1、2023學年高考數學模擬測試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1為虛數單位,則的虛部為（ ）ABCD2已知，則的值等于（ ）ABCD3已知向量，若，則（ ）ABCD4已知是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（ ）ABCD5在中，分

2、別為，的中點，為上的任一點，實數，滿足，設、的面積分別為、，記（），則取到最大值時，的值為（ ）A1B1CD6設復數滿足，在復平面內對應的點為，則（ ）ABCD7如圖，平面與平面相交于，點，點，則下列敘述錯誤的是（ ）A直線與異面B過只有唯一平面與平行C過點只能作唯一平面與垂直D過一定能作一平面與垂直8已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（ ）ABCD9設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）A若，則B若，則C若，則D若，則10設，其中a，b是實數，則（ ）A1B2CD11已知函數，滿足對任意的實數，都有成立，則實數的取值范圍為（ ）ABC

3、D12若雙曲線：（）的一個焦點為，過點的直線與雙曲線交于、兩點，且的中點為，則的方程為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知三棱錐中，且二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為_.14如圖所示，在邊長為4的正方形紙片中，與相交于.剪去，將剩余部分沿，折疊，使、重合，則以、為頂點的四面體的外接球的體積為_.15已知函數的最大值為3，的圖象與y軸的交點坐標為，其相鄰兩條對稱軸間的距離為2，則16如圖，、分別是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于、兩點，若，則雙曲線的離心率是_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1

4、2分）已知函數（1）求函數在處的切線方程（2）設函數，對于任意，恒成立，求的取值范圍.18（12分）如圖，兩座建筑物AB，CD的底部都在同一個水平面上，且均與水平面垂直，它們的高度分別是10m和20m，從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的視角CAD60（1）求BC的長度；（2）在線段BC上取一點P（點P與點B，C不重合），從點P看這兩座建筑物的視角分別為APB，DPC，問點P在何處時，+最??？19（12分）在全面抗擊新冠肺炎疫情這一特殊時期，我市教育局提出“停課不停學”的口號，鼓勵學生線上學習.某校數學教師為了調查高三學生數學成績與線上學習時間之間的相關關系，對高三年級隨機選取45名學生進行跟蹤

5、問卷，其中每周線上學習數學時間不少于5小時的有19人，余下的人中，在檢測考試中數學平均成績不足120分的占，統計成績后得到如下列聯表：分數不少于120分分數不足120分合計線上學習時間不少于5小時419線上學習時間不足5小時合計45（1）請完成上面列聯表；并判斷是否有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”；（2）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中從分數不少于120分和分數不足120分的兩組學生中抽取9名學生，設抽到不足120分且每周線上學習時間不足5小時的人數是，求的分布列（概率用組合數算式表示）；若將頻率視為概率，從全校高三該次檢測數學成績不少于120分的學生中隨機抽取2

6、0人，求這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數的期望和方差.（下面的臨界值表供參考）0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828（參考公式其中）20（12分）過點作傾斜角為的直線與曲線（為參數）相交于M、N兩點（1）寫出曲線C的一般方程；（2）求的最小值21（12分）已知函數.（1）若，且，求證：；（2）若時，恒有，求的最大值.22（10分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），曲線的極坐標方程為（）求直線的普通方程及曲線的直角坐標方程；（）設點，直線與曲線相交于，求的值2023學年模擬測試卷參考答案（含詳

7、細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】利用復數的運算法則計算即可.【題目詳解】，故虛部為.故選：C.【答案點睛】本題考查復數的運算以及復數的概念，注意復數的虛部為，不是，本題為基礎題，也是易錯題.2、A【答案解析】由余弦公式的二倍角可得，再由誘導公式有，所以【題目詳解】由余弦公式的二倍角展開式有又故選：A【答案點睛】本題考查了學生對二倍角公式的應用，要求學生熟練掌握三角函數中的誘導公式，屬于簡單題3、A【答案解析】根據向量坐標運算求得，由平行關系構造方程可求得結果.【題目詳解】， ，解得：故選：【答案點睛

8、】本題考查根據向量平行關系求解參數值的問題，涉及到平面向量的坐標運算；關鍵是明確若兩向量平行，則.4、D【答案解析】根據雙曲線的定義可得的邊長為，然后在中應用余弦定理得的等式，從而求得離心率【題目詳解】由題意，又，在中，即，故選：D【答案點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示，然后用余弦定理建立關系式5、D【答案解析】根據三角形中位線的性質，可得到的距離等于的邊上高的一半，從而得到，由此結合基本不等式求最值，得到當取到最大值時，為的中點，再由平行四邊形法則得出，根據平面向量基本定理可求得，從而可求得結果.【題目詳解】如圖所示：因為是的中位線，所以到的距離

9、等于的邊上高的一半，所以，由此可得，當且僅當時，即為的中點時，等號成立，所以，由平行四邊形法則可得，將以上兩式相加可得，所以，又已知，根據平面向量基本定理可得，從而.故選：D【答案點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則，考查了平面向量基本定理的應用，考查了基本不等式求最值，屬于中檔題.6、B【答案解析】設，根據復數的幾何意義得到、的關系式，即可得解；【題目詳解】解：設，解得.故選：B【答案點睛】本題考查復數的幾何意義的應用，屬于基礎題.7、D【答案解析】根據異面直線的判定定理、定義和性質，結合線面垂直的關系，對選項中的命題判斷.【題目詳解】A.假設直線與共面，則A，D，B，C共面，則AB，C

10、D共面，與，矛盾， 故正確.B. 根據異面直線的性質知，過只有唯一平面與平行，故正確.C. 根據過一點有且只有一個平面與已知直線垂直知，故正確.D. 根據異面直線的性質知，過不一定能作一平面與垂直，故錯誤.故選：D【答案點睛】本題主要考查異面直線的定義，性質以及線面關系，還考查了理解辨析的能力，屬于中檔題.8、A【答案解析】根據橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結合和的離心率之積為，即可得的關系，進而得雙曲線的離心率方程.【題目詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡可得，故選：A.【答案點睛】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾

11、何性質應用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎題.9、C【答案解析】根據空間中直線與平面、平面與平面位置關系相關定理依次判斷各個選項可得結果.【題目詳解】對于，當為內與垂直的直線時，不滿足，錯誤；對于，設，則當為內與平行的直線時，但，錯誤；對于，由，知：，又，正確；對于，設，則當為內與平行的直線時，錯誤.故選：.【答案點睛】本題考查立體幾何中線面關系、面面關系有關命題的辨析，考查學生對于平行與垂直相關定理的掌握情況，屬于基礎題.10、D【答案解析】根據復數相等，可得，然后根據復數模的計算，可得結果.【題目詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【答案點睛】本題考查復數模的計

12、算，考驗計算，屬基礎題.11、B【答案解析】由題意可知函數為上為減函數，可知函數為減函數，且，由此可解得實數的取值范圍.【題目詳解】由題意知函數是上的減函數，于是有，解得，因此，實數的取值范圍是故選：B.【答案點睛】本題考查利用分段函數的單調性求參數，一般要分析每支函數的單調性，同時還要考慮分段點處函數值的大小關系，考查運算求解能力，屬于中等題.12、D【答案解析】求出直線的斜率和方程，代入雙曲線的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，結合焦點的坐標，可得的方程組，求得的值，即可得到答案.【題目詳解】由題意，直線的斜率為，可得直線的方程為，把直線的方程代入雙曲線，可得，設，則，由的中點為，可得，解

13、答，又由，即，解得，所以雙曲線的標準方程為.故選：D.【答案點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程的求解，其中解答中屬于運用雙曲線的焦點和聯立方程組，合理利用根與系數的關系和中點坐標公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】設的中心為T，AB的中點為N，AC中點為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點為球心O，將的長度求出或用球半徑表示，再利用余弦定理即可建立方程解得半徑.【題目詳解】設的中心為T，AB的中點為N，AC中點為M，分別過M，T做平面ABC，平面PAB的垂線，則垂線的交點為球心O，如圖所示因為，

14、所以，又二面角的大小為，則，所以，設外接球半徑為R，則，在中，由余弦定理，得，即，解得，故三棱錐外接球的表面積.故答案為：.【答案點睛】本題考查三棱錐外接球的表面積問題，解決此類問題一定要數形結合，建立關于球的半徑的方程，本題計算量較大，是一道難題.14、【答案解析】將三棱錐置入正方體中，利用正方體體對角線為三棱錐外接球的直徑即可得到答案.【題目詳解】由已知，將三棱錐置入正方體中，如圖所示，故正方體體對角線長為，所以外接球半徑為，其體積為.故答案為：.【答案點睛】本題考查三棱錐外接球的體積問題，一般在處理特殊幾何體的外接球問題時，要考慮是否能將其置入正（長）方體中，是一道中檔題.15、【答案解

15、析】，由題意，得,解得，則的周期為4，且，所以.考點：三角函數的圖像與性質.16、【答案解析】根據三角形中位線證得，結合判斷出垂直平分，由此求得的值，結合求得的值.【題目詳解】，為中點，垂直平分，即，即.故答案為：【答案點睛】本小題主要考查雙曲線離心率的求法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【答案解析】（1）求出，即可求出切線的點斜式方程，整理即可；（2）的取值范圍滿足，求出，當時求出，的解，得到單調區間，極小值最小值即可.【題目詳解】（1）由于，此時切點坐標為所以切線方程為. （2）由已知，故.由于，

16、故，設由于在單調遞增同時時，時，故存在使得且當時，當時，所以當時，當時，所以當時，取得極小值，也是最小值，故由于，所以，.【答案點睛】本題考查導數的幾何意義、不等式恒成立問題，應用導數求最值是解題的關鍵，考查邏輯推理、數學計算能力，屬于中檔題.18、（1）；（2）當BP為cm時，+取得最小值【答案解析】（1）作AECD，垂足為E，則CE10，DE10，設BCx，根據得到，解得答案.（2）設BPt，則，故，設，求導得到函數單調性，得到最值.【題目詳解】（1）作AECD，垂足為E，則CE10，DE10，設BCx，則，化簡得，解之得，或（舍），（2）設BPt，則，設，令f（t）0，因為，得，當時，f

17、（t）0，f（t）是減函數；當時，f（t）0，f（t）是增函數，所以，當時，f（t）取得最小值，即tan（+）取得最小值，因為恒成立，所以f（t）0，所以tan（+）0，因為ytanx在上是增函數，所以當時，+取得最小值【答案點睛】本題考查了三角恒等變換，利用導數求最值，意在考查學生的計算能力和應用能力.19、（1）填表見解析；有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”（2）詳見解析期望；方差【答案解析】（1）完成列聯表，代入數據即可判斷；（2）利用分層抽樣可得的取值，進而得到概率，列出分布列；根據分析知，計算出期望與方差.【題目詳解】（1）分數不少于120分分數不足120

18、分合計線上學習時間不少于5小時15419線上學習時間不足5小時101626合計252045有99%的把握認為“高三學生的數學成績與學生線上學習時間有關”.（2）由分層抽樣知，需要從不足120分的學生中抽取人，的可能取值為0，1，2，3，4，所以，的分布列：從全校不少于120分的學生中隨機抽取1人，此人每周上線時間不少于5小時的概率為，設從全校不少于120分的學生中隨機抽取20人，這些人中每周線上學習時間不少于5小時的人數為，則，故，.【答案點睛】本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列、數學期望與方差的計算問題，屬于基礎題.20、（1）；（2）【答案解析】（1）將曲線的參數方程消參得到普通方程；（2）寫出直線MN的參數方程，將參數方程代入曲線方程，并將其化為一個關于的一元二次方程，根據，結合韋達定理和余弦函數的性質，即可求出的最小值.【題目詳解】（1）由曲線C的參數方程（是參數），可得，即曲線C的一般方程為（2）直線MN的參數方程為（t為參數），將直線MN的參數方程代入曲線，得，整理得，設M，N對應的對數分別為，則，當時，取得最小值為【答案點睛】該題考查的是有關參數方程的問題，涉及到的知識點有參數方程向普通方程的轉化，直線的參數方程的應用，屬于簡單題目.21、（1）見解析；（2）.【答案解析】（1）利用導數分析函數的單調性，并設，則，將不等式等價轉化為證明，