1、功平衡法和上限法及其應用第1頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一9.1 功平衡法功平衡法是利用塑性變形過程中的功平衡原 理來計算變形力的一種近似方法，又稱變形功 法。功平衡原理是指：塑性變形過程外力沿其位 移方向上所作的外部功（WP）等于物體塑性變形 所消耗的應變功（Wd）和接觸摩擦功（Wf）之 和，即 WP = Wd + Wf 對于變形過程的某一瞬時，上式可寫成功增量形 式 dWP = dWd + dWf 蘇州貸款 第2頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一 極值原理包括上限定理和下限定理，它們都是根據(jù)虛功原理和最大塑性功耗原理得出的，但各自分析問題

2、的出發(fā)點不同。 上限定理是按運動學許可速度場（主要滿足速度邊界條件和體積不變條件）來確定變形載荷的近似解，這一變形載荷它總是大于（理想情況下才等于）真實載荷，即高估的近似值，故稱上限解； 下限定理僅按靜力學許可應力場（主要滿足力的邊界條件和靜力平衡條件）來確定變形載荷的近似解，它總是小于（理想情況下才等于）真實載荷，即高低的近似解，故稱下限解。9.2 極值原理及上限法第3頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一 穩(wěn)定平穩(wěn)狀態(tài)的變形體中，當給予變形體一幾何約束所許可的微小位移（因為該位移只是幾何約束所許可，實際上并未發(fā)生，故稱虛位移）時，則外力在此虛位移上所作的功（稱虛功），必

3、然等于變形體內(nèi)的應力在虛應變上所作的虛應變功，其表達式為： 實際應用常用功率形式表達 虛功原理第4頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一虛功原理式中，左邊為外力所作虛功或虛功率，右邊第一項為虛應變功耗或虛應變功率消耗，第二項為接觸摩擦與剛性界面上剪切功耗或功率消耗等。（ 為所在界面上的相對滑動速度）。 第三項為裂紋形成等的功耗或功率消耗。虛功原理對于彈性變形、彈塑性變形或塑性變形力學問題都是適用的。 第5頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一 到目前為止，上限法中虛擬的運動學許可速度場模式大體有三種模式： （1）Johnson模式，通常稱為簡化滑移線場的

4、剛性三角形上限模式，主要適用于平面應變問題。 （2）Avitzur模式，通常稱為連續(xù)速度場的上限模式，它既可適用平面應變問題、軸對稱問題，也可用于某些三維問題，用途比較廣泛。 （3）上限單元技術(shù)（UBET），目前比較實用的是圓柱坐標系的圓環(huán)單元技術(shù)。它可用于解軸對稱問題，以及某些非對稱軸的三維問題。 具體實例在碩士階段將詳細分析。 虛擬的運動學許可速度場模式第6頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一9.3 速度間斷面及其速度特性(1)(2)Av2v1xxABCDH圖9-4 速度間斷面上的速度間斷 a）物理平面 b）速度圖 第7頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35

5、分，星期一9.4 Johnson上限模式及應用 基本思路是設(shè)想塑性變形區(qū)由若干個剛性三角形構(gòu)成，塑性變形時完全依靠三角形場間的相對滑動產(chǎn)生，變形過程中每一個剛性塊是一個均勻速度場，塊內(nèi)不發(fā)生塑性變形，于是塊內(nèi)的應變速度。因此，式（9-6）的能量基本方程中，若不計附加外力及其他功率消耗的話，其塑性變形功率消耗部分也為零，則上限功率表達式變?yōu)椋?第8頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一Johnson上限模式求解的基本步驟根據(jù)變形的具體情況，或參照該問題的滑移線場，確定變形區(qū)的幾何位置與形狀，再根據(jù)金屬流動的大體趨勢，將變形區(qū)劃分為若干個剛性三角形塊；根據(jù)變形區(qū)劃分剛性三角形塊

6、情況，以及速度邊界條件，繪制速端圖；第9頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一Johnson上限模式求解的基本步驟3.根據(jù)所作幾何圖形，計算各剛性三角形邊長及速端圖計算各剛性塊之間的速度間斷量，然后計算其剪切功率消耗；4.求問題的最佳上限解，一般劃分的剛性三角形塊時，幾何形狀上包含若干個待定幾何參數(shù)，所以須對待定參數(shù)求其極值，確定待定參數(shù)的具體數(shù)值以及最佳的上限解。第10頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一9.5 Aviztur上限模式及應用 基本思路：B. Avitzur上限模式為連續(xù)速度場模式，其基本思路是把整個變形區(qū)內(nèi)金屬質(zhì)點的流動用一個連續(xù)速度場vi = fi(x, y, z)來描述。同時考慮塑性區(qū)與剛性區(qū)界面上速度的間斷性及摩擦功率的影響。因此Avitzur上限模式的基本能量方程與式（9-4）是一致的，常簡化為 N = Nd + Nt + Nf + Nq第11頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一式中， 為塑性變形功率消耗 為速度間斷面上剪切功率消耗 為接觸面上摩擦功率消耗 為附加外力消耗的（取“+” 號）或向系統(tǒng)輸入的附加功率（取“-”號）第12頁，共13頁，2022年，5月20日，14點35分，星期一應用范圍一、