1、歐博教育 高一數學 內部資料 翻版必究 15 -第二講 函數及其表示1、函數的概念一、考點聚焦1函數的定義函數概念的理解需注意以下幾點：A、B都是非空數集，因此定義域（或值域）為空集的函數不存在。在現代定義中，B不一定是函數的值域，如函數中稱為實數集到實數集的函數。對應關系、定義域、值域是函數的三要素，缺一不可，其中對應關系是核心，定義域是根本，當定義域和對應關系已確定，則值域也就確定了。函數符號的含義：是表示一個整體，一個函數，而記號“”可以看作是對“”施加的某種法則（或運算），如當時，可看作是對“2”施加了這樣的運算法則：先平方，再減去它與2的積，再加上3；當為某一個代數式（或某一個函數記

2、號）時，則左右兩邊的所有都用同一個代數式（或函數記號）代替，如等，與的區別就在于前者是函數值，是常數；而后者是因變量，是變量。2函數的定義域求函數定義域的一般原則是：如果為整式，其定義域為實數集R；如果為分式，其定義域是使分母不為0的實數集合；如果是由以上幾個部分的數學式子構成的，其定義域是使各部分式子都有意義的實數集合；的定義域是如果是實際問題，除應考慮解析式本身有意義外，還應考慮使實際問題有意義；不給出解析式，已知的定義域為，則的定義域是求使的的取值范圍；已知的定義域為A，則的定義域是求在A上的值域。3函數的對應法則與的區別與聯系：表示當時函數的值，是一個常量，而是自變量的函數，在一般情況

3、下，它是一個變量，是的一個特殊值。如一次函數，當時，是一常量。當法則所施加的對象與解析式中表述的對象不一致時，該解析式不能正確施加法則，比如，左端是對施加法則，右端也是關于的解析式，這時此式是以為自變量的函數的解析式；而對于，左端表示對施加法則，右端是關于的解析式，二者并不統一，這時此式既不是關于的函數解析式，也不是關于的函數解析式。4函數的值域求函數值域的常用方法（1）觀察法：（2）配方法： （3）反比例函數法： （4）反表示法（后續還會學習不等式法、單調性法、判別式法、導數法等，希望同學們不斷學習，不斷總結）5、相同函數的定義。定義域、對應法則相同。注意：定義域、值域相同的函數不一定為相同

4、函數。6區間的概念注意對于區間或等，一定滿足，它和不等式有區別。二、點擊考點考題1（1）、由下列式子是否能確定是的函數？；考題2已知四組函數：；其中表示同一函數的是（ ）A沒有B僅有 C僅有 D有解析在中的定義域為的定義域為；在中兩函數的對應關系不同，故中的兩個函數不是相同的函數。在中，且兩函數定義域均為R，故中兩函數表示同一函數。在中雖然自變量用不同的字母表示，但兩函數的定義域和對應關系都相同，所以表示同一函數，故選C。點評只有當兩個函數的定義域和對應關系都分別相同時，這兩個函數才是同一函數，換言之就是：（1）定義域不同，兩個函數也就不同。（2）對應關系不同，兩個函數也是不同的。（3）即使定

5、義域和值域都分別相同的兩個函數，它們也不一定是同一函數，因為函數的定義域和值域不能唯一地確定函數的對應關系。考題3求下列函數的定義域：（1）；（2）解析（1）令故函數的定義域為（2）令故函數的定義域為點評分式要使分母不為零；二次根式要使根號內的式子非負。考題4（1）已知求；（2）已知若求；（3）已知的定義域為，且，若，求解析對于（1），求該函數的函數值，要本著“先內后外，逐層擊破”的原則。對于（2），誰的函數值是10呢？從而產生分類討論。對于（3），聯系已知中有9，未知中有3，抽象函數關系式中有式子，所以必有解：（1），（2）當時， ，當時，（舍去，）。由以上可知（3）令，則即點評已知函數解析

6、式，求某個數的函數值，只要將這個數代入函數解析式，就可求出它的函數值。問題（3）中的函數，由于沒有具體的對應關系，我們稱之為抽象函數。解決抽象函數的有關問題，常常采用“特殊值法”，達到化抽象為具體的目的。考題5已知的值域為，試求的值域。解析因為，所以令，則且，所以所以即為所求。評注本題利用換元法轉化為二次函數問題。考題6已知函數的定義域為R，求實數的取值范圍。解析由所給式子，確定出對的限制，再轉化為方程根的問題。依題意，要使函數有意義，必須.要使函數的定義域為R，必須方程無解。當時，方程無解；當時，方程的判別式，即，綜上可得時，已知函數的定義域為R。點評由函數的定義域概念，得到了構造不等式（組

7、）的途徑，然后再處理這個不等式得到的范圍。考題7求下列函數的值域。（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）解析由值域的定義所有函數值的集合可知，求函數的值域可看作求出所有函數值的問題，可由定義域逐步推出函數值的集合值域。（1）將分別代入計算得：函數的值域為.（2）運用觀察法可知：的值域是函數的定義域為，.即的值域為（3），且定義域為，（反比例函數法），的值域是（4），函數的定義域為R。又，（運用不等式法），函數的值域為（5），（運用配方式）， 函數的值域為（6），（運用配方法）且，函數的值域是.2函數的表示法一、考點聚焦1函數的表示方法（1）表示函數的常用方法有：解析法、列表法、圖象法。

8、2映射的概念設A、B是兩個非空集合，如果按照某種對應法則，對A中任一元素，在B中有且僅有一個元素與對應，則稱是集合A到集合B的映射，記作A中元素稱為原象，A所對應的B中的元素稱為象。映射這個概念，應注意以下幾點：集合A到B的映射，A、B必須是非空集合（可以是數集，也可以是其他集合）；對應關系有“方向性”。即強調從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；A中元素的象是集合B的子集。A中元素與B中元素的對應關系，可以是：一對一、多對一，但不能一對多。3映射與函數（1）映射，其中A、B是兩個“非空集合”；而函數為“非空的實數集”，其值域也是實數集，于是，函數是數集到數集的映射。由此

9、可知，映射是函數的推廣，函數是一種特殊的映射。4分段函數有些函數在其定義域中，對于自變量的不同取值范圍，對應關系也不同，這樣的函數通常稱為分段函數。分段函數的表達式因其特點可以分成兩個或兩個以上的不同表達式，所以它的圖象也由幾部分構成，有的可以是光滑的曲線段，有的也可以是一些孤立的點或幾段線段，而分段函數的值域也是各部分上的函數值的取值集合的并集，最好的求解辦法是“圖象法”。重要的是，分段函數雖由幾部分構成，但它代表的是一個函數。二、點擊考點：考題1如圖直角梯形OABC中，直線截該梯形所得位于左邊圖形面積為S，則函數的圖象大致為（ ）分析根據;，求出面積的函數關系式，由分析圖象。解析當時，陰影

10、為直角三角形，它的面積為當時，陰影為梯形，它的面積為它的圖象應為C。考題2（1）圖中各圖表示的對應構成映射的個數是（ ）A3B4C5D6（2）已知在映射作用下的象是在在作用下的象。若在作用下的象是，求它的原象。解析（1）這三個圖所表示的對應都符合映射的定義，即A中每一個元素在對應法則下，B中都有唯一的元素與之對應。對于，A的每一個元素與B中有2個元素與之對應，所以不是A到B的映射。對于，A中的元素在B中沒有元素與之對應，所以不是A到B的映射。綜上可知，能構成映射的個數為3。選A。（2），在作用下的象是 解得或在作用下的原象是和點評（1）從集合M到集合P的映射，是指按照某種對應法則，對于集合M的

11、任何一個元素，在集合P中都有唯一的元素與它對應。由此可知，映射應滿足存在性（即集合M中的每一個元素在集合P中都有對應元素）和唯一性（即集合M中的每一個元素在集合P中都有唯一元素與之對應）。（2）集合A到集合B中元素對應關系，可以是“多對一”，也可以是“一對一”，但不能是“一對多”。（3）已知映射及原象，求象時只要代入對應法則即可，已知及象求原象時，常常是解方程組。考題3下列對應是不是從A到B的函數？是不是從A到B的映射？（1）；（2）三角形的內切圓；（3）；（4）分析對于從A到B的對應，我們也常采用這樣一種記法：設，則從A到B的對應記為解析（1）取，則，即A中的元素3在B中沒有象，所以（1）不

12、是函數，也不是映射。（2）由于A、B不是數集，所以（2）不是函數，但每個三角形都有唯一的內切圓，所以（2）是A到B的映射。（3）中的每一個數都與B中的數1對應，因此，（3）是A到B的函數，也就是A到B的映射。（4）取，則由得，即A中的一個元素0與B中的兩個元素地應，因此，（4）不是A到B的函數，也不是從A到B的映射。點評9（1）函數是一種特殊的映射，是非空數集間的一種映射。（2）有的同學問：關系式是關于的函數，那么關系式是關于的函數嗎？對于關系式，顯然有，則1與全體實數建立對應關系，不符合函數的定義。因此，“”不是關于的函數。考題4已知集合是從A到B的映射，求A中元素在B中的對應元素和B中元素

13、在A中的對應元素。解析把代入對應關系中可求得在B中對應元素，在A中對應的元素可通過列方程組解出。答案將代入對應關系，可求出其在B中的對應元素由得所以在B中對應元素為在A中對應元素為考題5作出下列函數的圖象：（1） （2）；（3）解析（1）用段函數作圖法作函數的圖象如圖所示，它是由一段拋物線弧和一條射線所組成的。（2）所給函數可化為如圖所示。（3）先作的圖象，保留軸上方圖象，再把軸下方圖象對稱翻到軸上方，再把它向上平移1個單位，即得到的圖象，如圖所示。點評在初中我們已經掌握了一次函數、二次函數、反比例函數的作圖方法，即：列表描點法。這里我們通過化簡函數式，就將較復雜的式子轉換為我們已熟知的函數，

14、再作其圖象就不是難事了。考題6已知則的最大值、最小值的情況為（ ）A最大值為3，最小值為B最大值為，無最小值C最大值為3，無最小值D無最大值，無最小值解析本題是分段函數，不妨畫出它們的圖象，由圖象找出適合題意的選項。先求出與的交點。由得，當時，解得（舍去），或.當時，解得（舍去），或再畫出與的圖象，根據題意得到的圖象，如圖，可知存在最大值，此時，則，不存在最小值。故選B。考題7若不超過的最大整數，如；試問函數的圖象與的圖象有多少個交點？解析作出的圖象如圖所示。由圖象可知函數的圖象與的圖象有無數個交點。點評函數叫做整數部函數，關鍵是對函數準確理解及作出函數圖象。考題8某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年

15、市場行情得知，從2月1日起的300天內，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖（1）的一條折線表示；西紅柿種植成本與上市時間的關系用圖（2）的拋物線表示。（1）寫出圖（1）表示的市場售價與上市時間的函數關系式；寫出圖（2）表示的種植成本與上市時間的函數關系式；（2）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿純收益最大？（注：市場售價和種植成本的單元：元/千克，時間單位：天）解析圖（1）是折線，應是分段函數的圖象，并且每段是一次函數圖象。圖（2）是拋物線，求函數解析式時應考慮抓住特殊點來考查。對于（2），純收益即是關于的函數，問題即求函數的最值。答案（1）由圖可得（2）設從2月1日起的第天

16、的純收益為，則故在區間上的最大值為，在區間上的最大值為，由可知，在區間上的最大值為，這時，即從2月1日起的第50天上市，西紅柿純收益最大。點評本題是關于函數的圖象、解析式及最值問題的綜合應用，注意如何求分段函數的最值。課后作業A卷一、選擇題1判斷下列各組中的兩個函數是同一函數的為( C )，；，；，；，；，A、 B、 C D、2函數y=的定義域是( D )A-1x1 Bx-1或x1 C0 x1 D-1，13函數的值域是( B )A(-，)(，+)B(-，)(，+)CR D(-，)(，+)4下列從集合A到集合B的對應中：A=R，B=(0，+)，f:xy=x2；A=-2，1，B=2，5，f:xy=

17、x2+1；A=-3，3，B=1，3，f:xy=|x|其中，不是從集合A到集合B的映射的個數是( B )A 1 B 2 C 3 D 45已知映射f:AB，在f的作用下，下列說法中不正確的是( D ) A A中每個元素必有象，但B中元素不一定有原象 B B中元素可以有兩個原象C A中的任何元素有且只能有唯一的象D A與B必須是非空的數集6點(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求點(4，6)在f下的原象( A )A(，1) B(1，3) C(2，6) D(-1，-3)7已知集合P=x|0 x4， Q=y|0y2，下列各表達式中不表示從P到Q的映射的是( C )Ay= By= Cy=x

18、Dy=x28下列圖象能夠成為某個函數圖象的是( C ) 9函數的圖象與直線的公共點數目是( C )A B C或 D或10已知集合，且，使中元素和中的元素對應，則的值分別為( D )A B C D11已知，若，則的值是 ( D )A B或 C，或 D12為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象適當平移，這個平移是( D )A沿軸向右平移個單位 B沿軸向右平移個單位C沿軸向左平移個單位 D沿軸向左平移個單位二、填空題1設函數則實數的取值范圍是_a-1_2函數的定義域_x2_3函數f(x)=3x-5在區間上的值域是_-14x13_4若二次函數的圖象與x軸交于，且函數的最大值為，則這個二次函數的表達式是_y=-x2+2x+8_5函數的定義域是_x0_6函數的最小值是_-5/4_三、解答題1求函數的定義域x-1