1、五年級奧數集訓專題講座（七）包含與排除包含與排除問題其實也叫容斥問題。即當兩個計數部分有重復包含時，為了不重復的計數，應從他們的和中排除重復部分。如：集合A加集合 B組成一個新的集合 C，再計算C的元素時為：C=A+B-ABA AB B（韋恩圖）例 1：一個班有 48 37 人舉手。 42 沒有人舉手。求這個班語文、數學作業都完成的人數。【思路導航】如圖所示，完成語文作業的有 37 人，完成數學作業的有 42 人，一共有 37+42=79 的人數時算過一次，在統計做完數學作業的人數時又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個班語文、數學作業都完成的有： 7948 = 31（人）37 + 4248

2、=31（人）答：語文、數學作業都完成的有 31 人。想一想：下面算式有何道理？( l ) 37（48 42 ) = 31 （人）( 2 ) 42 （ 48 37 ）= 31 （人）(1）五年級有 122 名學生參加語文、數學考試，每人至少有一門功課取得優秀成績。其中語文成績優秀的有 65 人，數學優秀的有 87 人。語文、數學都優秀的有多少人？解：語文成績優秀的有 65 人，數學優秀的有 87 人，那么總人數是：65+87=152（人）其中有一部分是語文數都優秀的，所以語文數學都優秀的有：152122=30（人）答：語文數學都優秀的有 30人。(2）四年級一班有 54 人，訂閱 小學生優秀作文

3、 和 數學大世界 兩種讀物的有 13 人，訂 小學生優秀作文 的有 45 人，每人至少訂一種讀物，訂 數學大世界 的有多少人？解：根據兩種讀物的有 13 人，訂 小學生優秀作文 的有 45 人，每人至少訂一種讀物，可知只訂了 數學大世界 54-45=9 13人，所以訂了 數學大世界 的有：13+9=22（人）答：訂 數學大世界 的有 22人。(3 24 17人，其中兩種樂器都會演奏的有 8 人。這個文藝組一共有多少人？解：24+17-8=33（人）答：這個文藝組一共有 33人。例 2：某班有 36 個同學在一項測試中，答對第一題的有 25 人，答對第二題的人有 23 人，兩題都答對的有 15

4、人。問多少個同學兩題都答得不對？【思路導航】如圖所示，已知答對第一題的有 25 人，兩題都答對的有 15 人，可以求出只答對第一題的有 2515 10 23 人，用只答對第一題的人數，加上答對第二題的人數就得到至少有一題答對的人數 10 + 23 = 33都答得不對的有 3633 = 3 36( 25 15 ) + 23=3（人）想一想：下面算式有何道理。(l) 36( 2315 ) + 25 = 3 （人）(2) 36 ( 25 15 ) + ( 23 15 ) + 15 3 （人）(l）五（ 1 ）班有 40 個學生，其中有 25 人參加數學小組， 23 人參加科技小組，有 19 人兩個小

5、組都參加了。那么，有多少人兩個小組都沒有參加？解：19 人兩個小組都參加則只參加數學小組為 2519=6人，只參加航模小組為 2319=4人所以參加小組活動的為 4+6+19=29人，兩個小組都沒參加的為 4029=11人(2）一個班有 55 名學生，訂閱 小學生數學報 的有 32 人，訂閱 中國少年報 的有 29 人，兩種報紙都訂閱的有 25 人。兩種報紙都沒有訂閱的有多少人？解：訂 小學生數學報 的 32 人，訂 中國少年報 的 29 人，兩種報紙都訂的有 25人，實際上訂閱的總人數是：29+3225=36人，那么兩種報紙都沒訂的有 5536=19人。答：兩種報紙都沒訂的有 19人。(3

6、50 3 27 14 解：只獲作文比賽獎的 14-3=11 人，只獲數學比賽獎的12-3=9 人。獲獎人數一共有 11+9+3=23 人，沒獲獎的就有50-23=27 人。例 3：某班有 56 人，參加語文競賽的有 28 人，參加數學競賽的有 27人，如果兩科都沒有參加的有 25 人，那么同時參加語文、數學兩科競賽的有多少人？ 5625=3128 + 27 31 = 24 28+27（ 56 25)=24（人） 答：同時參加語文、數學兩科競賽的有 24 人。想一想：下面算式有何道理( l ) 28（56 2527 ）= 24（人） ( 2 ) 27 （562528 ）= 24 （人） (1）一

7、個旅行社有 36 人，其中會英語的有 24 人，會法語的有 18 人，兩樣都不會的有 4 人，兩樣都會的有多少人？解：因為除了兩樣都不會的 4 人，有364=32 人，這32 人分為會英語的，會法語的，兩樣都會的，而會英語和會法語中包括兩樣都會的所以就是：24+18=42（人）比 32 人多的人數就是兩樣都會的人數，即 4232=10綜合列式：答：兩樣都會的有 10人.(2）一個俱樂部有 103 人，其中會下中國象棋的有 69 人，會下國際象棋的 52 人，這兩種棋都不會下的有 12 人。問這兩種棋都會下的有多少人？解：解法同上題：即：69+52這兩種棋都會下的有30人.( 3）三年級一班參加

8、合唱隊的有 40 人，參加舞蹈隊的有 20 人，既參加合唱隊又參加舞蹈隊的有 14 人。這兩隊都沒有參加的有 10 人。請算一算，這個班共有多少人？解：參加合唱隊的有 40 人，參加舞蹈隊的有 20 人，那么共40+20=60人，其中14個兩60人， 46+10=56人。即：40+20答：這個班共有 56人例 4：光明小學舉辦學生書法展覽。學校的櫥窗里展出了每個年級學生的書法作品，其中有24 幅不是五年級的，有 22 幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有 10 幅，其他年級參展的書法共有多少幅？【思路導航】由題意知， 24 22幅作品是一、二、三、四、五年級參展作品的總數。24 + 2

9、2 =46年級和兩個一、二、三、四年級參展的作品數，從其中去掉五、六年級的共參展的10 幅即得到兩個一、二、三、四年級參展作品的總數再除以2，即可求出其它年級參展的作品。(24+2210)2=18（幅）答：其他年級參展的作品共有 18 幅。練一練( l ）科技節那天，學校的科技室里展出了每個年級學生的科技作品，其中有 110 件不是一年級的，有 100 件不是二年級的，一、二年級參展的作品共有 32 件。其他年級參展的作品共有多少件？解：由“有 110 件不是一年級的，有 100 件不是二年級的”可知二年級比一年級多10 件，根據“一、二年級參展的作品共有 32 件”可得一年級展出科技作品數是

10、（3210）2=11 件，則二年級展出作品數是 3211=21 件，全校展出作品總數為：11+110=121件或：21+100=121件。那么除了一二年級的展出作品數外，其它年級展出作品數為：12132=89件。答：其他年級參展的作品共有 89件.(2）六（ 1 ）兒童節那天，學校的畫廊里展出了每個年級學生的圖畫作品，其中有 25幅畫不是三年級的，有19幅畫不是四年級的，三、四年級參展的畫共有 8 幅，其他年級參展的畫共有多少幅？25 19幅畫不是四年級的，那么四年級展出的圖畫作品比三年級多 2518=6幅.由于三四年級共有 8幅，所以三年級的作品有（86）2=1幅。那么四年級的有 81=7幅。則展出作品總數為：1+25=26，或 7+19=26幅，那么其它年級展出作品數為 268=18幅。答：其他年級參展的畫共有 18幅。(3 28 幅不是五年級的，有 24 幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有 20 幅。一、二年級參展的作品總數比三、四年級參展作品的總數少 4幅。一、二年級參展的書法作品共有多少幅？