考點三：用反證法證明不等式例3已知f(x)x2pxq，求|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中最少有一1個不小于2.互研究若本例已知中的q1，求：f(1)與f(1)中最少有一個不小于2.反法的

15、合用狀況(1)當要明的與條件之的系不明，直接由條件推出很困，常用反法(2)若是從正面下手明需分多種狀況行分，從反面行明，即“正反”的思想變式訓練：3若是a，b，c，d均數，ab1，cd1，且acbd1.明a，b，c，d中最少有一個數考點四：用放縮法證明不等式例4已知：an122334nn1(nN)，求：nn1ana122等；(2)在和或中大(或小)某些；(3)大(或小)分式的分子或分母，如aam，且ab)，121，bbm(abmRkkk112等；(4)不等式的性，如|ab|a|b|等k0，ba1，求：1a1b.2已知函數f(x)是(，)上的增函數，a、bR.(1)若ab0，求：f(a)f(b)

16、f(a)f(b)；(2)判斷(1)中命的抗命可否成立，并明你的2014年高考不等式選講真題專練1.2014福建卷()修4-5：不等式已知定在R上的函數f(x)|x1|x2|的最小a.(1)求a的；(2)若p，q，r是正數，且足pqra，求：p2q2r23.22014廣卷會集A(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么會集A中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素個數為()A60B90C120D13032014廣東卷不等式|x1|x2|5的解集為_42014湖南卷若關于x的不等式|ax2|3的解集為5x1，則a_x3352014江西卷(1)(不等

17、式選做題)對任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值為()A1B2C3D46.2014遼寧卷選修4-5：不等式選講設函數f(x)，28x1.記f(x)1的解集2|x1|x1g(x)16x為M，g(x)4的解集為N.(1)求M；(2)當xMN時，證明：x2f(x)xf(x)214.72014新課標全國卷選修4-5：不等式選講若a0，b0，且1a1bab.(1)求a3b3的最小值(2)可否存在a，b，使得2a3b6？并說明原因.82014新課標全國卷選修4-5：不等式選講1設函數f(x)xa|xa|(a0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范圍92014陜西卷A(不等式選

18、做題)設a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則m2n2的最小值為_102014浙江卷(1)解不等式2|x2|x1|3；(2)設正數a，b，c滿足abcabc，求證：ab4bc9ac36，并給出等號成立條件112014重慶卷若不等式|2x1|x2|a212a2對任意實數x恒成立，則實數a的取值范圍是_第一節絕對值不等式參照答案1.解：|2x1|3等價于2x13或2x13，解得x2或x1.因此解集為(，12，)3，x1，因此f(x)3,3x10，102，解得x0，)x10 x28.4.解：|x1|x|x1x|1，當k1時，不等式|x1|x|k無解，故k1.5.解：在數軸上，由實數絕對值的幾

19、何意義知a5或a3.自主解答|xy|(xa)(ya)|xa|ya|mm2m，|xa|m且|ya|m是|xy|2m的充分條件取x3，y1，a2，m2.5，則有|xy|252m，但|xa|5，不滿足|xa|m2.5，故|xa|m且|ya|m不是|xy|2m的必要條件故為充分不用要條件變式訓練解：由于|x1|x2|(x1)(x2)|3，因此只需a3即可2x5，x2，自主解答(1)當a3時，f(x)1，2x3，2x5，x3.當x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當2x3時，f(x)3無解；當x3時，由f(x)3得2x53，解得x4；因此f(x)3的解集為x|x1或x4(2)f(x)|x4|?|x

20、4|x2|xa|.當x1,2時，|x4|x2|xa|?4x(2x)|xa|?2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3,0變式訓練解：(1)當a1時，f(x)|x1|x1|，2x，x1.33由圖象可知，不等式的解集為xx2，或x2.(2)若a1，f(x)2|x1|，不滿足題設條件：2xa1，xa，若a1，f(x)1a，ax1，f(x)a1，1x0時，axa，得a2.1，x1，x1(2)記h(x)f(x)2f2，則h(x)4x3，1x2，11，x2，因此|h(x)|1，因此k1.1.解：|xa|x1|a1|，則只需要|a1|3，解得2a4.|ab|ab|2.解：由

21、|ab|ab|a|f(x)，且a0，得f(x)|a|ab|ab|abab|又由于|a|a|2，則有2f(x)1515解不等式|x1|x2|2，得2x2.即實數x的范圍是2，2.檢測訓練題答案1.解：令f(x)x2|2x6|，當x3時，f(x)x22x6(x1)279；當x2時，原不等式可化為2x12x16，解得x2，131此時2x2；當x2時，原不等式可化為2x12x16，解得3，此時3x1；當1x1時，原不等式可化為x2222212x12x16，解得xR，此時2x2；綜上，原不等式的解集為33332，2，故解集為2，2.解：x12，|a2|12，即|a2|1，解得1a3.3.x4.解：原不等

22、式可化為2x10，2x10，或x2x13，x2x13.141解得2x3或2x2.因此原不等式的解集是x2x34.1x5x2，5.解：(1)f(x)|2x1|x4|3x312x4，x5x4.6.當x2得，x7.故x7；155當2x2，得x3.故3x2，得x3，故x4.故原不等式的解集為xx5.39(2)畫出f(x)的圖象如圖：因此f(x)min2.備選1.解：|3xb|4，43xb4.b4b43x3.(*)b4b4若原不等式的整數解只有1,2,3，由(*)式，知031且334.解之得4b7且5b8，5b0，a4.備選3.解：(1)由f(x)4得|6xa|4，解得x4a4a或，6x64a1，62a

23、1.依題意，4a566，(2)當a1時，f(x)|6x1|，f(x1)|6x7|，f(x1)|6x5|f(x1)f(x1)|6x7|6x5|(6x7)(6x5)|12，b0，a1aa1ts，即s0，b0，14b4a52b4a149(ab)ab5abab9.ab.ab4.明：3a32b3(3a2b2ab2)3a2(ab)2b2(ba)(3a22b2)(ab)因ab0，因此ab0,3a22b20.從而(3a22b2)(ab)0.故3a32b33a2b2ab2成立5.明：1111111a1a2an132435nn2111111111232435nn2111111321222124.n1n1113.a

24、1a2an4例1：自主解答由a，b是非數，作差得a3b3ab(a2b2)a2a(ab)b2b(ba)b)(a)5(5當b，ab，從而(a)5(b)5，(ab)a得(ab)(a)5(b)5)0；當ab，ab，從而50.abb)a2b2式1ab0，求：aba2b2.aba2b2aba3b3ab2a2ba3b3a2bab2明：法一：a2b2aba2b2ab2a2b2ab22ababab0，ab0，ab0，a222ab22abababa2b2aba2b2abb20，ab0.220，22.abababab法二：ab0，ab0，ab0.a2b2a2b222bb222abaaab2ab2ab22222212

25、21.abababababababa2b2ab.a2b2ab例2自主解答abc3要ab2，bcacabc9只需證11ab12，bcacabcabcabc9只需證bcacab2，只需證1119111(abc)b2.(abc)bbcacacacab111112(bc)(ac)(ab)2bcacab33193b，bcaca3bcacab2當且僅當abc時“”成立，故原不等式成立b2c2變式訓練：證明：a，b，c均為正實數，ab2b同理，c2a22aca2b2a2c，bc，a2b，abccb2c2a2bca三式相加可得abccaabbc.1例3自主解答假設|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于

26、2，b2c2ab則|f(1)|2|f(2)|f(3)|2.而|f(1)|2|f(2)|f(3)|f(1)f(3)2f(2)|(1pq)(93pq)(84p2q)|2，與|f(1)|2|f(2)|f(3)|2矛盾，1因此|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中最少有一個不小于2.互動研究：證明：q1，f(x)x2px1假f(1)與f(1)都小于2，f(1)f(1)1矛盾故假不成立，因此a，b，c，d中最少有一個數例4自主解答nn1n2n，nn1n，an1223nn1123nnn1.2nn1nn12，an122334nn122221(23n)n1nn2.222上得，nn1nn2.2an2式：明：由已知m|a|，m|b|，m1.又|x|m，abab|x|a|，|x|b|，|x|1，xx2xx2|a|b|x|x|1|x|ab|x|x|2|x|x|21|x|1|x|2.xx22.例5：自主解答由柯西不等式(3242)(x2y2)(3x4y)2，得25(x2y2)4，因此x2y2254.不等式中當且僅當x34y時等3x4y2，號成立，x2y2獲取最小值，需解方程組：xy34，解得6x25，68224y8.因此當x25，y25時，xy獲取最小值，最小值為25.2532: