1、均勻實驗設計第1頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二61 基本原理一、引言正交試驗設計利用：均衡分散：試驗點在試驗范圍內排列規律整齊整齊可比：試驗點在試驗范圍內散布均勻 可以進行部分試驗而得到基本上反映全面情況的試驗結果，但是，當試驗中因素數或水平數比較大時，正交試驗的次數也會很大。如5因素5水平，用正交表需要安排5525次試驗。這時，可以選用均勻設計法，僅用5次試驗就可能得到能滿足需要的結果第2頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二1978年，七機部由于導彈設計的要求，提出了一個五因素的試驗，希望每個因素的水平數要多于10，而試驗總數又不超過50，顯

2、然優選法和正交設計都不能用，方開泰與王元經過幾個月的共同研究，提出了一個新的試驗設計，即所謂“均勻設計”，將這一方法用于導彈設計，取得了成效均勻設計法愈正交設計法的不同：均勻設計法不再考慮“數據整齊可比”性，只考慮試驗點在試驗范圍內充分“均衡分散”第3頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二均勻設計屬于近年發展起來的“偽蒙特卡羅方法”的范籌。將經典的確定的單變量問題的計算方法推廣后用于多變量問題的計算時，計算量往往跟變量個數有關，即使電腦再進步很多，這種方法仍無法實際應用，烏拉母（S.Ulam）與馮諾依曼(J.von Neumann)在40年代提出蒙特卡羅方法，即統計模擬方法

3、，這個方法的大意是將一個分析問題化為一個有同樣解答的概率問題，然后用統計模擬的方法來處理后面這個問題，這樣使一些困難的分析問題反而得到了解決，例如多重定積分的近似計算。蒙特卡羅方法的關鍵是找一組隨機數作為統計模擬之用，所以這一方法的精度在于隨機數的均勻性與獨立性。第4頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二二、均勻設計表均勻設計表符號表示的意義U7(76)均勻表的代號試驗次數因素的水平數因素數第5頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二如U6(64)表示要做次6試驗，每個因素有6個水平，該表有4列。 12341123622465336244415355312

4、66541U6(64)列號試驗號第6頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二每個均勻設計表都附有一個使用表，它指示我們如何從設計表中選用適當的列，以及由這些列所組成的試驗方案的均勻度。下表是U6(64)的使用表。它告訴我們，若有兩個因素，應選用1，3兩列來安排試驗；若有三個因素，應選用1，2，3三列，最后1列D表示刻劃均勻度的偏差(discrepancy)，偏差值越小，表示均勻度越好。s列號D2130.187531230.2656412340.2990U6(64)的使用表第7頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二均勻設計有其獨特的布（試驗）點方式：每個因素

5、的每個水平做一次且僅做一次試驗任兩個因素的試驗點點在平面的格子點上，每行每列有且僅有一個試驗點 以上兩個性質反映了均勻設計試驗安排的“均衡性”，即對各因素，每個因素的每個水平一視同仁。均勻設計表任兩列組成的試驗方案一般并不等價第8頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二例如用U6(64)的1，3 和1，4列分別畫圖，得到下面的圖 (a)和圖 (b)。我們看到，(a)的點散布比較均勻，而(b)的點散布并不均勻。均勻設計表的這一性質和正交表有很大的不同，因此，每個均勻設計表必須有一個附加的使用表。第9頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二三、試驗結果分析均勻設

6、計的結果沒有整齊可比性，分析結果不能采用一般的方差分析方法，通常要用回歸分析或逐步回歸分析的方法：第10頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二第11頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二第12頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二第13頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二第14頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二62 應用舉例利用均勻設計表來安排試驗的步驟：（1）根據試驗的目的，選擇合適的因素和相應的水平。（2）選擇適合該試驗的均勻設計表，然后根據該表的使用表從中選出列號，將因素分別安排到這

7、些列號上，并將這些因素的水平按所在列的指示分別對號，則試驗就安排好了第15頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二在阿魏酸的合成工藝考察中，為了提高產量，選取了原料配比(A)、吡啶量(B)和反應時間(C)三個因素，它們各取了7個水平如下：原料配比（A）：1.0，1.4，1.8，2.2，2.6，3.0，3.4吡啶量（B）(ml)：10，13，16，19，22，25，28反應時間（C）(h)：0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，3.0，3.57個水平，需要安排7次試驗，根據因素和水平，我們可以選用U7(76)完成該試驗。第16頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分

8、，星期二1234561123656224653533624144415363553124266541217777777U7(76)列號試驗號第17頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二因素數列號2133123412365123466123456U7(76)使用表U7(76)共有6列，現在有3個因素，根據其使用表，應該取1，2，3列安排試驗。第18頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二No.配比（A）吡啶量（B）時間（C）收率（Y）11.0(1)13(2)1.5(3)0.33021.4(2)19(4)3.0(6)0.33631.8(3)25(6)1.0(2

9、)0.29442.2(4)10(1)2.5(5)0.47652.6(5)16(3)0.5(1)0.20963.0(6)22(5)2.0(4)0.45173.4(7)28(7)3.5(7)0.482制備阿魏酸的試驗方案U7(73)和結果第19頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二根據試驗方案進行試驗，其收率(Y)列于表的最后一列，其中以第7號試驗為最好，其工藝條件為配比3.4，吡啶量28ml，反應時間3.5h。我們可用線性回歸模型來擬合上表的試驗數據第20頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二第21頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二

10、方差來源自由度平方和均方F回歸誤差總和3360.0487700.0148380.0636080.0162570.0049463.29方差分析表第22頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二第23頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二現在用逐步回歸分析的方法來篩選變量：逐步回歸是回歸分析中的一種篩選變量的技術.開始它將貢獻最大的一個變量選入回歸方程，并且預先確定兩個閾值Fin和Fout，用于決定變量能否入選或剔除.逐步回歸在每一步有三種可能的功能：將一個新變量引進回歸模型，這時相應的F統計量必須大于Fin將一個變量從回歸模型中剔除，這時相應的F統計量必須小于

11、Fout 將回歸模型內的一個變量和回歸模型外的一個變量交換位置。第24頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二設先用后退法來選變量.所謂后退法，就是開始將所有的變量全部采用，然后逐步剔除對方程沒有顯著貢獻的變量，直到方程中所有的變量都有顯著貢獻為止。仍考慮線性模型，開始三個因素全部進入方程，得(2.12).統計軟件包通常還會提供每個變量的t值，t值越大（按絕對值計）表示該因素越重要.對本例有第25頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二 t0=0.204,t1=0.96,t2=-0.67,t3=2.77這表明三個因素中以X3（反應時間）對得率（Y）影響最大，

12、配比次之，吡啶量最小。這些t 值都是隨機變量，它們遵從tn-m-1分布。若取=0.05 ，這時n=7,m=3, tn-m-1= 的臨界值t3(0.05)=3.18。t值大于該值的因素表示對方程有顯著貢獻，否則表示不顯著。今 均小于(0.05)=3.18 ，說明回歸方程(2.18)的三個變量至少有一個不起顯著作用.于是我們將貢獻最小的X2刪去，重新建立Y和X1及X3的線性回歸方程，得第26頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二第27頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二第28頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二第29頁，共39頁，20

13、22年，5月20日，11點38分，星期二例.均勻設計法在全光亮鍍鎳研究中的應用1. 均勻設計表的選取 本實驗的目的是提高鍍層光亮性。經初步研究，取其固定組成為硫酸鎳25g/L，次磷酸鈉25g/L，醋酸鈉25g/L。考察因素為穩定劑，主光亮劑，輔助光亮劑，潤濕劑4個因素，每個因素取值范圍為t個水平（t 為實驗次數），4個因素的一次項及二次項各有4項，4項因素間的兩兩交互作用設有6項，共14項，實驗數不能小于14，本實驗選用U17（178）表。第30頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二均勻表U17（178）第31頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二U17

14、（178）表的使用表本實驗為4因素，這4個因素安排在均勻表的1，5，7，8列，去掉U17（178）的最后一行，將實驗方案及結果見下表。第32頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二第33頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二2.指標的選擇和優化 指標是回歸方程中的響應函數，在本實驗中即是鍍件質量。根據我們對鍍件的要求，定義一個綜合指標z，z的分值由外觀評分R，沉積速度評分V，耐腐蝕性評分Q乘以不同的權重構成，z=0.5R+0.2V+0.3Q。R，V，Q的分值分別為0100。第34頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二3.實驗方法 試樣為

15、10cm5cm0.2cm的低碳鋼板，在8890 的恒溫水浴槽內施鍍，鍍液pH值控制在。鍍前處理按常規進行，按均勻設計表中確定的組成分別配成16種化學鍍液，掛鍍法施鍍1h，清洗，晾干，對試樣進行外觀的評定。 沉積速度測定：沉積速度，樣片增加的重量/樣片的面積(g/cm2 ) 耐腐蝕性測定：10硫酸浸泡24h，根據失重及腐蝕后外觀評分第35頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二4.結果處理及分析 實驗結果用計算機處理，主要運用軟件為SPSS和Matlab。 4.1建立數學模型及篩選變量 考慮到可能有的數學關系，將各因素的一次項，二次項，兩因子間的交互作用項均作為考察對象，回歸方

16、程模型為： R=b0+bixi+bijxixj+biixi2 (i=1,2,3,4;ij) b為各項系數。將給因素的值及綜合指標輸入計算機，用自后淘汰變量法(backward selection)進行回歸分析和變量篩選，sigF0.10的變量被淘汰，最后得到指標與相關組成的回歸方程。第36頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二Z=86.726+6.555d4.554p21.384c20.0164123.177pc0.1932p0.1209c0.3779dc為主光亮劑；d為輔助光亮劑；為潤濕劑；p為穩定劑。4.2對回歸方程的優化處理用求條件極值的強約束優化法對回歸方程進行優化

17、，用Matlab語言編程 ，用BFGS擬牛頓(Quasi-Newton)算法及最小二乘法尋優，本實驗找到的最優解為：主光亮劑HC3.7mg/L，輔助光亮劑HD1.1ml/g，穩定劑0.2mg/L，潤濕劑19.7mg/L，乳酸6mol/L。第37頁，共39頁，2022年，5月20日，11點38分，星期二 4.3優化結果的驗證 按最優解所得到的組成配成鍍液進行施鍍，所得試樣外觀達到鏡面全光亮，鍍件經各種腐蝕介質分別浸泡24h后外觀仍然光亮，鍍層無明顯變化。鍍片綜合指數評定值為96.2，優于實驗中最好的5號試樣。鍍速可達115m /h，鍍液使用周期可達8周期以上。4.4各因素對鍍層質量影響的分析回歸方程中各項系數的大小反映了該因素對指標影響的大小，但由于給系數的單位不同不能進行比較，因此需對給變量的系數進行標準化，