1、第一章 數與式第1課 實數及其運算第一章 數與式第1課 實數及其運算實數無理數無限不循環小數整數分數負整數自然數有限小數或無限循環小數1.實數的分類 按實數的定義分類：要點梳理正無理數 負無理數 有理數 正整數 零 正分數 負分數 實數無理數無限不循環小數整數分數負整數自然數有限小數或無限循根據需要，我們也可以按符號進行分類，如：實數 2實數的有關概念 (1)數軸：規定了 ， 和 的直線 叫做數軸數軸上所有的點與全體實數一一對應 (2)相反數：只有_不同，而_相同的兩個數稱 為互為相反數若a、b互為相反數，則ab_. (3)倒數：1除以一個不等于零的實數所得的_，叫做 這個數的倒數若a、b互為

2、倒數，則ab_.原點 正方向 單位長度 符號 絕對值0 商 1 正實數負實數零根據需要，我們也可以按符號進行分類，如：實數 2實數的有關(4)絕對值：在數軸上，一個數對應的點離開原點的 叫做這個數的絕對值距離 a 0 a |a|是一個非負數，即|a|_.0 |a| (a0)(a=0)(a0)(4)絕對值：在數軸上，一個數對應的點離開原點的 (5)科學記數法，近似數，有效數字： 科學記數法就是把一個數表示成 的形式； 一個近似數， 到哪一位，就說這個數精確到哪一位，這時，從左邊第一個不是零的數字起，到末位數字止，所有的數字都叫做這個近似數的有效數字(6)平方根，算術平方根，立方根： 如果x2a，

3、那么x叫做a的平方根，記作_； 正數a的正的平方根，叫做這個數的算術平方根； 如果x3a，那么x叫做a的立方根，記作_a10n(1a10,n是整數)四舍五入 (5)科學記數法，近似數，有效數字：a10n(1a13.零指數冪，負整數指數冪： 任何非零數的零次冪都等于1，即 ； 任何不等于的數的p次冪，等于這個數p次冪的倒數， 即 4.實數的大小比較： _大于零，_小于零，_大于一切負數； 在數軸上表示的兩個數，右邊的點所表示的數總比_的 點所表示的數_ 差值法比較： ab0ab ab0ab ab0ab a01(a0) ap (a0，p為正整數) 正數 負數 正數 左邊 大 3.零指數冪，負整數指

4、數冪：a01(a0) ap 5.實數的運算： 實數的運算順序是先算 ，再算 ，最后算 _如果有括號，先算_，再算_，最后算 _同級運算應 .乘方和開方 乘除 加減 小括號 中括號 大括號 從左到右,按順序進行5.實數的運算：乘方和開方 乘除 加減 小括號 中括號 大括 難點正本 疑點清源 1正確理解實數相關的概念在實數范圍內，由于對數學概念的理解不清楚，導致出現各種判斷和列式錯誤這些概念包括：正數、負數、有理數、無理數、實數、相反數、倒數、平方根、算術平方根、立方根、絕對值、數軸、零指數、負整數指數等2注意基本技能的掌握及正確的運算在實數范圍內，由于對基本技能掌握不熟練，導致出現一系列變形和計

5、算錯誤這些技能包括：分數的通分與約分、運算的靈活應用、實數的運算、實數的大小比較、近似數的表示、用科學記數法表示數等 難點正本 疑點清源 1正確理解實數相關的概念在3利用數形結合的數學思想直觀地解決問題 數本身是無形的、抽象的，而點、線等圖形卻是直觀的數軸正是在有形的直線上按由小到大的順序把無形的數表示出來，把“數”與“形”有機地結合起來，從而便于學習和研究3利用數形結合的數學思想直觀地解決問題4運用分類討論思想，全面解答問題 在學習相反數、絕對值和有理數乘方運算的符號法則時，應把實數分成正實數、零、負實數三類分別研究，運用分類討論的思想，在一些看上去較復雜的計算題中，可通過分類討論，全面地把

6、代數式的值一一求出來，如： 已知abc0，且M ，根據a、b、c的不同取值，M有 () A唯一確定的值B三種不同的值 C四種不同的值D八種不同的值B4運用分類討論思想，全面解答問題B基礎自測1(2019金華)有四包真空小包裝火腿，每包以標準克數(450克)為基準，超過的克數記作正數，不足的克數記作負數，以下數據是記錄結果，其中表示實際克數最接近標準克數的是 () A2 B3 C3 D4 解析：四個選項中2的絕對值最小，故最接近標準A基礎自測1(2019金華)有四包真空小包裝火腿，每包以標2(2019衢州)數2的相反數為 () A2 B. C2 D 解析：一個數的相反數就是在這個數前面加“”號3

7、(2019義烏)3的絕對值是 () A3 B3 C D. 解析：|3|3，一個負數的絕對值是它的相反數AA2(2019衢州)數2的相反數為 4(2019寧波)下列各數中，是正整數的是 () A1 B. 2 C0.5 D. 解析：選項中只有2既是正數，又是整數5(2019陜西)我國第六次人口普查顯示，全國人口為1370536875 人，將這個總人口數(保留三個有效數字)用科學計數法表示為 () A1.37109 B1.37107 C1.37108 D1.371010 解析3705368751091.37109.BA4(2019寧波)下列各數中，是正整數的是 題型分類 深

8、度剖析題型一 實數的分類 【例 1】(1)在0,1,2,3.5這四個數中，是負整數的是 ( ) A0 B1 C2 D3.5 解析：負整數既是負數，又是整數，這里只有2符合 (2)在實數0,1, ,0.1235中，無理數的個數為 ( ) A0個 B1個 C2個 D3個 解析：無理數是無限不循環小數，開不盡方，是無限不循環小數CB題型分類 深度剖析題型一 實數的分類 CB探究提高 判斷一個數是不是無理數，關鍵就看它能否寫成無限不循環小數初中常見的無理數共分三種類型： (1)含根號且開不盡方的數； (2)化簡后含(圓周率)的式子； (3)有規律但不循環的無限小數掌握常見無理數類型有助于識別無理數探究

9、提高知能遷移1(1)下列五個實數： ，0，tan 45，|3|， ( )1.其中正數的和為 ( ) A4 B5 C6 D7 解析：(3)0tan45 ( )11124，這三個正數的和等于4，選A. (2)下列四個數中，在0到3之間的無理數是 ( ) A. B. C D1 解析：0 bc，那么abc_.解析：由|a|1，|b|2，|c|3， 得a1，b2，c3. 又abc.可以a1，b2，c3， 所以abc1(2)(3)2， 或abc(1)(2)(3)0.2或0題型四與實數相關的概念 【例 4】(1)已知|a|1，(2)設|a|4，|b|2，且|ab|(ab)，試求ab所有值的和 解：|a|4，

10、|b|2，a4，b2， 又|ab|(ab)0，ab0，則 的值等于_ 解析：由ab0，得a0且b0或a0且b0，則 題型五與數軸聯系 【例 5】(1)如圖，若A是實數a在數軸上對應的點，則關于 a，a,1的大小關系，表示正確的是 ( ) Aa1a Baa1 C1aa Daa1 解析：如圖，在數軸上找出a所對應的位置， 易知a1a，選A.A題型五與數軸聯系 【例 5】(1)如圖，若A是實數a在數(2)觀察圖中的數軸，用字母a，b，c依次表示點A、B、C所對應 的數，則 、 、 的大小關系是 ( ) A. B. C. D. 解析：由所給的數軸表示，可以表示1a ， b10 1， ba1，1 3，

11、|a|1,0|b| ，0|ab|3， 3. .選C.C(2)觀察圖中的數軸，用字母a，b，c依次表示點A、B、C所探究提高 數形結合借助數軸找到數的位置，或由數找到在數軸上點的位置，及其相反數的位置再根據數軸上右邊的數大于左邊的數，確定各數的大小知能遷移5(1)(2019宜昌)如圖，數軸上A、B兩點分別對應實數 a、 b，則下列結論正確的是 ( ) A. a b Dab 0 解析：因為a0，bb.C探究提高 數形結合借助數軸找到數的位置，或(2)有理數a、b滿足a0，且|a|b|，試用“”號把a、b，a、b連接起來：_. 解析：據題意，把有理數a、b表示在數軸上，并把a、b也表示在同一條數軸上

12、，如圖，易得abba.abba(2)有理數a、b滿足a0，且|a|b|，試用易錯警示1實數概念中的常見錯誤試題若一個實數的(1)倒數；(2)絕對值；(3)平方數；(4)立方； (5)平方根；(6)算術平方根；(7)立方根等于它的本身，則這個 數分別為： (1) (2) (3)_(4)_(5)_(6)_(7)_學生答案展示(1)1；(2)正數；(3)1；(4)1或1；(5)1；(6)0； (7)1和1.剖析實數概念理解往往似是而非或不夠全面，出現一些不該有的錯誤上述給出的答案不完整，漏掉了一些符合條件的數，產生錯誤的原因是忽略了引進負數對數的范圍擴展不適應易錯警示1實數概念中的常見錯誤試題若一個

13、實數的(1)倒數；(2)絕對值；(3)平方數；(4)立方； (5)平方根；(6)算術平方根；(7)立方根等于它的本身，則這個 數分別為： (1) (2)_(3)_(4)_(5)_(6)_(7)_正解(1)1和1；(2)正數和0(或非負數)；(3)1和0；(4)1、0和1；(5)0；(6)0和1；(7)1、0和1.批閱筆記本題考查了實數的基本概念，有的同學對所學的倒數、絕對值、平方與平方根等概念沒有全面理解，因而造成錯誤試題若一個實數的(1)倒數；(2)絕對值；(3)平方數；(思想方法 感悟提高方法與技巧 1重視實數概念的學習，理解實數與數軸上的點是一一對應的 2注意實數乘方概念的理解，防止概念

14、之間的混淆 3可借助數軸，“數形結合”，找到數與點的關系，根據對稱性質找出互為相反數的位置，再比較大小思想方法 感悟提高方法與技巧 1重視實數概念失誤與防范 引進負數，使數的概念得以擴展，實現了算術數到有理數的飛躍，許多小學形成的認識被推翻了： 1“”“”除了仍表示運算符號外，還可以看作一個數的性質符號；“”還可以用來表示原數的相反數，即在一個數前面添上“”號，可得到原數的相反數 2減法可以轉化為加法，在小學里，加法與減法是兩回事，但引進負數后，減法就不再作為獨立的運算而存在，而是把減法轉化為加法失誤與防范 引進負數，使數的概念得以擴展，實 3原來的一些結論不再成立，如“差一定小于或等于被減數

15、”這個結論就是不一定正確了 4數“0”被賦予新的含義，具有獨特的性質，思考相關問題要全面，否則的話，極易落入“0”設置的陷阱 3原來的一些結論不再成立，如“差一定小于或完成考點跟蹤訓練 1 完成考點跟蹤訓練 1 一章數與式1課實數及其運算課件搞清實數的分類標準，尤其要弄懂無理數的三種常見形式： ；無限不循環小數，如0.1010010001；開方開不盡的數，如 等。絕對值的性質要注意正確區分數的三種情況，尤其是負數去掉絕對值應變為其相反數。實數的大小比較應重點掌握作差法和作商法，才能更好地有的放矢。方法小結：搞清實數的分類標準，尤其要弄懂無理數的三種常見形式： 2.有關實數的非負性： 若幾個非負

16、數的和等于0,那么這幾個非負數都0.例、若求 的值。解：由3a+4+ (4b-3)2 = 0得 3a+4= 0 且 (4b-3) 3a+4 = 0 且 4b-3 a=-4/3，b=3/4ab=(-4/3)(3/4)=-1 2.有關實數的非負性： 若幾個非負數的和等于0,那么這幾個有理數集合： ； 課時訓練1、把下列各數填在相應的大括號內：整數集合： ； 分數集合： ； 無理數集合： 。 -1，0， , 3.14, cos60-1，3.14，0， ，cos60， , -3, tan30, 2.1010010001 有理數集合： 2、下列說法中，錯誤的個數是 （ ）無理數都是無限小數；無理數都是開方開不盡的數；帶根號的都是無理數；無限小數都是無理數。 A.1個； B.