1、湖南省2022年、2022年數學中考試題分類（10）四邊形一選擇題（共12小題）1（2022益陽）如圖，的對角線，交于點，若，則的長可能是A10B8C7D62（2022邵陽）如圖，四邊形是平行四邊形，點，在同一條直線上，請添加一個條件使得，下列不正確的是ABCD3（2022湘西州）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸的正半軸上，矩形的另一個頂點在軸的正半軸上，矩形的邊，則點到軸的距離等于ABCD4（2022懷化）在矩形中，、相交于點，若的面積為2，則矩形的面積為A4B6C8D105（2022衡陽）如圖，在四邊形中，對角線和相交于點，下列條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是A，B，C，D，6（

2、2022懷化）若一個多邊形的內角和為，則這個多邊形的邊數為A6B7C8D97（2022婁底）正多邊形的一個外角為，則這個多邊形的邊數為A5B6C7D88（2022永州）如圖，四邊形的對角線相交于點，且點是的中點，若，則四邊形的面積為A40B24C20D159（2022永州）下列說法正確的是A有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等B有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形C如果一個角的補角等于它本身，那么這個角等于D點到直線的距離就是該點到該直線的垂線段的長度10（2022婁底）順次連接菱形四邊中點得到的四邊形是A平行四邊形B菱形C矩形D正方形11（2022郴州）我國古代數學家劉徽將勾股形（古人

3、稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知，則正方形的邊長是AB2CD412（2022湘西州）已知一個多邊形的內角和是，則這個多邊形是A五邊形B六邊形C七邊形D八邊形二填空題（共10小題）13（2022邵陽）如圖，在中，斜邊，過點作，以為邊作菱形，若，則的面積為14（2022張家界）如圖，正方形的邊長為1，將其繞頂點按逆時針方向旋轉一定角度到位置，使得點落在對角線上，則陰影部分的面積是15（2022湘西州）在平面直角坐標系中，為原點，點，點在軸的正半軸上，矩形的頂點，分別在，上，將矩形沿軸向右平移，當矩形與重疊部分的面積為時，則矩形向右平移的距離為16（2022湘

4、西州）若一個多邊形的內角和是外角和的兩倍，則該多邊形的邊數是17已知一個邊形的每一個外角都為，則等于18（2022益陽）一個多邊形的內角和等于，則這個多邊形的邊數是19（2022湘潭）如圖，在四邊形中，若，則添加一個條件，能得到平行四邊形（不添加輔助線，任意添加一個符合題意的條件即可）20（2022株洲）如圖所示，過正五邊形的頂點作一條射線與其內角的角平分線相交于點，且，則度21（2022岳陽）若一個多邊形的內角和等于它的外角和，則這個多邊形的邊數為22（2022湘潭）四邊形的內角和是三解答題（共23小題）23（2022永州）某校開展了一次綜合實踐活動，參加該活動的每個學生持有兩張寬為，長足夠

5、的矩形紙條探究兩張紙條疊放在一起，重疊部分的形狀和面積如圖1所示，一張紙條水平放置不動，另一張紙條與它成的角，將該紙條從右往左平移（1）寫出在平移過程中，重疊部分可能出現的形狀（2）當重疊部分的形狀為如圖2所示的四邊形時，求證：四邊形是菱形（3）設平移的距離為，兩張紙條重疊部分的面積為求與的函數關系式，并求的最大值24（2022益陽）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形根據以上定義，解決下列問題：（1）如圖1，正方形中，是上的點，將繞點旋轉，使與重合，此時點的對應點在的延長線上，則四邊形為“直等補”四邊

6、形，為什么？（2）如圖2，已知四邊形是“直等補”四邊形，點到直線的距離為求的長；若、分別是、邊上的動點，求周長的最小值25（2022婁底）如圖，中，分別在邊、上的點與點關于對稱，連接、（1）試判定四邊形的形狀，并說明理由；（2）求證：26（2022邵陽）已知：如圖，將一塊角的直角三角板與正方形的一角重合，連接，點是的中點，連接（1）請你猜想與的數量關系是（2）如圖，把正方形繞著點順時針旋轉角與的數量關系是否仍成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（溫馨提示：延長到點，使，連接求證：；若旋轉角，且，求的值（可不寫過程，直接寫出結果）27（2022衡陽）如圖1，平面直角坐標系中，等腰的底邊在

7、軸上，頂點在的正半軸上，一動點從出發，以每秒1個單位的速度沿向左運動，到達的中點停止另一動點從點出發，以相同的速度沿向左運動，到達點停止已知點、同時出發，以為邊作正方形，使正方形和在的同側，設運動的時間為秒（1）當點落在邊上時，求的值；（2）設正方形與重疊面積為，請問是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，取的中點，連結，當點、開始運動時，點從點出發，以每秒個單位的速度沿運動，到達點停止運動請問在點的整個運動過程中，點可能在正方形內（含邊界）嗎？如果可能，求出點在正方形內（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由28（2022張家界）如圖，在矩形中，過對角線的中點作的

8、垂線，分別交，于點，（1）求證：；（2）若，連接，求四邊形的周長29（2022郴州）如圖1，在等腰直角三角形中，點是的中點，以為邊作正方形，連接，將正方形繞點順時針旋轉，旋轉角為（1）如圖2，在旋轉過程中，判斷與是否全等，并說明理由；當時，與交于點，求的長（2）如圖3，延長交直線于點求證：；在旋轉過程中，線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由30（2022株洲）如圖所示，的頂點在正方形對角線的延長線上，與交于點，連接、，滿足（1）求證：（2）若正方形的邊長為1，求的值31（2022湘西州）問題背景：如圖1，在四邊形中，繞點旋轉，它的兩邊分別交、于、探究圖中線段，之間

9、的數量關系小李同學探究此問題的方法是：延長到，使，連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論就是；探究延伸1：如圖2，在四邊形中，繞點旋轉它的兩邊分別交、于、，上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”或者“不成立” ，不要說明理由；探究延伸2：如圖3，在四邊形中，繞點旋轉它的兩邊分別交、于、上述結論是否仍然成立？并說明理由；實際應用：如圖4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心處）北偏西的處艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東的方向以100海里小時的速度前進，小時后，指揮中心觀測到甲

10、、乙兩艦艇分別到達、處且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為試求此時兩艦艇之間的距離32（2022郴州）如圖，在菱形中，將對角線分別向兩端延長到點和，使得連接，求證：四邊形是菱形33（2022岳陽）如圖1，在矩形中，動點，分別從點，點同時以每秒1個單位長度的速度出發，且分別在邊，上沿，的方向運動，當點運動到點時，兩點同時停止運動設點運動的時間為，連接，過點作，與邊相交于點，連接（1）如圖2，當時，延長交邊于點求證：；（2）在（1）的條件下，試探究線段，三者之間的等量關系，并加以證明；（3）如圖3，當時，延長交邊于點，連接，若平分，求的值34（2022湘西州）如圖，在正方形的外側，作等邊三角形，連

11、接，（1）求證：；（2）求的度數35（2022岳陽）如圖，點，在的邊，上，連接，求證：四邊形是平行四邊形36（2022湘潭）如圖一，在射線的一側以為一條邊作矩形，點是線段上一動點（不與點重合），連結，過點作的垂線交射線于點，連接（1）求的大小；（2）問題探究：動點在運動的過程中，是否能使為等腰三角形，如果能，求出線段的長度；如果不能，請說明理由的大小是否改變？若不改變，請求出的大小；若改變，請說明理由（3）問題解決：如圖二，當動點運動到的中點時，與的交點為，的中點為，求線段的長度37（2022婁底）如圖，點、分別在矩形的邊、（不包括端點）上運動，且滿足，（1）求證：；（2）試判斷四邊形的形狀，

12、并說明理由（3）請探究四邊形的周長一半與矩形一條對角線長的大小關系，并說明理由38（2022湘西州）如圖，在正方形中，點，分別在邊，上，且（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積39（2022益陽）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊，若不改變矩形的形狀和大小，當矩形頂點在軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點始終在軸的正半軸上隨之上下移動（1）當時，求點的坐標；（2）設的中點為，連接、，當四邊形的面積為時，求的長；（3）當點移動到某一位置時，點到點的距離有最大值，請直接寫出最大值，并求此時的值40（2022郴州）如圖，中，點是邊的中點，連接并延長交的延長線于點，連接，求證：四邊形是平行四邊形4

13、1（2022岳陽）操作體驗：如圖，在矩形中，點、分別在邊、上，將矩形沿直線折疊，使點恰好與點重合，點落在點處點為直線上一動點（不與、重合），過點分別作直線、的垂線，垂足分別為點和，以、為鄰邊構造平行四邊形（1）如圖1，求證：；（2）特例感知：如圖2，若，當點在線段上運動時，求平行四邊形的周長；（3）類比探究：若，如圖3，當點在線段的延長線上運動時，試用含、的式子表示與之間的數量關系，并證明；如圖4，當點在線段的延長線上運動時，請直接用含、的式子表示與之間的數量關系（不要求寫證明過程）42（2022岳陽）如圖，在菱形中，點、分別為、邊上的點，求證：43（2022懷化）已知：如圖，在中，分別為垂足

14、（1）求證：；（2）求證：四邊形是矩形44（2022株洲）如圖所示，已知正方形的頂點為正方形對角線、的交點，連接、（1）求證：；（2）若，正方形的邊長為2，線段與線段相交于點，求正方形的邊長45（2022衡陽）如圖，在等邊中，動點從點出發以的速度沿勻速運動動點同時從點出發以同樣的速度沿的延長線方向勻速運動，當點到達點時，點、同時停止運動設運動時間為過點作于，連接交邊于以、為邊作平行四邊形（1）當為何值時，為直角三角形；（2）是否存在某一時刻，使點在的平分線上？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；（3）求的長；（4）取線段的中點，連接，將沿直線翻折，得，連接，當為何值時，的值最小？并求出最小

15、值湖南省2022年、2022年數學中考試題分類（10）四邊形一選擇題（共12小題）1（2022益陽）如圖，的對角線，交于點，若，則的長可能是A10B8C7D6【解答】解：四邊形是平行四邊形，在中：，即，的長可能為6故選：2（2022邵陽）如圖，四邊形是平行四邊形，點，在同一條直線上，請添加一個條件使得，下列不正確的是ABCD【解答】解：四邊形是平行四邊形，若添加，則無法證明，故選項符合題意；若添加，運用可以證明，故選項不符合題意；若添加，運用可以證明，故選項不符合題意；若添加，運用可以證明，故選項不符合題意故選：3（2022湘西州）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的頂點在軸的正半軸上，矩形的另一

16、個頂點在軸的正半軸上，矩形的邊，則點到軸的距離等于ABCD【解答】解：作軸于，如圖：四邊形是矩形，點到軸的距離等于；故選：4（2022懷化）在矩形中，、相交于點，若的面積為2，則矩形的面積為A4B6C8D10【解答】解：四邊形是矩形，對角線、相交于點，且，矩形的面積為，故選：5（2022衡陽）如圖，在四邊形中，對角線和相交于點，下列條件不能判斷四邊形是平行四邊形的是A，B，C，D，【解答】解：，四邊形是平行四邊形，故選項中條件可以判定四邊形是平行四邊形；，四邊形是平行四邊形，故選項中條件可以判定四邊形是平行四邊形；，則無法判斷四邊形是平行四邊形，故選項中的條件，不能判斷四邊形是平行四邊形；，四

17、邊形是平行四邊形，故選項中條件可以判定四邊形是平行四邊形；故選：6（2022懷化）若一個多邊形的內角和為，則這個多邊形的邊數為A6B7C8D9【解答】解：設這個多邊形的邊數為，根據題意得：，解得：故選：7（2022婁底）正多邊形的一個外角為，則這個多邊形的邊數為A5B6C7D8【解答】解：設所求正多邊形邊數為，則，解得故正多邊形的邊數是6故選：8（2022永州）如圖，四邊形的對角線相交于點，且點是的中點，若，則四邊形的面積為A40B24C20D15【解答】解：，點是的中點，四邊形是菱形，四邊形的面積，故選：9（2022永州）下列說法正確的是A有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等B有一組對邊平行

18、，且對角線相等的四邊形是矩形C如果一個角的補角等于它本身，那么這個角等于D點到直線的距離就是該點到該直線的垂線段的長度【解答】解：有兩邊和一角分別相等的兩個三角形全等；不正確；有一組對邊平行，且對角線相等的四邊形是矩形；不正確；如果一個角的補角等于它本身，那么這個角等于；不正確；點到直線的距離就是該點到該直線的垂線段的長度；正確；故選：10（2022婁底）順次連接菱形四邊中點得到的四邊形是A平行四邊形B菱形C矩形D正方形【解答】解：如圖，、分別是、的中點，且，同理，且，且，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，又根據三角形的中位線定理，平行四邊形是矩形故選：11（2022郴州）我國古代數學家劉徽將

19、勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的三角形，如圖所示，已知，則正方形的邊長是AB2CD4【解答】解：設正方形的邊長為，由題意得：，在中，即，整理得，解得：，或（舍去），即正方形的邊長是2；故選：12（2022湘西州）已知一個多邊形的內角和是，則這個多邊形是A五邊形B六邊形C七邊形D八邊形【解答】解：設所求多邊形邊數為，則，解得故選：二填空題（共10小題）13（2022邵陽）如圖，在中，斜邊，過點作，以為邊作菱形，若，則的面積為【解答】解：如圖，分別過點、作、垂直，垂足為點、，根據題意四邊形為菱形，又在中，根據題意，根據平行線間的距離處處相等，的面積為故答案為：14（2

20、022張家界）如圖，正方形的邊長為1，將其繞頂點按逆時針方向旋轉一定角度到位置，使得點落在對角線上，則陰影部分的面積是【解答】解：方法一：正方形的邊長為1，將其繞頂點按逆時針方向旋轉一定角度到位置，使得點落在對角線上，陰影部分的面積；方法二：過點作交、于、點，設與交于點點，連接，如下圖所示，在對角線上，為等腰直角三角形，又，且，和均為直角三角形，又，為等腰直角三角形，設，則，解得，陰影部分的面積故答案為：15（2022湘西州）在平面直角坐標系中，為原點，點，點在軸的正半軸上，矩形的頂點，分別在，上，將矩形沿軸向右平移，當矩形與重疊部分的面積為時，則矩形向右平移的距離為2【解答】解：點，四邊形是

21、矩形，在中，點的坐標為，；矩形的面積為，將矩形沿軸向右平移，矩形與重疊部分的面積為矩形與不重疊部分的面積為，如圖，設，則，依題意有，解得（負值舍去）故矩形向右平移的距離為2故答案為：216（2022湘西州）若一個多邊形的內角和是外角和的兩倍，則該多邊形的邊數是6【解答】解：設該多邊形的邊數為，根據題意，得，解得：故這個多邊形的邊數為6故答案為：617已知一個邊形的每一個外角都為，則等于12【解答】解：一個邊形的每一個外角都為，任意多邊形的外角和都是，故答案為：1218（2022益陽）一個多邊形的內角和等于，則這個多邊形的邊數是5【解答】解：設這個多邊形的邊數是，則，解得，故答案為：519（20

22、22湘潭）如圖，在四邊形中，若，則添加一個條件，能得到平行四邊形（不添加輔助線，任意添加一個符合題意的條件即可）【解答】解：根據平行四邊形的判定，可再添加一個條件：故答案為：（答案不唯一）20（2022株洲）如圖所示，過正五邊形的頂點作一條射線與其內角的角平分線相交于點，且，則66度【解答】解：五邊形為正五邊形，度，是的角平分線，度，故答案為：6621（2022岳陽）若一個多邊形的內角和等于它的外角和，則這個多邊形的邊數為4【解答】解：設多邊形的邊數為，則，解得：，故答案為：422（2022湘潭）四邊形的內角和是【解答】解：故四邊形的內角和為故答案為：三解答題（共23小題）23（2022永州）

23、某校開展了一次綜合實踐活動，參加該活動的每個學生持有兩張寬為，長足夠的矩形紙條探究兩張紙條疊放在一起，重疊部分的形狀和面積如圖1所示，一張紙條水平放置不動，另一張紙條與它成的角，將該紙條從右往左平移（1）寫出在平移過程中，重疊部分可能出現的形狀（2）當重疊部分的形狀為如圖2所示的四邊形時，求證：四邊形是菱形（3）設平移的距離為，兩張紙條重疊部分的面積為求與的函數關系式，并求的最大值【解答】解：（1）在平移過程中，重疊部分的形狀分別為：三角形，梯形，菱形，五邊形如下圖所示，（2）分別過，作于點，于點，如圖，兩紙條等寬，兩紙條都是矩形，四邊形是平行四邊形，又，四邊形是菱形；（3）當時，重疊部分為三

24、角形，如圖所求，當時，取最大值為；當時，重疊部分為梯形，如圖所求，梯形的下底為，上底為，當時，取最大值為；當時，重疊部分為五邊形，如圖所求，此時，；當時，重疊部分為菱形，如圖所求，綜上，與函數關系為：當時，；當時，當時，當時，故的最大值為24（2022益陽）定義：若四邊形有一組對角互補，一組鄰邊相等，且相等鄰邊的夾角為直角，像這樣的圖形稱為“直角等鄰對補”四邊形，簡稱“直等補”四邊形根據以上定義，解決下列問題：（1）如圖1，正方形中，是上的點，將繞點旋轉，使與重合，此時點的對應點在的延長線上，則四邊形為“直等補”四邊形，為什么？（2）如圖2，已知四邊形是“直等補”四邊形，點到直線的距離為求的長

25、；若、分別是、邊上的動點，求周長的最小值【解答】解：（1）四邊形是正方形，將繞點旋轉，使與重合，此時點的對應點在的延長線上，四邊形為“直等補”四邊形；（2）過作于點，如圖1，則，四邊形是“直等補”四邊形，四邊形是矩形，設，則，解得，或（舍，；如圖2，延長到，使得，延長到，使得，連接，分別與、交于點、，過作，與的延長線交于點則，的周長的值最小，四邊形是“直等補”四邊形，周長的最小值為25（2022婁底）如圖，中，分別在邊、上的點與點關于對稱，連接、（1）試判定四邊形的形狀，并說明理由；（2）求證：【解答】（1）解：四邊形是菱形，理由如下：四邊形是平行四邊形，點與點關于對稱，在和中，四邊形是菱形；

26、（2）證明：，是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，又，26（2022邵陽）已知：如圖，將一塊角的直角三角板與正方形的一角重合，連接，點是的中點，連接（1）請你猜想與的數量關系是（2）如圖，把正方形繞著點順時針旋轉角與的數量關系是否仍成立，若成立，請證明；若不成立，請說明理由；（溫馨提示：延長到點，使，連接求證：；若旋轉角，且，求的值（可不寫過程，直接寫出結果）【解答】解：（1）猜想與的數量關系是，理由：四邊形是正方形，在和中，是的中點，故答案為：；（2）仍然成立，理由如下：延長到點，使，連接，是中點，又，又，四邊形是正方形，；，；，過點作的延長線于點，是等腰直角三角形，設，則，故27（2022衡

27、陽）如圖1，平面直角坐標系中，等腰的底邊在軸上，頂點在的正半軸上，一動點從出發，以每秒1個單位的速度沿向左運動，到達的中點停止另一動點從點出發，以相同的速度沿向左運動，到達點停止已知點、同時出發，以為邊作正方形，使正方形和在的同側，設運動的時間為秒（1）當點落在邊上時，求的值；（2）設正方形與重疊面積為，請問是否存在值，使得？若存在，求出值；若不存在，請說明理由；（3）如圖2，取的中點，連結，當點、開始運動時，點從點出發，以每秒個單位的速度沿運動，到達點停止運動請問在點的整個運動過程中，點可能在正方形內（含邊界）嗎？如果可能，求出點在正方形內（含邊界）的時長；若不可能，請說明理由【解答】解：（

28、1）如圖中，由題意，當點落在上時，點的運動路程為1，時，點落在上（2）由題意，在，的運動過程中，開始正方形的邊長為1，正方形與重疊面積為，此時點與重合，已經停止運動，如圖中，重疊部分是五邊形由題意：，整理得，解得或（舍棄），滿足條件的的值為（3）如圖中，當點第一次落在上時，當點第一次落在上時，點第一次落在正方形內部（包括邊界）的時長，當點第二次落在上時，當點第二次落在上時，點第二次落在正方形內部（包括邊界）的時長，當時，點運動，在點不動，在正方形的邊界，點落在正方形內部（包括邊界）的總時長28（2022張家界）如圖，在矩形中，過對角線的中點作的垂線，分別交，于點，（1）求證：；（2）若，連接，

29、求四邊形的周長【解答】（1）證明：四邊形是矩形，又，在和中，；（2）解：由（1）可得，四邊形是平行四邊形，四邊形是菱形，根據，設，可得，在中，根據勾股定理可得：，即，解得：，四邊形的周長29（2022郴州）如圖1，在等腰直角三角形中，點是的中點，以為邊作正方形，連接，將正方形繞點順時針旋轉，旋轉角為（1）如圖2，在旋轉過程中，判斷與是否全等，并說明理由；當時，與交于點，求的長（2）如圖3，延長交直線于點求證：；在旋轉過程中，線段的長度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由【解答】解：（1）如圖2中，結論：理由：四邊形是正方形，如圖2中，過點作于，（2）如圖3中，設交于，是定值

30、，當最小時，的值最大，當時，的值最小，此時的值最大，此時點與重合（如圖4中），的最大值為30（2022株洲）如圖所示，的頂點在正方形對角線的延長線上，與交于點，連接、，滿足（1）求證：（2）若正方形的邊長為1，求的值【解答】（1）證明：，；（2）解：，正方形邊長為1，31（2022湘西州）問題背景：如圖1，在四邊形中，繞點旋轉，它的兩邊分別交、于、探究圖中線段，之間的數量關系小李同學探究此問題的方法是：延長到，使，連接，先證明，再證明，可得出結論，他的結論就是；探究延伸1：如圖2，在四邊形中，繞點旋轉它的兩邊分別交、于、，上述結論是否仍然成立？請直接寫出結論（直接寫出“成立”或者“不成立” ，

31、不要說明理由；探究延伸2：如圖3，在四邊形中，繞點旋轉它的兩邊分別交、于、上述結論是否仍然成立？并說明理由；實際應用：如圖4，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心處）北偏西的處艦艇乙在指揮中心南偏東的處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以75海里小時的速度前進，同時艦艇乙沿北偏東的方向以100海里小時的速度前進，小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達、處且指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為試求此時兩艦艇之間的距離【解答】解：問題背景：如圖1，延長到，使，連接，先證明，再證明，可得出結論：；故答案為：；探究延伸上述結論仍然成立，即，理由如下：如圖2，延長到，使，

32、連接，即，又，即，可得出結論：；探究延伸上述結論仍然成立，即，理由：如圖3，延長到，使得，連接，又，；實際應用：如圖4，連接，延長交的延長線于，因為艦艇甲在指揮中心處）北偏西的處艦艇乙在指揮中心南偏東的處，所以，因為指揮中心觀測兩艦艇視線之間的夾角為，所以，所以依題意得，所以，因此本題的實際的應用可轉化為如下的數學問題：在四邊形中，的兩邊分別交，于，求的長根據探究延伸2的結論可得：，根據題意得，（海里），（海里），所以（海里）答：此時兩艦艇之間的距離為210海里32（2022郴州）如圖，在菱形中，將對角線分別向兩端延長到點和，使得連接，求證：四邊形是菱形【解答】證明：方法一：四邊形是菱形，同理

33、可證：，四邊形是平行四邊形，平行四邊形是菱形方法二：為菱形，所以就能得到四個三角形全等，所以四條邊相等，所以四邊形為菱形33（2022岳陽）如圖1，在矩形中，動點，分別從點，點同時以每秒1個單位長度的速度出發，且分別在邊，上沿，的方向運動，當點運動到點時，兩點同時停止運動設點運動的時間為，連接，過點作，與邊相交于點，連接（1）如圖2，當時，延長交邊于點求證：；（2）在（1）的條件下，試探究線段，三者之間的等量關系，并加以證明；（3）如圖3，當時，延長交邊于點，連接，若平分，求的值【解答】解：（1）四邊形是矩形，在中，根據勾股定理得，由運動知，；（2）結論：，理由：如圖2，連接，由（1）知，在中

34、，根據勾股定理得，；（3）如圖3，由運動知，平分，過點作于，在中，在中，34（2022湘西州）如圖，在正方形的外側，作等邊三角形，連接，（1）求證：；（2）求的度數【解答】（1）證明：為等邊三角形，四邊形為正方形，在和中，；（2），35（2022岳陽）如圖，點，在的邊，上，連接，求證：四邊形是平行四邊形【解答】解：四邊形是平行四邊形，四邊形是平行四邊形36（2022湘潭）如圖一，在射線的一側以為一條邊作矩形，點是線段上一動點（不與點重合），連結，過點作的垂線交射線于點，連接（1）求的大小；（2）問題探究：動點在運動的過程中，是否能使為等腰三角形，如果能，求出線段的長度；如果不能，請說明理由的大

35、小是否改變？若不改變，請求出的大小；若改變，請說明理由（3）問題解決：如圖二，當動點運動到的中點時，與的交點為，的中點為，求線段的長度【解答】解：（1）如圖一（1）中，四邊形是矩形，（2）如圖一（1）中，當時，在中，是等邊三角形，如圖一（2）中，當時，易證，綜上所述，滿足條件的的值為5或結論：大小不變理由：如圖一（1）中，四點共圓，如圖一（2）中，四點共圓，綜上所述，（3）如圖二中，是等邊三角形，垂直平分線段，37（2022婁底）如圖，點、分別在矩形的邊、（不包括端點）上運動，且滿足，（1）求證：；（2）試判斷四邊形的形狀，并說明理由（3）請探究四邊形的周長一半與矩形一條對角線長的大小關系，并

36、說明理由【解答】證明：（1）四邊形是矩形，在與中，；（2）四邊形是平行四邊形，理由如下：由（1）知，則，同理證得，則，四邊形是平行四邊形；（3）四邊形的周長一半大于或等于矩形一條對角線長度理由如下：作關于的對稱點，連接，可得的長度就是的最小值連接，四邊形為平行四邊形，在中，四邊形的周長一半大于或等于矩形一條對角線長度38（2022湘西州）如圖，在正方形中，點，分別在邊，上，且（1）求證：；（2）若，求四邊形的面積【解答】解：（1）在和中，；（2）由已知可得正方形面積為16，面積面積所以四邊形的面積為39（2022益陽）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊，若不改變矩形的形狀和大小，當矩形頂點在軸的正半軸上左右移動時，矩形的另一個頂點始終在軸的正半軸上隨之上下移動（1）當時，求點的坐標；（2）設的中點為，連接、，當四邊形的面積為時，求的長；（3）當點移動到某一位置時，點到點的距離有最大值，請直接寫