1、3.3.3 函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最大（小）值與導(dǎo)數(shù)內(nèi)容：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大（小）值應(yīng)用:1.求函數(shù)的最大值和最小值2.已知函數(shù)的最值求函數(shù)的解析式3.利用導(dǎo)數(shù)和不等式恒成立問題求參數(shù)的取值范圍. 本課主要學(xué)習(xí)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最大（小）值。以視頻世界上最長(zhǎng)的蕩秋千線最高、最低點(diǎn)引入新課。通過合作交流，使學(xué)生發(fā)現(xiàn)并掌握極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系，感受領(lǐng)會(huì)從數(shù)到形的探究過程。接著講述某函數(shù)在一個(gè)確定的閉區(qū)間上存在最值的條件。針對(duì)定理所解決的三類問題給出4個(gè)例題和變式，通過解決問題鞏固新知，強(qiáng)調(diào)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值問題的重要性。 在講述利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值時(shí)，采用例題與變式結(jié)合的方法，通過

2、例1、例2和變式鞏固掌握求已知函數(shù)在閉區(qū)間的最值的方法。例3及變式，既注重了與原問題的聯(lián)系，又在不知不覺中提高了難度，提高了學(xué)生的解題能力；而例4是與函數(shù)最值有關(guān)的恒成立問題，說明思路的由來過程，開闊了學(xué)生的思路通過觀看視頻，大家一起討論一下蕩秋千線最高、最低點(diǎn)問題.世界上最長(zhǎng)的蕩秋千線最高、最低點(diǎn)aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0問題1：函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如果在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有 ,則 為常數(shù).設(shè)函數(shù)y=f(x) 在 某個(gè)區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo)，f(x)為增函數(shù)f(x)為減函數(shù)問題2：函數(shù)的極大（小）值的概念設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)X0附近的所有點(diǎn)，都有

3、f(x)f(x0), 則f(x0) 是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值= f(x0)；函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱 為極值. 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0稱為極值點(diǎn)（1）確定函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f(x)（3）求方程f(x)=0的根,找到臨界點(diǎn)（4）解不等式并列成表格（5）求出極值問題3:求函數(shù)的極值的方法與步驟左正右負(fù)極大值，左負(fù)右正極小值xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6問題4: 觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的極值嗎？觀察圖象，我們發(fā)現(xiàn)， 是函數(shù)y=f(x)的極小值， 是函數(shù)y=f(x)的 極大值.在社會(huì)生活實(shí)踐中，為了發(fā)揮最大的經(jīng)濟(jì)效益，常常遇到如何能使用料最省、產(chǎn)量最高

4、，效益最大等問題，這些問題的解決常常可轉(zhuǎn)化為求一個(gè)函數(shù)的最大值和最小值問題.函數(shù)在什么條件下一定有最大、最小值？他們與函數(shù)極值關(guān)系如何？極值是一個(gè)局部概念，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小,并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最小.問題1：這個(gè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上有極值嗎？問題2：指出它的極值點(diǎn)有哪些，并分別說明是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)問題3：f(x)在a,b上存在最值嗎？你覺得它的最小值和最大值分別在哪里取得？問題4：你是如何得出最大（小）值的？觀察下面一個(gè)定義在區(qū)間a,b上的函數(shù)f(x)的圖象xX2oaX3bx1yy=f(x)觀察右邊一個(gè)定義在區(qū)間a,b上的

5、函數(shù)y=f(x)的圖象：發(fā)現(xiàn)圖中_是極小值，_是極大值，在區(qū)間上的函數(shù)的最大值是_，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3)xX2oaX3bx1yy=f(x)如果在沒有給出函數(shù)圖象的情況下，怎樣才能判斷出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ 例如:已知函數(shù) ，求f(x)在區(qū)間0,3上的最大值和最小值例如:已知函數(shù) ，求f(x)在區(qū)間0,3上的最大值和最小值問題1：你能否自己畫出這個(gè)函數(shù)的圖象，再通過畫出的圖象確定函數(shù)的最值呢？問題2：你的作圖是否準(zhǔn)確無誤呢？如果作圖出現(xiàn)較大的誤差，會(huì)不會(huì)影響到你的判斷？問題3：假設(shè)你的作圖準(zhǔn)確度很高，你覺得每次都這么去作圖是否很方便

6、？問題4：有沒有更好的辦法，使我們不用作圖就能準(zhǔn)確的求出任意一個(gè)函數(shù)的最值呢？問題1：你是如何理解“連續(xù)不斷的曲線”的？問題2：給定函數(shù)的區(qū)間a,b能否改為(a,b)？通過以上的思考，你能否給出某函數(shù)在一個(gè)確定的閉區(qū)間上存在最值的條件呢？觀察下列圖形,你能找出函數(shù)的最值嗎？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6在開區(qū)間內(nèi)的連續(xù)函數(shù)不一定有最大值與最小值在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必有最大值與最小值因此：該函數(shù)沒有最值。問題3：你能說出函數(shù)的極值與最值有什么區(qū)別與聯(lián)系嗎？(1)“最值”是整體概念，而“極值”是個(gè)局部概念(2)從個(gè)數(shù)上看，一個(gè)函數(shù)在

7、給定定義域上的最值是唯一的；而極值不唯一，也可能沒有(3)若有唯一的極值，則此極值必是函數(shù)的最值(4)極值只能在定義域內(nèi)部取得，而最值可以在區(qū)間的端點(diǎn)處取得，有極值的未必有最值，有最值的未必有極值；極值有可能成為最值，最值只要不在端點(diǎn)必定是極值一般的如果在區(qū)間a,b上函數(shù)y=f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值。由上面函數(shù)f(x)的圖象可以看出,只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了. 例1.已知函數(shù) ,求f(x)在區(qū)間0,3上的最大值和最小值 x(0.2)2(2,3) y-0+y遞減遞增 (2) 將y=f(x)的各極值與f(a)

8、、f(b)(端點(diǎn)處) 比較,其中最大的一個(gè)為最大值，最小的 一個(gè)最小值. 求f(x)在閉區(qū)間a,b上的最值的步驟：(1) 求f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)極值(極大值或極小值)；注意:1.在定義域內(nèi), 最值唯一;極值不唯一2.最大值一定比最小值大.1.求出所有導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)；2.計(jì)算；3.比較確定最值。 求函數(shù)的最大值和最小值求函數(shù)y=x4-2x2+5在區(qū)間-2,2上的最大值與最小值.解:令 ,解得x=-1,0,1.當(dāng)x變化時(shí), 的變化情況如下表:x-2(-2,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,2)2y -0 +0 -0 +y13 4 5 4 13從上表可知,最大值是13,最小值是4.求函數(shù)

9、的最值時(shí),應(yīng)注意以下幾點(diǎn):(1)函數(shù)的極值是在局部范圍內(nèi)討論問題,是一個(gè)局部概念,而函數(shù)的最值是對(duì)整個(gè)定義域而言,是在整體范圍內(nèi)討論問題,是一個(gè)整體性的概念.(2)閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)一定有最值.開區(qū)間(a,b)內(nèi)的可導(dǎo)函數(shù)不一定有最值,但若有唯一的極值,則此極值必是函數(shù)的最值.(3)函數(shù)在其定義域上的最大值與最小值至多各有一個(gè), 而函數(shù)的極值則可能不止一個(gè),也可能沒有極值,并且極大值(極小值)不一定就是最大值(最小值).例3.已知函數(shù)f(x)=2x3-6x2+a在-2,2上有最小值-37, (1)求a的值；（2）求f(x)在-2,2上的最大值已知函數(shù)f(x)=ax3-6ax2+b，問是否

10、存在實(shí)數(shù)a、b，使f(x)在-1,2上取得最大值3，最小值-29？若存在，求出a、b的值；若不存在，請(qǐng)說明理由 例4設(shè)函數(shù)f(x)=tx2+2t2x+t-1(t0)（1）求f(x)的最小值h(t)；（2）若h(t)-2t+m對(duì)(0t2)恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍 單調(diào)遞減10 單調(diào)遞增極大值有關(guān)恒成立問題，一般是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題求解時(shí)首先要確定函數(shù)，看哪一個(gè)變量的范圍已知，以已知范圍的變量為自變量確定函數(shù)教師提問：本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識(shí)，涉及到哪些數(shù)學(xué)思想方法？學(xué)生作答：1知識(shí)：（1）極值與最值的區(qū)別與聯(lián)系：（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟：2思想：歸納概括思想、數(shù)形結(jié)合思想教師總結(jié)：

11、在學(xué)習(xí)新知時(shí)也用到了前面所學(xué)過的知識(shí)，提醒學(xué)生: 在學(xué)習(xí)新知時(shí)，也要經(jīng)常復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容,“溫故而知新”在應(yīng)用中增強(qiáng)對(duì)知識(shí)的理解，及時(shí)查缺補(bǔ)漏，從而更好地運(yùn)用知識(shí)，解題要有目的性，加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法的認(rèn)識(shí)與自覺運(yùn)用DAA必做題:4.函數(shù)y=x3-3x2，在2，4上的最大值為（ )(A)-4 (B)0 (C)16 (D)20C1.函數(shù) y = x + 3 x9x在 4 , 4 上的最大值為 ,最小值為 .分析: (1) 由 f (x)=3x +6x9=0,(2) 區(qū)間4 , 4 端點(diǎn)處的函數(shù)值為 f (4) =20 , f (4) =76得x1=3，x2=1 函數(shù)值為f (3)=27, f (1)=576-5當(dāng)x變化時(shí)，y 、 y的變化情況如下表：x-4(-4,-3)-3(-3,1)1(1,4)4 y+0-0+0y2027-576比較以上各函數(shù)值，可知函數(shù)在4 , 4 上的最大值為 f (4) =76，最小值為 f (1)=5選做題:反思：本題屬于逆向探究題型 其基本方法最終落腳到比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小上