1、 高數專復：數實應一單題將一個邊長為 （單位： m ）正方形鐵片的四角截去四個邊長相等的小正方形，做成 一個無蓋方盒，則方盒的容積最大為（ ）A 1m3B 3C12m 3D 3將一個邊長為 a 的方形鐵片的四角截去四個邊長均為 的正形，做成一個無蓋方盒設方盒的容積為V (x)，則下列結論錯誤的是（ ）AV ( ) ( x) a x ) B x ax aC (x) 在區間 (0, 上調增 D (x) 在 6時取得最大值關于函數f ) sin ，下列結論正確的是（ ）A當 a ， ( )無正的零點B當 ， ( )在( 上必有零點C 時存在x ，使得 fx aD a 時存在 ，使得 f 現要做一個無

2、蓋的圓柱形水桶，若要使其容積為 用最省，則水桶底面圓的半徑 為（ ）A32B 3C 2 D 6二填題圓柱形金屬飲料罐容積一定時，它的高與底面半徑比值時才能使所用的材 料最省？統計表明：某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量 y(升)關于行駛速度 x(千米時的函數解析式可以表示為 3 80，x，120，且甲、乙兩地相距 千米，則當汽車以_米時的速度勻速行駛時，從甲地乙地的耗油量最少已知四棱錐 P ABCD 的面是正方形，側棱長均為 ，則該四棱錐的體積的最大值為 做一個無蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是 4且用料最省，則該圓柱形水桶的高為 答案第 頁，總 頁1 1 如果關于 的程 x sin 有唯

3、一的正實數根，則實a 的取值范圍是10在直三棱柱 A B C 中， 是腰直角三角形，且 BC 該三棱柱的外接球半徑是 ，三棱錐 體積的最大值為拋物線與 軸圍圖形的內接矩形的最大面積12正三棱柱體積為 ，當其表面積最小時，底面邊長 _.13在正四棱錐 ABCD 內一半球，其底面正四棱錐的底面重合，且與正四棱錐的四個側面相切，若半球的半徑為 2 則當正四棱錐的體積最小時，其高等 三解題14某高科技產品供不應求，其生產成本 （萬元）與產量x（臺）的函數關系式為 ，價格 函數關系式為 5（萬元/臺銷售該高科技產品 臺得的利潤（利潤銷售收入-生產成本）為 fx萬元（1求函數 的解析式，并寫出其定義域；（

4、2問產量 x 為何值時，利潤f 最大？最大利潤是多少？15有四個小鎮恰好位于邊長為 千的菱形 的個頂點處政府擬建公路連通四個小鎮，若每千米公路的建設成本是 萬，預算為 280 萬，原計劃按照菱形 對 角線修路（1若預算剛好花完，求菱形 ABCD 面積；（2若 為正方形，施工隊發現按照原計劃修路會預算不足，于是采取如新方案：答案第 頁，總 頁 按如圖實線所示修路，其中AM BM DN BAM 4 ，問：新方案能否在預算內完成修路目標？求出新方案的最低花費16圖一邊長為 200 米正方形地塊 中邊三角形 DEF 一個小池塘，點 E F 分在邊界CD, 上，且距離 D 點為 100 米池塘曲邊 EF

5、 一段拋物線，該拋物線的頂點為 F ，對稱軸為邊界 AD 所直線現準備在邊 AF 和 CE 間別選擇點 N ，修建一條觀光直線小徑 ，小徑 MN 恰只經過池塘邊 上個點 P （不含端點綠化部門擬在五邊形 MABCN 區域內栽種花.記點 P 到界 AD 的離為t米，花草區域MABCN 面為 （1求函數 的表達式，并寫出函數 的定義域；（2求花草區域 MABCN 面的最大值.17某公司購買了一塊長 AM 米寬 米矩形地塊 ，劃建設占地如 圖中矩形 的倉庫，其余地方為道路和停車場，要求頂點 C 在地塊對角線 上 、 分在邊 、 AN 上假設 AB 度為 米若規劃建設的倉庫是高度與 AB 的相同的長方

6、體建筑，問 長多少時倉庫的庫容最大？（墻體及樓板所占空間忽略不計）答案第 頁，總 頁18將一個邊長為 盒的正方形鐵片的四角截去四個邊長均為 x 的小正方形，做成一個無蓋方（1試把方盒的容積 表示為 x 的數 （2 x 多時，方盒的容積V 最？19公司準備設計一個精美的心形盒子由半圓圓 2和正方形 組成的，且 AB 計人員想在心形盒子表面設計一個矩形的標簽 ，標簽的其中兩頂點 EF 在 AM 上另外兩個頂點 GH 在 上MN 分別是 AB ，的中點）設 EF的中點為 P，FO ，矩形 EFGH 的面積為 Scm （1寫出 S 關于的函數關系式 S 及定義域；（2當 何值時，矩形 EFGH 的積最

7、大？20如圖，在半徑為 的圓形（ 為圓心）鋁皮上截取一塊矩形材料 ABCD ，中點A、 B在直徑上，點 、 在周上答案第 頁，總 頁（1怎樣截取才能使截得的矩形 ABCD 面積最大？并求最大面積（2若將所截得的矩形鋁皮 卷成一個以 為線的圓形罐子的側面（不計剪裁和拼接損耗怎樣截取，才能使做出的圓柱形罐子體積最大？并求最大體積答案第 頁，總 頁參答【分析】設無蓋方盒的底面邊長為a，小正方形的邊長為x，則 ，無蓋方盒的容積為： ( x (6 )，求出函數的導數，根據函數的單調性求出截去的小正方形的邊長x為多少時，無蓋方盒的容積最. 【詳解】設無蓋方盒的底面邊長為a，小正方形的邊長為x，則 ，則無蓋

8、方盒的容積為：V ( x) x (6 x ， V( x ) x ，令 ，得 x 或 x ，令 解得 ，函數V (x)的定義域為 (0,3)， 函 的單調增區間是： ，數 的單調減區間是：令 x ， =1 （得V ，由V (x)的單調性知，16 為V (x)的最大值，故截去的小正方形的邊長為 時，無蓋方盒的容積最大，故選：D.【點睛】易錯點睛本考查函數模型的擇與應用題時要認真審題注挖掘題設中的隱含條 件，合理地運用導數解題易錯點是理不清數量間的相互關系，不能正確地列方.【分析】求出容積 V (x) 利用導數確定其單調性【詳解】由題意V ( ) a ， ， x a 的，所以 x ，V a ) x

9、) ax ，答案第 頁，總 頁, 6 3 , 6 3 由 (2 x )得 x 時V a a ， 時 即 (x) 6 上遞增，在 上遞減，V 在 x 時取得極大值 2V a也是最大值錯誤的只有 ，故選：【分析】對 AB 選舉出符條件的例子計算并判斷；對 D 選借助導數探討在指定區間上的 函數值情況判斷并作.【詳解】對于 A 項： a ，取 32 3 , ， f ( ) ) ，即 f ( )2 2有正零點，A 不確；對于 選 時 1 時 a sin 時 f ( )恒為正，沒有零點，B 不確；對于 選： ， ，f cos ， 時f ，而 ，函數 x cos x 在 ,0)上都遞增，由y cos 與

10、的圖象特征知 x cos 在 上有唯一交點， 則存在 t ( ,0)2f 時f t f f )在( 上遞增，在 t , 0) 上減，而 et 0 ，f ( x)max f (t ) t cos t t 2a t ) 24，C 正確；對于 D 選 x 2,0)，f ( ) x, f f ) 2，f ，而 1 1 1 f e 2 4 2，又函數 x cos 在 ( 上都答案第 頁，總 頁 ,02 x 1 1 1 1 ,02 x 1 1 1 1 遞增，它們在 上有唯一交點 ，由選項 的析知，存在 2， f x )在 ( 2, x )上遞增，在( x ,0)上遞減，f ( x)max f ( x )

11、1sin x cos x x x ) (1, 24，f ( ) , f (0) ，以存在 ( ,0) 有1 f ( x ) f ( x 2 D 正. 1故選：D【分析】設水桶底面半徑為 r ，為 h 用料面積為 ，根據題意得到 r ，從而得到 54r，再利用導數單調性和最值求解即【詳解】設水桶底面半徑為 r，高為 h，用料面積為 ，由題知： 27所 h r ，所以 rh 27r r54r，f 54 r r r r ，因為 f r 在為增函數，且f，所以r ， f 為減函數，r ，f ， f為增函數.所以當 r 時， 故選：【分析】取得最小值.設r （ x 是柱的高， r 是面半徑積為 ，把 r

12、 , 用 表，然后求得圓柱的全面積，引入函數，利用導數求得最小值，得結論答案第 頁，總 頁【詳解】設r（ x 是圓柱的高， r是底面半徑 r （V 是體積為定值，即 ， r x (1 ) )3V2 2 (1 ) x x23，令 f ( x) ) ( x ，則 f x x( x ， x 時f ， f ( )遞減， x 時f ， f ( x)遞增，所以 時， f ( x 取得極小值也是最小值 f (2) 274， S V 故答案為：2【分析】依題意列方程得出耗油量與速度的函數，利用導數討論函數的單調性即可得出結 【詳解】設速度為 x 千/時，汽車從甲地到乙地行駛了100 x小時，設耗油量為 升則

13、3 y x 100 x 2 (0，120 有 x 80 640 640 x 令 y，得 x，當 x，80)時，y，函數遞減；當 (80，時，函數遞，所以當 x ，y 取得最小值故答案為： 4 【分析】如圖，設底邊邊長為 2 ，連接 , BD ，們的交點為 ，連接 ，證 OP 為棱錐的高，利用解直角三角形可求 O 的，而可求體積的表達式，利用導數可求其最大. 【詳解】如圖，設底邊邊長為 2 ，連接AC , BD，它們的交點為 ，連接 ，因為 PC 3, AO ，故 PO 同理 PO ，答案第 頁，總 頁 而 AC BD 故 OP 平面 .又 2a，PO ，故體積為13 a2 2 439 a6，其

14、中 3 2令f 6， 0 a 3 22，則3a512a3 若 0 a ，f ；若 3 a ，f，故f 在3 在 減數， 故f f 27，故體積的最大值為 故答案為： 4 【分析】設圓柱的底面半徑為 r ，求得高 h r ，進而得到則圓柱的表面積為 64r ，通過求導，即可求.【詳解】設圓柱的底面半徑為 r ，則高為 64 r ，則圓柱的表面積為 64 128 )r r答案第 10 ，總 20 頁 S 128 2r r r 4)，r ，面積單調遞減，r (4, ，面積單調遞增，所以 r ， S 取得極小值也是最小值，時 ，所以要使得其體積為 6且料最省，此時圓柱的高為 故答案為： . 【分析】原

15、方程可化為 a 2x 8x，令 8 x a ， g x x，則方程有唯一正實數根轉化為函數上有唯一的交點.然后借助函數的單調性以及正弦函數的有界性題轉化為兩個函數圖象在交點處的切線斜率之間的大小關 系，進而解決問題【詳解】原方程可化為 a 2x 8x 8a 0 ， a ， g x x，則由題意知函數，gx上有唯一的交點當 時 g x 0，所以g 上單調遞減 的最小正周期為 4，大值為 ，作出上的大致圖象如圖所示，數形結合可知，要使函數，gx上有唯一的交點，應滿足，因為x cos 2 ，所以，又g，所以 得 212故答案為：12答案第 11 ，總 eq oac(,S) f ( x ( x) eq

16、 oac(,S) f ( x ( x) f 1032 327【分析】根據直三棱柱的性質，結合三棱錐的體積公式、導數的性質進行求解即. 【詳解】如圖，由題意可知三棱柱 A B 的外接球的直徑為 AC ， ，即 ABBC C ，從而 三棱錐P ABC 4 的體積為 AB CC 12 3設 f ( 4 x 4) 31 4 f f x 4 3 0 x ；由 f ，4 4 x 3 3 27故答案為：32 27【點睛】關鍵點睛：運用直三棱柱的性質，結合三棱錐的體積公式，利用導數求最值是解題的關【詳解】設矩形在第一象限的頂點坐標為 ，則 ， ，令 ，得 ，當時，考點：面積最大問題. 124答案第 12 ，總

17、 20 頁16 3 16 3 【詳解】正三棱柱的底面積為 ，則高為 ，表面積 a （a0a ， ，得 4.則當時，表面積最小考點：表面積最小問.13 3【分析】設錐體的高V 表示出底邊邊長，寫出體積的表達式，根據導函數討論單調性，即可 得解【詳解】正四棱錐 點 V 在面射影為 O ，設錐體的高V ，底面正方形邊長 ， 作平行于 的線交 F 連接 V ，作 OM ，足為 M ， OM，VF 22，在 中 a 4 x ，1 16 x 所以正四棱錐 ABCD 的積V x 3 3 , ， 3 16 x ，令 V x =0 ，x 0,2 , V 單調遞減， 2 , V ， 單調遞增，答案第 13 ，總

18、20 頁x x 所以當 3 時四棱錐體積最小.14） f 240 x ，定義域為0,11 ） 時，利 f 最大為 萬【分析】（1根據利潤銷收入-生產成本即可寫出函數解析式，據價格建立不等關系求出定義 域；（2利用導函數討論單調性即可求得最.【詳解】（1由題可得： f x 242 50 x ， x 由 得 0 ，所以定義域為 x 0,11 ；（2 ， ，當x 單調遞增，當 10 單調遞減，所以 f 最大值 f 240 3150萬元所以當 20 ，利潤f 最大為 3150 元15）96【分析】 2）能， 萬（1設 AC 與 交 O 設 OA 1 x , BD 2，則由題意可得x ，xy100 求出

19、 ，而可求出菱形的面積；（2設 , CD 中點分別為 , F ，連接 ME ，則 ， EM 5tan ，而可得 MN 10tan總長為 l l tancos f ( 10 20cos ，利用導數可求出其最小值，從而可求出新方案的最低花費 【詳解】解） 與 BD 交 ，設 OA OB 2，當預算用完，則 ，答案第 14 ，總 20 頁 所以 ，因為 ，所以 AB100 ， 解得 或 ，所以ABCD S1 xy 2（ km ）（2設 , 的中點分別為 , ，接 ME ，則AM cos cos， EM AE tan，所以 MN EM EM NF 10tan，設總長為 l ，則 l MN AM cos

20、 ，令 ( tan20cos ，則 ( 20sin cos ，因為 ，所以由 f ，當 時， f ， 6 4時， f ( ，所以當時， f ()取得最小值，即f ，所以能在預算內完成修路目標，新方案的最低花費 3 萬16） S t ) 25000050t （ 400 t t t (57,58) t 是 t ) 的解【分析】答案第 15 ，總 20 頁(0,100)(0,100)（1通過建立坐標，求出拋物線方程，再求出過 的切線方程，進一步就得到點M , N的坐標，再通過間接法求出 ( )；（2通過求導得到函數的單調區間，從而就可以求出最大. 【詳解】（1如下圖所示的直角坐標系意拋線方程為 y

21、1100 100(0 x ，設 P (t 1100100)，而 1501 ，所以直線 為 t 100) ( x )100 50（ 0 即 t 1 t 100，所以可得 M 5000 tt ,200) ，所以S (t ) 方 ABCD 1 5000 t 200 t 250000t 100 400 t（2因為 S ( ) 25000050t （ 400 所以 S 3t 250000 50,(0 400 t 觀察可知S 在 上調遞減，令S ， t 使 S ) 成立，故t (0, t )時 ) ，t t 時， ) ，答案第 16 ，總 20 頁 所以 (t ) 在 t )上單調遞增，在(t 上單調遞減

22、，所以S (t t 250000 (t ) t 40000, t t且t是使 ) 的解17 的度為 米時倉庫的庫容最大 【分析】由三角形相似可得DC NDAM ，從而可得 ND ， AD 2 x3，則可得倉庫的庫容 2 x V ( ) 20 【詳解】，化簡后利用導數求其最值解：因為DC NDAM ，且 所以 ND AB 2 AM 3，得 AD AN ND 20 x倉庫的庫容 V ( x ) 3 2 x 20 3(0 x ，令V 40 ( ，得 20 或 （舍去當x 時， ；當 x (20,30) 時 所以當 20 ， V 有大值也最大值即 的度為 20 米倉庫的庫容最大18） x2 2a） 時

23、方盒的容積最大 6【分析】（1由題知無蓋方盒邊長為 a ，高為 ， ， a 0, 2 ；（2利用導數求解函數最值即可得答. 【詳解】解）題：無蓋方盒邊長為 a ，高為x答案第 17 ，總 20 頁 0, 2 0, 2V a 0, 2 整理得：V ， 0, （2由（）得V x， x 令 得 x （舍）或 6列表可得： a a6 V所以 x 時， 有極大值，也是最大 x 時，方盒的容積最大.19） ( 2) ， 0,4 ） .【分析】（1在 FP中，求出 FP ，可得到 EF ， O P ，即 ，矩形面積為長乘以寬，即可得到 S 關的函數關系式 S ，及定義域；（2利用 (【詳解】導函數來判斷 單調性，即可得到當 時矩形 EFGH 的