1、2016-2017學(xué)年山東省煙臺(tái)市高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參照答案與試題解析一、選擇題：本大題共10個(gè)小題，每題5分，共50分每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是吻合題目要求的，把正確選項(xiàng)的代號(hào)涂在答題卡上1已知全集U=1，2，3，4，5，M=3，4，5，N=2，3，則會(huì)集（?UN）M=（）A2B1，3C2，5D4，5【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混雜運(yùn)算【解析】求出N的補(bǔ)集，爾后求解交集即可【解答】解：全集U=1，2，3，4，5，N=2，3，則會(huì)集?UN=1，4，5，M=3，4，5，會(huì)集（?UN）M=4，5應(yīng)選：D2已知向量與不平行，且|=|0，則以下結(jié)論中正確的選項(xiàng)是（）A向量與垂直B向量與垂直C

2、向量與垂直D向量與平行【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系；平行向量與共線向量【解析】求出（）?（）=0，進(jìn)而獲取與垂直【解答】解：向量與不平行，且|=|0，22（）?（）=|=0，應(yīng)選：A3已知函數(shù)A0，+f（x）=1g（1x）的值域?yàn)椋ǎ?），則函數(shù)B（0，1）C9，+）f（x）的定義域?yàn)椋―9，1）【考點(diǎn)】函數(shù)的定義域及其求法【解析】由函數(shù)f（x）=1g（1x）的值域?yàn)椋ǎ?），則lg（1x）0，即有01x1，解得即可獲取函數(shù)的定義域【解答】解：由函數(shù)f（x）=1g（1x）的值域?yàn)椋ǎ?），則lg（1x）0，01x1，解得，0 x1則函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋海?，1）應(yīng)選：B4若是a

3、b，那么以下不等式中正確的選項(xiàng)是（）ABa2b2Clg（|a|+1）lg（|b|+1）D2a2b【考點(diǎn)】不等式的基本性質(zhì)【解析】經(jīng)過(guò)取特別值判斷A、B、C，依照指數(shù)的性質(zhì)判斷D【解答】解：若ab，關(guān)于A：a=0，b=1，時(shí)，沒(méi)心義，錯(cuò)誤；關(guān)于B，C：若a=1，b=2，不成立，錯(cuò)誤；ab關(guān)于D：22，正確；應(yīng)選：D5曲線y=x3與直線y=x所圍成圖形的面積為（）ABC1D2【考點(diǎn)】定積分在求面積中的應(yīng)用【解析】先求出曲線y=x3與y=x的交點(diǎn)坐標(biāo)，獲取積分的上下限，爾后利用定積分求出第一象限所圍成的圖形的面積，依照?qǐng)D象的對(duì)稱(chēng)性可求出第三象限的面積，進(jìn)而求出所求【解答】解：曲線y=x3與y=x的交

4、點(diǎn)坐標(biāo)為（0，0），（1，1），（1，1）曲線y=x3與直線y=x在第一象限所圍成的圖形的面積是=依照y=x3與y=x都是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，在第三象限的面積與第一象限的面積相等曲線y=x3與y=x所圍成的圖形的面積為應(yīng)選B6若x，y滿(mǎn)足且z=2x+y的最大值為4，則k的值為（）ABCD【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【解析】依照已知的拘束條件畫(huà)出滿(mǎn)足拘束條件的可行域，再用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，求出求出直線2x+y=4與y=0訂交于B（2，0），即可求解k值【解答】解：先作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面地域，直線kxy+3=0過(guò)定點(diǎn)（0，3），z=2x+y的最大值為4，作出直線2x+y=4，由圖象知直線2x+y=4

5、與y=0訂交于B（2，0），同時(shí)B也在直線kxy+3=0上，代入直線得2k+3=0，即k=，應(yīng)選：A7設(shè)函數(shù)f（x）=xsinx+cosx的圖象在點(diǎn)（t，f（t）處切線的斜率為k，則函數(shù)k=g（t）的圖象大體為（）ABCD【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象【解析】由已知可得k=g（t）=f（x）=xcosx，解析函數(shù)的奇偶性及x（0，）時(shí)，函數(shù)圖象的地址，利用消除法，可得答案【解答】解：函數(shù)f（x）=xsinx+cosx的圖象在點(diǎn)（t，f（t）處切線的斜率為k，k=g（t）=f（x）=sinx+xcosxsinx=xcosx，函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，消除B，C，當(dāng)x（0，）時(shí)，函數(shù)值為正，圖象位于第一

6、象限，消除D，應(yīng)選：A8將函數(shù)y=sin（x+）（0，|的圖象向左平移個(gè)單位，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變）所得的圖象解析式為y=sinx，則y=sin（x+）圖象上離y軸距離近來(lái)的對(duì)稱(chēng)中心為（）A（，0）B（，0）C（，0）D（，0）【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（x+）的圖象變換【解析】函數(shù)y=sin（x+）（0，|的圖象向左平移個(gè)單位，獲取函數(shù)y=sin（x+）+的圖象；再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），獲取函數(shù)y=sin（x+）的圖象；由解析式相同求出、的值，爾后依照正弦函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心求出函數(shù)y=sin（x+）的對(duì)稱(chēng)中心，進(jìn)而求出離y軸距離近來(lái)的

7、對(duì)稱(chēng)中心【解答】解：將函數(shù)y=sin（x+）（0，|的圖象向左平移個(gè)單位，獲取函數(shù)y=sin（x+）+的圖象；再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），獲取函數(shù)y=sin（x+）的圖象；函數(shù)y=sin（x+）的圖象與函數(shù)y=sinx的圖象相同，=0解得：=2，=y=sin（x+）=sin（2x）由2x=k得2x=k（kZ）當(dāng)k=1時(shí)，x=離y軸距離近來(lái)的對(duì)稱(chēng)中心為（，0）應(yīng)選C9已知ABC外接圓的半徑為2，圓心為O，且，則=（）A12B13C14D15【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【解析】由條件即可得出ABAC，O為斜邊的中點(diǎn)，再依照，即可得出，進(jìn)而得出的值，從而求出的值【解答】解

8、：依照條件，ABAC，O為BC中點(diǎn)，以下列圖：；ABO為等邊三角形，；應(yīng)選A10在實(shí)數(shù)集R上定義一種運(yùn)算“*”，關(guān)于任意給定的a、bR，a*b為唯一確定的實(shí)數(shù)，且擁有性質(zhì)：1）對(duì)任意a、bR，a*b=b*a；2）對(duì)任意a、bR，a*0=a；3）對(duì)任意a、bR，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）2c關(guān)于函數(shù)f（x）=x*的性質(zhì)，有以下說(shuō)法：在（0，+）上函數(shù)f（x）的最小值為3；函數(shù)f（x）為奇函數(shù)；函數(shù)f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間為（，1），（1，+）其中所有正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為（）A0B1C2D3【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用【解析】依照條件在中令c=0獲取a*b=ab+a+b進(jìn)而獲取f（

9、x）的表達(dá)式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性和最值的性質(zhì)分別進(jìn)行判斷即可【解答】解：由新運(yùn)算“*”的定義令c=0，則（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（0*b）=ab+a+b，即a*b=ab+a+bf（x）=x*=1+x+，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=x*=1+x+1+2=1+2=3，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=1時(shí)取等號(hào)，在（0，+）上函數(shù)f（x）的最小值為3；故正確，函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ?）（0，+），f（1）=1+1+1=3，f（1）=111=1，f（1）f（1）且f（1）f（1），則函數(shù)f（x）為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，函數(shù)的f（x）=1，令f（x）=0則x=1，當(dāng)x（，1）或（1，+）時(shí)，f（x）0函

10、數(shù)f（x）的單調(diào)遞加區(qū)間為（，1）、（1，+）故正確；故正確的選項(xiàng)是，應(yīng)選：C二、填空題，本大題共5個(gè)小題，每題5分，共25分11已知f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍為a3或a6【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)獲取極值的條件【解析】先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，依照函數(shù)有極大值和極小值，可知導(dǎo)數(shù)為0的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，經(jīng)過(guò)0，即可求出a的范圍【解答】解：函數(shù)f（x）=x3+ax2+（a+6）x+1，所以函數(shù)f（x）=3x2+2ax+（a+6），因?yàn)楹瘮?shù)有極大值和極小值，所以方程f（x）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，2即3x+2ax+（a+6）=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，（2a）

11、243（a+6）0，解得：a3或a6故答案為：a3或a612平面向量與的夾角為60，|=1，=（3，0），|2+|=【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【解析】由條件可以獲取，進(jìn)而進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算即可求出的值，進(jìn)而即可得出的值【解答】解：依照條件，；故答案為：13設(shè)函數(shù)f（x）=若f（a）a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，1）【考點(diǎn)】其他不等式的解法【解析】先依照分段函數(shù)的定義域選擇好解析式，分a0時(shí)，和a0時(shí)兩種情況求解，最后取并集【解答】解：當(dāng)a0時(shí)，解得a2，矛盾，無(wú)解當(dāng)a0時(shí)，a1綜上：a1實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，1）故答案為：（，1）14若cos（75a）=，則cos（30+2a）=【考點(diǎn)】?jī)山呛团c

12、差的余弦函數(shù)；三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值【解析】由條件利用引誘公式，求出sin（15）的值，再利用二倍角的余弦公式求得cos（302）的值【解答】解：cos（75）=sin（15+）=，則cos（30+2）=12sin2（15+）=12=故答案為：15若定義在R上的偶函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x1）=f（x+1）且當(dāng)x1，0時(shí)，f（x）=x2+1，若是函數(shù)g（x）=f（x）a|x|恰有8個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為82【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷【解析】由函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f（x+1）=f（x），變形獲取函數(shù)的周期，由周期性即可求得函數(shù)在某一段上的解析式，代入進(jìn)行計(jì)算即可得出答案【解答】解：由f（x+1）=f（

13、x1），則f（x）=f（x2），故函數(shù)f（x）為周期為2的周期函數(shù)函數(shù)g（x）=f（x）a|x|恰有8個(gè)零點(diǎn)，f（x）a|x|=0在（，0）上有四個(gè)解，即f（x）的圖象（圖中黑色部分）與直線y=a|x|（圖中紅色直線）在（，0）上有4個(gè)交點(diǎn)，以下列圖：又當(dāng)x1，0時(shí)，f（x）=x2+1，當(dāng)直線y=ax與y=（x+4）2+1相切時(shí)，即可在（，0）上有4個(gè)交點(diǎn)，x2+（8a）x+15=0，=（8a）260=0a0，a=82故答案為：82三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟16已知函數(shù)f（x）=cos2x，g（x）=sinxcosx（1）若直線x=a是函數(shù)y=

14、f（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，求g（2a）的值；（2）若0 x，求h（x）=f（x）+g（x）的值域【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值【解析】（1）利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，經(jīng)過(guò)直線x=a是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，求出a，爾后求g（2a）的值；2）化簡(jiǎn)h（x）=f（x）+g（x）為正弦函數(shù)種類(lèi)，利用角的范圍求出相位的范圍，爾后去函數(shù)值域【解答】解：（1），其對(duì)稱(chēng)軸為，因?yàn)橹本€線x=a是函數(shù)y=f（x）的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以，又因?yàn)椋约矗?）由（1）得=，所以h（x）的值域?yàn)?7設(shè)ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)應(yīng)邊分別為a、b、c，若向量=（ab，1）與向量=（ac，2）共線，且A=120

15、1）a：b：c；2）若ABC外接圓的半徑為14，求ABC的面積【考點(diǎn)】正弦定理【解析】（1）利用向量共線的性質(zhì)可得2b=a+c，設(shè)a=bd，c=b+d，由余弦定理解得d=，進(jìn)而可得a=，c=，進(jìn)而可求a：b：c2）由正弦定理可求a，由（1）可求b，c的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解【解答】解：（1）向量與向量共，可得：，2b=a+c，a=bd，c=b+d，由已知，cosA=，即=，d=，進(jìn)而a=，c=，a：b：c=7：5：32）由正弦定理=2R，得a=2RsinA=214=14，由（1）a=7k，即k=2，所以b=5k=10，c=2k=6，所以SABC=bcsinA=106=45，所以AB

16、C的面4518如，上海迪士尼園將一三角形地ABC的一角APQ開(kāi)辟游客體活區(qū)已知A=120，AB、AC的度均大于200米AP=x，AQ=y，且AP，AQ度200米（1）當(dāng)x，y何？游客體活區(qū)APQ的面最大，并求最大面；（2）當(dāng)x，y何？段|PQ|最小，并求最小【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理【解析】（1）由已知利用三角形面公式，基本不等式可得，即可得解（2）利用已知及余弦定理可得2222PQ=x+y2xycos120=（x100）+30000，依照二次函數(shù)的象和性即可解得段|PQ|最小【解答】（本分14分）解：（1）因：AP=x，AQ=y且x+y=200，2分所以：4分當(dāng)且當(dāng)x=y=100，等號(hào)成立所

17、以：當(dāng)x=y=100米，平方米6分222（2）因：PQ=x+y2xycos120=x2+y2+xy8分=x2+2+x=x2200 x+40000=（x100）2+3000010分所以：當(dāng)x=100米，段米，此，y=100米12分答：（1）當(dāng)AP=AQ=100米，游客體活區(qū)APQ的面最大平方米2）當(dāng)AP=AQ=100米，段|PQ|最小14分19已知函數(shù)f（x）=log（）足f（2）=1，其中a常數(shù)（1）求a的，并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，求數(shù)t的取范【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立【解析】（1）依照f(shuō)（2）=1，構(gòu)造方程，可得a的，合奇偶性的寶，可判斷函數(shù)f

18、（x）的奇偶性；（2）若不等式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，tlog（）（）x在x2，3上恒成立，構(gòu)造函數(shù)求出最，可得答案【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=log（）足f（2）=1，log（）=1，=，解得：a=1，f（x）=log（）的定域（，1）（1，+）關(guān)于原點(diǎn)稱(chēng)；又f（x）=log（）=log（）=log（）=f（x），故函數(shù)f（x）奇函數(shù)；（2）若不等式f（x）（）x+t在x2，3上恒成立，tlog（）（）x在x2，3上恒成立，g（x）=log（）（）x，g（x）在2，3上是增函數(shù)g（x）tx2，3恒成立，tg（2）=20函數(shù)f（x）=xexae2x（aR）（I）當(dāng)a，求：f（

19、x）0（II）若函數(shù)f（x）有兩個(gè)極點(diǎn)，求數(shù)a的取范【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值【解析】（）利用解析法，構(gòu)造函數(shù)g（x）=xaex，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可求出，（）函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于y=f（x）有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不一樣樣的根，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，問(wèn)題得以解決【解答】解：（I）證明：f（x）=xexae2x=ex（xaex）ex0，只需證：立刻可，g（x）=xaex，g（x）=1aex=0，當(dāng)進(jìn)而當(dāng)時(shí)，f（x）0II）f（x）=（x+1）ex2ae2x=ex（x+12aex）函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于y=f（x）

20、有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)即方程有兩個(gè)不一樣樣的根設(shè)，x（，0），h（x）0，h（x）遞加；x（0，+），h（x）0，h（x）遞減，h（x）max=h（0）=1，h（1）=0，x1，h（x）0，x+，h（x）0，x，h（x）當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)方程有兩個(gè)不一樣樣的根，函數(shù)f（x）有兩個(gè)極值點(diǎn)21已知函數(shù)f（x）=（2a）lnx+2ax（aR）（）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；（）當(dāng)a0時(shí)，求f（x）單調(diào)區(qū)間；（）若對(duì)任意a（3，2）及x1，x21，3，恒有（m+ln3）a2ln3|f（x1）fx2）|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；函數(shù)恒成立問(wèn)題；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研