1、第一章 時域離散隨機信號的分析引言實際信號的四種形式：連續隨機信號、時域離散隨機信號、幅度離散隨機信號和離散隨機序列。本書討論的是離散隨機序列，即幅度和時域都是離散的情況。隨機信號相比隨機變量多了時間因素，時間固定即為隨機變量。隨機序列就是隨時間n變化的隨機變量序列。時域離散隨機信號的統計描述 概率描述概率分布函數（離散情況）隨機變量，概率分布函數： （1）概率密度函數（連續情況）若連續，概率密度函數： （2）注意，以上兩個表達式都是在固定時刻討論，因此對于隨機序列而言，其概率分布函數和概率密度函數都是關于的函數。當討論隨機序列時，應當用二維及多維統計特性。 數字特征數學期望、方差、均方值都是

2、時刻n的隨機變量統計特征；自相關函數和自協方差函數是同一隨機過程不同時刻狀態間的相互關聯數學期望、方差、均方值都是時刻n的隨機變量統計特征；自相關函數和自協方差函數是同一隨機過程不同時刻狀態間的相互關聯數學期望 （3）均方值與方差均方值： （4）方差： （5）相關函數和協方差函數自相關函數： （6）自協方差函數： （7）由此可進一步推出互相關函數和互協方差函數是不同隨機過程變量之間的關系是不同隨機過程變量之間的關系 平穩隨機序列嚴平穩：N維概率密度函數或分布函數與時間n起始位置無關。寬平穩：均值、方差和均方值與時間無關；二維概率密度函數、自相關函數和自協方差函數與時間間隔有關。嚴平穩可以推出寬

3、平穩的條件，反過來不成立。對于兩個隨機序列則要求各自平穩且聯合平穩。其相關函數滿足： ， （8）表示互為正交，表示互不相關。實平穩隨機序列相關函數、協方差函數的性質：自相關函數和自協方差函數是偶函數 （9），自相關變為均方值 （10），自相關變為均值的平方，即隨著時間間隔增大，序列內部相關性愈來愈若 （11），協方差變為方差 （12） 平穩隨機序列功率譜密度由1.2.3中性質（3）知，時，若則收斂，即平穩隨機序列均值為0，自相關函數收斂，存在變換，其收斂域包含單位圓，傅里葉變換存在。 （13）即為平穩隨機序列的功率譜密度。即自相關函數和功率譜互為傅里葉變換對。（令，為隨機序列平均功率，故稱功率

4、譜密度）實、平穩隨機序列功率譜性質：偶函數 （14） 各態歷經性平穩隨機序列樣本的時間平均依概率趨于序列的集合平均，則平穩隨機序列具有各態歷經性。前面已經提到，隨機序列各統計特征是時間的函數，如均值是時間的函數mx(n)。時間平均就是對該函數求時間上的平均： （15） 特定的隨機序列正態（高斯）隨機序列單變量正態分布概率密度函數： （16）正態隨機序列的維（個時刻的隨機變量）聯合概率密度函數可表示為： （17）式中 （18）分別為樣本列向量、均值列向量和協方差矩陣。白噪聲序列白噪聲：隨機序列x(n)，在各時刻的隨機變量兩兩互不相關，即 （19）均值為0的平穩隨機白噪聲功率譜密度 。 （20）若

5、各變量取值服從正態分布，則噪聲為高斯白噪聲，高斯分布互不相關和相互獨立等價。諧波過程 （21）式中和為常數，服從均勻分布且相互獨立。 隨機信號采樣定理與確定信號有類似結論，即滿足奈奎斯特采樣定理。隨機序列數字特征的估計估計準則偏移性偏移量為無偏估計，為漸近無偏估計估計量的方差（有效性）無偏估計的情況下，有一致性（均方誤差）估計量的均方誤差 均值的估計（數據內部不相關時，無偏一致的好估計）方差的估計（數據內部不相關時，有偏估計）修改估計式使得估計為無偏自相關函數的估計無偏估計實序列自相關函數是偶函數實序列自相關函數是偶函數有偏估計漸近無偏，漸近一致估計，估計誤差比無偏估計的小，實際中用這種有偏估

6、計。平穩隨機序列通過線性系統系統響應（即輸出信號）的均值、自相關函數和平穩性分析線性時不變系統，系統響應 輸出的均值 系統對直流分量的響應，即頻率為0處的響應，即若mx與時間無關，my也與時間無關系統對直流分量的響應，即頻率為0處的響應輸出的自相關函數由相關卷積定理求 由相關卷積定理求相關卷積定理：卷積的相關等于相關的卷積其中，也可以通過相關卷積定理推出（）。輸出響應的功率譜密度函數自相關函數和頻譜互為Z變換對，和功率譜互為傅里葉變換對。由相關卷積定理可得對于實序列有系統的輸入、輸出互相關函數輸入輸出互相關函數相關卷積定理求相關卷積定理求可以通過定義來求，也可以通過相關卷積定理來求。（）時間序

7、列信號模型時間序列信號模型法采用的是線性模型，是一種研究平穩隨機序列的有效方法。信號模型：圖中是均值為0、方差為的白噪聲。許多平穩隨機序列都可以看成是由典型噪聲源（一般是白噪聲序列）激勵一個線性系統產生。三種時間序列模型信號模型用差分方程表示：是需要研究的序列，根據系數取值可分為三種模型：MA、AR和ARMA。MA(Moving Average)（全零點）系統函數：，只有零點，沒有極點。相應的，差分方程中系數，變為：如果零點全部在單位圓內，則為最小相位系統，系統可逆。AR（Autoregressive）（全極點）系統函數：，只有極點，沒有零點。相應的，差分方程中系數，變為：只有當全部極點在單位圓內時，系統才穩定。ARMA（零極點）系統函數：任何一個平穩隨機序列可以分解為確定信號與平穩隨機MA序列之和。任意一個MA序列可用無限階AR信號模型表示，或用足夠大的模型近似。三種模型可以相互轉化，都具有普遍適用性，僅對不同序列效率不同。AR適用于僅有尖峰的信號，MA適用于僅有深谷的信號，ARMA適用于尖峰深谷都有的情況。自相關函數、功率譜與時間序列信號模型的關系自相關函數、功率譜和時間序列信號模型三者互為等價關系。實平穩隨機信號x(n)的功率譜可表示為：有理譜信號有理譜信號：信號模型輸出的功率譜是或的有理