1、.5.1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（第2課時(shí)）(人教A高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章)深圳高級(jí)中學(xué)東校區(qū) 李邁一、教學(xué)目標(biāo)1.掌握兩角和與差的正弦、正切公式的推導(dǎo)，并進(jìn)行簡單的化簡求值2.掌握兩角和與差的正弦、正切公式的變形推導(dǎo)，及相關(guān)的應(yīng)用二、教學(xué)重難點(diǎn)1.兩角和與差的正弦、正切公式的推導(dǎo)、逆用、變形及其應(yīng)用2.兩角和與差的正弦、正切公式的應(yīng)用三、教學(xué)過程1.正弦公式正切公式的形成問題1：兩角和與差的正弦根據(jù)兩角和與差的余弦公式可推出兩角和與差的正弦公式：S：sin() S：sin() 【預(yù)設(shè)的答案】證明：由誘導(dǎo)公式以及兩角和與差的余弦公式可知： =而且： =例如,= = 【預(yù)設(shè)的答案】例如

2、,【對(duì)點(diǎn)快練】1sin 75_.2若cos eq f(4,5)，是第三象限的角，則sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)_.【預(yù)設(shè)的答案】1.2+64 【設(shè)計(jì)意圖】兩角和與差的正弦公式是可以由余弦公式推導(dǎo)的，用實(shí)際案例讓學(xué)生感受該公式的應(yīng)用，用變式訓(xùn)練讓學(xué)生快速掌握公式的應(yīng)用。2.具體感知，理性分析例1.(1)sin 21cos 39cos 21sin 39等于()Aeq f(r(2),2)Beq f(1,2)Ceq f(r(3),2)D1 (2)已知eq f(,4)eq f(3,4)，0eq f(,4)，coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)eq f(

3、3,5)，sineq blc(rc)(avs4alco1(f(3,4)eq f(5,13)，求sin()的值【預(yù)設(shè)的答案】1.C 2.63【變式練習(xí)】已知eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，)且sin()eq f(33,65)，cos eq f(5,13)，求sin .【預(yù)設(shè)的答案】3【設(shè)計(jì)意圖】兩角和與差的正弦公式的基本應(yīng)用，字母轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)。例2.已知向量，如圖所示，將向量繞原點(diǎn)沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，求點(diǎn)的坐標(biāo)。【預(yù)設(shè)的答案】(-例3.求證： 例4.在求函數(shù)的最小值時(shí)，下面的說法正確嗎？“因?yàn)榈淖钚≈禐?1，的最

4、小值為-1，所以的最小值為-2“如果不對(duì)，指出原因，并求的周期，最小值和最小值點(diǎn).【預(yù)設(shè)的答案】由此可知函數(shù)的周期為，最小值為，而最小值點(diǎn)滿足，因此最小值點(diǎn)為.3.輔助角公式的形成由例4可以看出，當(dāng)都是不為零的常數(shù)時(shí)，為了求出函數(shù)的周期、最值等，關(guān)鍵是要將函數(shù)化為的形式，也就是說，要找到合適的和，使得 = 1 * GB3 恒成立。如果 = 1 * GB3 式恒成立，則將 = 1 * GB3 式的右邊用展開可得 因此，從而可知 ，因此，如果取 則有 （2）由（2）式和任意角的余弦、正弦的定義可知，若記平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為的點(diǎn)為P，而是以射線OP為終邊的角，如圖所示，則一定滿足（2）式。這就是說

5、，滿足（1）式的和一定存在，因此，其中滿足（2）式?！驹O(shè)計(jì)意圖】輔助角公式的推導(dǎo)證明。例5.已知函數(shù)，求的周期，最小值及最小值點(diǎn)。【預(yù)設(shè)的答案】解：因?yàn)?所以 由此可知函數(shù)的周期為，最小值為，而且最小值點(diǎn)滿足，因此最小值點(diǎn)為。【變式練習(xí)1】將下列各式寫成Asin(x)的形式：(1)eq r(3)sin xcos x；(2)eq f(r(2),4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)eq f(r(6),4)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x).【預(yù)設(shè)的答案】解(1)eq r(3)sin xcos x2eq blc(rc)(avs4alco1(f

6、(r(3),2)sin xf(1,2)cos x)2eq blc(rc)(avs4alco1(cosf(,6)sin xsinf(,6)cos x)2sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,6).(2)eq f(r(2),4)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)eq f(r(6),4)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)eq f(r(2),2)eq blcrc(avs4alco1(f(1,2)sinblc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)f(r(3),2)cosblc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)eq

7、f(r(2),2)eq blcrc(avs4alco1(sinf(,6)sinblc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)cosf(,6)cosblc(rc)(avs4alco1(f(,4)x)eq f(r(2),2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)xf(,6)eq f(r(2),2)coseq blc(rc)(avs4alco1(f(,12)x)eq f(r(2),2)sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(5,12).【變式練習(xí)2】sineq blc(rc)(avs4alco1(xf(,3)eq f(1,3)，則cos xcoseq blc(r

8、c)(avs4alco1(f(,3)x)的值為()Aeq f(r(3),3)Beq f(r(3),3)Ceq f(1,3)Deq f(1,3)【預(yù)設(shè)的答案】B【設(shè)計(jì)意圖】輔助角公式的應(yīng)用。4.正切公式的形成問題2：兩角和與差的正切一般地，可以證明如下地兩角和與差地正切公式：其中的取值應(yīng)使各項(xiàng)有意義。事實(shí)上，因?yàn)?= = 【對(duì)點(diǎn)快練】1若tan 3，tan eq f(4,3)，則tan()等于()Aeq f(1,3)Beq f(1,3)C3D32tan 75_.【預(yù)設(shè)的答案】（1）A （2）2+3【設(shè)計(jì)意圖】兩角和與差的正切公式是可以由正弦與余弦公式推導(dǎo)的，用實(shí)際案例讓學(xué)生感受該公式的應(yīng)用，用變

9、式訓(xùn)練讓學(xué)生快速掌握公式的應(yīng)用。例6.求下列各式的值。（1） ； （2） ； （3）【預(yù)設(shè)的答案】解：（1）（2）（3）因?yàn)椋浴咀兪骄毩?xí)1】已知sin eq f(1,2)，是第二象限的角，且tan()eq r(3)，則tan 的值為()Aeq r(3)Beq r(3)Ceq f(r(3),3)Deq f(r(3),3)【變式練習(xí)2】若eq f(3,4)，則(1tan )(1tan )等于()A1B1C2D2【預(yù)設(shè)的答案】C；C【設(shè)計(jì)意圖】兩角和與差的正切公式的基本應(yīng)用，字母轉(zhuǎn)換為數(shù)據(jù)。 5.綜合應(yīng)用例7. 已知函數(shù)f(x)eq r(3)sin 2xcos 2x.(1)求f(x)的最大值，以

10、及取得最大值時(shí)x的取值集合；(2)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間【預(yù)設(shè)的答案】解f(x)eq r(3)sin 2xcos 2x2sineq blc(rc)(avs4alco1(2xf(,6)，(1)當(dāng)2xeq f(,6)2keq f(,2)，kZ時(shí)，函數(shù)取到最大值是2，此時(shí)xkeq f(,6)，kZ，所以x的取值集合是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(xkf(,6)，kZ).(2)由2keq f(,2)2xeq f(,6)2keq f(,2)得keq f(,3)xkeq f(,6)，kZ，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是eq blcrc(avs4alco1(kf(,3)，kf(,6)kZ.【變式練習(xí)1】本例中，若加條件“xeq blcrc(avs4alco1(0，f(,2)”，再求函數(shù)f(x)的最小值【變式練習(xí)2】函數(shù)f