1、電磁場與波時變電磁場第1頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 靜態場:場大小不隨時間發生改變(靜電場,恒定電、磁場) 時變場:場的大小隨時間發生改變。特性：電場和磁場相互激勵，從而形成不可分隔的統一的整體，稱為電磁場。特性：電場和磁場相互獨立，互不影響。第2頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 時變電磁場 在時變電磁場中，電場與磁場都是時間和空間的函數；變化的磁場會產生電場，變化的電場會產生磁場，電場與磁場相互依存，構成統一的電磁場。 英國科學家麥克斯韋提出位移電流假說，將靜態場、恒定場、時變場的電磁基本特性用統一的電磁場基本方程組概括。電磁場基本方程組

2、是研究宏觀電磁現象的理論基礎。第3頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五一、電磁感應現象與楞次定律電磁感應現象實驗表明：當穿過導體回路的磁通量發生變化時，回路中會出現感應電流。 楞次定律：回路總是企圖以感應電流產生的穿過回路自身的磁通，去反抗引起感應電流的磁通量的改變。5 .1 法拉第電磁感應定律 法拉第電磁感應定律：當穿過導體回路的磁通量發生改變時，回路中產生的感應電動勢與回路磁通量的時間變化率成正比關系。數學表示：說明：“-”號表示回路中產生的感應電動勢的作用總是要阻止回路磁通量的改變。二、法拉第電磁感應定律 第4頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五當

3、回路以速度v運動時，說明：感應電動勢由兩部分組成，第一部分是磁場隨時間變化在回路中“感生”的電動勢; 第二部分是導體回路以速度v對磁場作相對運動所引起的“動生”電動勢第5頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五斯托克斯定理法拉第電磁感應定律微分形式物理意義：1、某點磁感應強度的時間變化率的負值等于該點時變電場強度的旋度。 2、感應電場是有旋場，其旋渦源為 ，即磁場隨時間變化的地方一定會激發起電場，并形成旋渦狀的電場分布。 當回路靜止時，變化的磁場能產生電場第6頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五磁懸浮列車第7頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，

4、星期五矛盾5 .2 位移電流和全電流定律第8頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五其中，是電位移矢量對時間的變化率，具有電流密度的量綱，稱為位移電流密度 : 位移電流 第9頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五對任意封閉面S有 全電流連續性原理 物理意義：全電流的散度為0，它是連續的！穿過任一封閉面的各類電流之和恒為零。將它應用于只有傳導電流的回路中, 得知節點處傳導電流的代數和為零(流出的電流取正號, 流入取負號)。這就是基爾霍夫(G .R .Kirchhoff )電流定律: I=0。 第10頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 全電流

5、定律 由積分形式：物理意義：該定律包含了隨時間變化的電場能夠產生磁場這樣一個重要概念，也是電磁場的基本方程之一。磁場強度沿任意閉合路徑的線積分等于該路徑所包曲面上的全電流。 推廣的安培環路定理全電流定律變化的電場能產生磁場第11頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五例：在z=0和z=d位置有兩個無限大理想導體板，在極板間存在時變電磁場，其電場強度為求：該時變場相伴的磁場強度 ；例題0第12頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五解：(1)由法拉第電磁感應定律微分形式第13頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五第14頁，共75頁，2022年，5

6、月20日，6點32分，星期五設平板電容器兩端加有時變電壓U, 試推導通過電容器的電流I與U的關系。 圖 平板電容器 例 5 .2第15頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五解： 設平板尺寸遠大于其間距, 則板間電場可視為均勻, 即E=U/d, 從而得 式中C=A/d為平板電容器的電容。 第16頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五試用麥克斯韋方程組導出圖示的RLC串聯電路的電壓方程(電路全長遠小于波長)。 圖 RLC串聯電路 例5.3第17頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五解: 沿導線回路l作電場E的閉合路徑積分, 根據麥氏方程式(a)

7、有 上式左端就是沿回路的電壓降, 而是回路所包圍的磁通。將回路電壓分段表示, 得 設電阻段導體長為l1, 截面積為A, 電導率為, 其中電場為J/, 故 第18頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五電感L定義為m/I, m是通過電感線圈的全磁通, 得 通過電容C的電流已由例2 .2得出: 設外加電場為Ee, 則有 第19頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五因為回路中的雜散磁通可略, d/dt0, 從而得 這就是大家所熟知的基爾霍夫電壓定律。對于場源隨時間作簡諧變化的情形, 設角頻率為, 上式可化為 第20頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星

8、期五5 .3 .1 麥克斯韋方程組的微分形式與積分形式 5.3 麥克斯韋方程組Maxwells Equations 第21頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五（推廣的安培環路定律）（法拉第電磁感應定律）（磁通連續性定律）（高斯定律）一、麥克斯韋方程組的微分形式第22頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 時變電磁場的源： 1、真實源（變化的電流和電荷）； 2、變化的電場和變化的磁場。 時變電場的方向與時變磁場的方向處處相互垂直。 物理意義： 時變電場是有旋有散的，時變磁場是有旋無散的。但是，時變電磁場中的電場與磁場是不可分割的，因此，時變電磁場是有旋有散場

9、。 在電荷及電流均不存在的無源區中，時變電磁場是有旋無散的。 電場線與磁場線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。第23頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五麥克斯韋方程組的地位：揭示了電磁場場量與源之間的基本關系，揭示了時變電磁場的基本性質，是電磁場理論的基礎。二、麥克斯韋方程組的積分形式第24頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五麥克斯韋方程組是描述宏觀電磁現象的普遍規律，靜電場和恒定磁場的基本方程都是麥克斯韋方程組的特殊情況。電流連續性方程也可以由麥克斯韋方程組導出。在麥克斯韋方程組中，沒有限定場矢量D、E、H、B之間的關系，它們適用于任何媒質，通

10、常稱為麥克斯韋方程組的非限定形式 第25頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五本構關系 將本構關系代入麥克斯韋方程組，則得麥克斯韋方程組限定形式與媒質特性相關。三、麥克斯韋方程組的限定形式麥克斯韋方程組限定形式Constitutive equations第26頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 若媒質參數與位置無關, 稱為均勻(homogeneous)媒質; ; 若媒質參數與場強大小無關, 稱為線性(linear)媒質; ; 若媒質參數與場強方向無關, 稱為各向同性(isotropic)媒質; ; 若媒質參數與場強頻率無關, 稱為非色散媒質; 反之稱為色

11、散(dispersive) 媒質。四、媒質的分類第27頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五在無源區域中充滿均勻、線性、各向同性的無耗媒質空間中,由麥克斯韋方程組,=0,J=0無源區電場波動方程同理，可以推得無源區磁場波動方程為：5.3.2 無源區的波動方程wave equations for source-free medium第28頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五式中為拉普拉斯算符，在直角坐標系中而波動方程在直角坐標系中可分解為三個標量方程 波動方程的解是空間一個沿特定方向傳播的電磁波。 電磁波的傳播問題歸結為在給定邊界條件和初始條件下求解波動方程

12、。第29頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五令： ，故： 動態矢量位和標量位 靜態場中為問題簡化引入了標量位和矢量位。 時變場中也可引入相應的輔助位，使問題的分析簡單化。第30頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五洛倫茲規范條件令動態位滿足的方程第31頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五動態位滿足的方程達朗貝爾方程第32頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五一、一般媒質分界面上的邊界條件( )5-4 電磁場的邊界條件在不同媒質的分界面上，媒質的電磁參數、發生突變，因而分界面處的場矢量E、H、D、B也會突變，麥克斯韋方程

13、組的微分形式失去意義。此時，有限空間中場量之間的關系是由積分形式的麥克斯韋方程組制約的，邊界條件就由它導出。 1、 的邊界條件The boundary conditions for time-varying fields 第33頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 為表面傳導電流密度。式中： 為由媒質21的法向。 特殊地，若介質分界面上不存在傳導電流，則結論：當分界面上存在傳導面電流時， 切向不連續，其不連續量等于分界面上面電流密度。當且僅當分界面上不存在傳導面電流時， 切向連續。第34頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 2、 的邊界條件結論：只要磁感

14、應強度的時間變化率是有限的， 切向連續。 3、 的邊界條件結論：在邊界面上， 法向連續。第35頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 4、 的邊界條件 為分界面上自由電荷面密度。特殊地：若媒質為理想介質，則 ,此時有 當分界面上存在自由電荷時， 法向不連續，其不連續量等于分界面上面電荷密度。 當且僅當分界面上不存在自由電荷時， 法向連續。第36頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 5、J的邊界條件第37頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 在理想介質分界面上，不存在自由電荷和傳導電流。二、理想介質分界面上的邊界條件 在理想介質分界面上，

15、 矢量切向連續 在理想介質分界面上， 矢量法向連續Boundary conditions Between two Perfect dielectrics第38頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 在理想導體內部 ，在導體分界面上，一般存在自由電荷和傳導電流。 式中： 為導體外法向。三、理想導體分界面上的邊界條件 對于時變場中的理想導體，電場總是與理想導體相垂直，磁場總是與理想導體相切。Boundary conditions Between Perfect conductors and perfect dielectric第39頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分

16、，星期五 時變場的邊界條件包括四個關系式。可以證明它們并不是相互獨立的，當滿足兩個切向分量的邊界條件的，必定滿足兩個法向分量的邊界條件。說明： 在理想介質的分界面上，用于定解的邊界條件為 ，分析電磁波在理想介質分界面上的反射和透射時就要使用這個邊界條件。 理想介質和理想導體只是理論上存在。在實際應用中，某些媒質導電率極小或者極大，則可視作理想介質或理想導體進行處理。 在理想介質與理想導體的分界面上，用于定解的邊界條件為 或 。分析電磁波在理想導體表面上的反射時就要使用這個邊界條件。第40頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 例 5.4 設平板電容器二極板間的電場強度為3 V

17、/m, 板間媒質是云母, r=7 .4, 求二導體極板上的面電荷密度。 解 參看圖, 把極板看作理想導體, 在A , B板表面分別有 第41頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五例5.5 在z=0和z=d位置有兩個無限大理想導體板，在極板間存在時變電磁場，其電場強度為求：導體板上的電流分布。例題第42頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五由邊界條件在下極板上：解：第43頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五在上極板上：第44頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五一、坡印廷定理 坡印廷定理描述了空間中電磁能量守恒關系。5-5

18、 坡印廷定理和坡印廷矢量Poyntings theorem the Poyntings vectorThe energy and flow of energy in the time-varying fields 電磁能量符合自然界物質運動過程中能量守恒和轉化定律坡印廷定理； 坡印廷矢量是描述電磁場能量流動的物理量。第45頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五利用矢量函數求導公式，在線性、均勻、各向同性的媒質中，有第46頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五坡印廷定理微分形式說明： 單位時間單位體積內流出的電磁能量； 單位時間單位體積內電場能量減少量； 單位

19、時間單位體積內磁場能量減少量； 單位體積內轉化為焦耳熱能的電磁功率；第47頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五將坡印廷定理微分形式在一定體積內進行積分，得坡印廷定理積分形式說明： 表流出閉合面S的電磁功率； 單位時間內體積V內電場能量增加量；第48頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五坡印廷定理物理意義：單位時間內，體積V中減少的電磁能量等于流出體積V的電磁能量與體積V內損耗的電場能量之和。 單位時間內體積V內磁場能量增加量； 單位時間內體積V內損耗的電場能量 表示流出閉合面S的電磁功率，因此 為一與通過單位面積的功率相關的矢量。 定義：坡印廷矢量（用符號

20、 表示）注：坡印廷矢量也稱能流密度矢量。二、坡印廷矢量第49頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 坡印廷矢量的大小表示單位時間內通過垂直于能量傳輸方向的單位面積的電磁能量。坡印廷矢量的方向即為電磁能量傳播方向。討論:1、若 為與時間相關的函數(瞬時形式),則稱為坡印廷矢量的瞬時形式。 2、對某些時變場， 呈周期性變化。則將瞬時形式坡印廷矢量在一個周期內取平均，得平均坡印廷矢量（平均能流密度矢量），即注： 與時間t無關。第50頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五例：已知無源的自由空間中，時變電磁場的電場強度為求：(1)磁場強度；（2）瞬時坡印廷矢量；（3）

21、平均坡印廷矢量解：(1)第51頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五(2)(3)第52頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 在閉合面 S 包圍的區域 V 中，當t = 0時刻的電場強度 及磁場強度 的初始值給定時，又在 t0 的時間內，只要邊界 S 上的電場強度切向分量 或磁場強度的切向分量 給定后，那么在 t 0 的任一時刻，體積 V 中任一點的電磁場由麥克斯韋方程惟一地確定。利用麥克斯韋方程導出的能量定理，采用反證法即可證明這個定理。&V or 惟一性定理The uniqueness theorem第53頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分

22、，星期五5.5 時諧電磁場一、時諧量的復數表示電磁場隨時間作正弦變化時，電場強度的三個分量可用余弦函數表示第54頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五用復數的實部表示第55頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五式中稱為時諧電場的分量復數振幅式中稱為時諧電場的矢量復數振幅故第56頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五 時諧場對時間的導數二、復數形式的麥氏方程由麥氏第一方程設為時諧場第57頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五將對空間坐標的微分運算和取實部運算順序交換約定不寫出時間因子 ，去掉場量的下標和點，即得麥氏方程的復數

23、形式同理其他三個麥氏方程第58頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五三、復數形式的波動方程亥姆霍茲方程波動方程時變亥姆霍茲方程設為時諧場得同理亥姆霍茲方程式中 復數公式與瞬時值公式有明顯的區別，復數表示不再加點。第59頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五1.復數式只是數學表達式，不代表真實的場，沒有明確物理意義,2.實數形式代表真實場，具有明確物理意義；3.在某些應用條件下，如能量密度、能流密度等含有場量的平方關系的物理量采用復數形式可以使大多數正弦電磁場問題得以簡化；（稱為二次式 ），只能用場量的瞬時形式表示。 說明:第60頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五四.時諧場的位函數 復數形式 ： 洛侖茲條件： 達朗貝爾方程： 第61頁，共75頁，2022年，5月20日，6點32分，星期五五. 平均坡印廷矢量坡印廷矢量的瞬時值式中 為相應的復矢量虛部實部于是第62頁，共75頁，2022年，5月20