1、高三數(shù)學立體幾何導(dǎo)學活動單PAGE 7空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系第2節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系考試要求1.理解空間直線、平面位置關(guān)系的定義；2.了解可以作為推理依據(jù)的公理和定理；知 識 梳 理1.平面的基本性質(zhì)(1)公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).(2)公理2：過不在同一條直線上的三點，有且只有一個平面.(3)公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線.2.空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語言符號語言aba相交關(guān)系圖形語言符號語言abAaAl獨有關(guān)系圖形語言符號語言a，

2、b是異面直線a3.平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補.4.異面直線所成的角(1)定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點O作直線aa，bb，把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍：eq blc(rc(avs4alco1(0，f(,2).常用結(jié)論與微點提醒1.空間中兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，則這兩個角相等或互補.2.異面直線的判定：經(jīng)過平面內(nèi)一點和平面外一點的直線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線互為異面直線.3.兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個三角形的內(nèi)角時，

3、容易忽視這個三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補角.自主檢測1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線.()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.()(3)如果兩個平面有三個公共點，則這兩個平面重合.()(4)若直線a不平行于平面，且a，則內(nèi)的所有直線與a異面.()2.(新教材必修第二冊P147例1改編)在長方體ABCDA1B1C1D1中，AB3，AD4，AA12，則異面直線AC和BC1所成角的余弦值是()A.eq f(8r(5),25) B.eq f(4r(5),5) C.eq f(8r(5),5)

4、D.eq f(4r(5),25)3.(老教材必修2P45例2改編)已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點的四邊形一定是()A.梯形 B.矩形C.菱形 D.正方形答案B4.(2019貴陽調(diào)研)是一個平面，m，n是兩條直線，A是一個點，若m，n，且Am，A，則m，n的位置關(guān)系不可能是()A.垂直 B.相交C.異面 D.平行5. (2020重慶一中月考)如圖，l，A，B，C，且Cl，直線ABlM，過A，B，C三點的平面記作，則與的交線必通過()A.點A B.點B C.點C但不過點M D.點C和點M6.(一題多解)(2017全國卷)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，

5、N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()典型例題考點一平面的基本性質(zhì)及應(yīng)用【例1】 已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別是BC，CD上的點，且CGeq f(1,3)BC，CHeq f(1,3)DC.求證：(1)E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)三直線FH，EG，AC共點.【訓(xùn)練1】 如圖，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與四邊形ABCD都是直角梯形，BADFAB90，BCAD且BCeq f(1,2)AD，BEAF且BEeq f(1,2)AF，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點.(1)證明：四邊形BCHG為平行四邊形；(2

6、)判斷C，D，F(xiàn)，E四點是否共面？為什么？考點二空間兩直線位置關(guān)系的判定【例2】 (1)(一題多解)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是()A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交(2)在圖中，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形的序號是_(填上所有正確答案的序號).【訓(xùn)練2】 如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點，有以下四個結(jié)論：直線AM與CC1是相交直線；直線AM

7、與BN是平行直線；直線BN與MB1是異面直線；直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為_(填序號).【例3】 (1)(2019湘潭二模)已知四棱錐PABCD的底面邊長都為2，PAPC2eq r(3)，PBPD，且DAB60，M是PC的中點，則異面直線MB與AP所成的角為_.(2)(2020安陽一模)在正方體ABCDA1B1C1D1中，點O是底面ABCD的中心，過O點作一條直線l與A1D平行，設(shè)直線l與直線OC1的夾角為，則cos _.【訓(xùn)練3】 (一題多解)(2018全國卷)在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1eq r(3)，則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為()A

8、.eq f(1,5) B.eq f(r(5),6) C.eq f(r(5),5) D.eq f(r(2),2)贏得高分立體幾何中的截面問題用一個平面去截幾何體，此平面與幾何體的交集叫做這個幾何體的截面.截面問題涉及線、面位置關(guān)系，點線共面、線共點等問題，綜合性較強，常做為壓軸題出現(xiàn).【典例】 (2018全國卷)已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為()A.eq f(3r(3),4) B.eq f(2r(3),3) C.eq f(3r(2),4) D.eq f(r(3),2)【訓(xùn)練】 已知球O是正三棱錐(底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面

9、中心)ABCD的外接球，BC3，AB2eq r(3)，點E在線段BD上，且BD3BE，過點E作球O的截面，則所得的截面中面積最小的截面圓的面積是_.當堂檢測一、選擇題1.給出下列說法：梯形的四個頂點共面；三條平行直線共面；有三個公共點的兩個平面重合；三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面.其中正確的序號是()A. B.C. D.2.已知a，b是異面直線，直線c平行于直線a，那么c與b()A.一定是異面直線 B.一定是相交直線C.不可能是平行直線 D.不可能是相交直線3.(2020福州月考)如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，則異面直線B1C與EF所成角

10、的大小為()A.30 B.45C.60D.904.下列命題中正確的個數(shù)為()存在與兩條異面直線都平行的平面；過空間一點，一定能作一個平面與兩條異面直線都平行；若ABC在平面外，它的三條邊所在的直線分別交于P，Q，R，則P，Q，R三點共線；若三條直線a，b，c互相平行且分別交直線l于A，B，C三點，則這四條直線共面；空間中不共面的五個點一定能確定10個平面.A.1 B.2 C.3 D.45.在如圖所示的正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1B，AD的中點，則直線BF與平面AD1E的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.異面二、填空題6.正方體AC1中，與面ABCD

11、的對角線AC異面的棱有_條.解析如圖，在正方體AC1中，與面ABCD的對角線AC異面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6條.7.如圖，已知圓柱的軸截面ABB1A1是正方形，C是圓柱下底面弧AB的中點，C1是圓柱上底面弧A1B1的中點，那么異面直線AC1與BC所成角的正切值為_.8.(2020西安模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，GH與EF平行；BD與MN為異面直線；GH與MN成60角；DE與MN垂直.以上四個命題中，正確命題的序號是_.三、解答題9.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點.求證：D1，H，O三點共線.10.在正方體ABCDA1B1C1D1中，