1、二項式系數性質的應用強化訓練1. (X2+3x+2)5展開式中x項的系數是答案 240解析 (X2 + 3x + 2)5= (X2 + 3X)+25 = Co(X2 + 3X)5 + Ci(X2 + 3X)4 2 + C2(X2555+ 3x) 3 22 + C3(X2 + 3x) 2 23 + C4(X2 + 3X)24 + C5 25,555顯然在(X2+3x)n中，n1時展開式中不含x項.x的系數為C43 24 = 240.5知識點二 多個二項式相乘問題(1A2.(X2+2) 71 5的展開式的常數項是vX2丿 答案 3(1 A解析(X2+2) -1 5X2丿X25+ 2對于X-g 的通

2、項為 +1 =-諧5-r(-1)r= ( 1)rCrX 8+2r.5令 8+ 2r= 0，即 r= 4即 T = (1)4C4=5.55(1 A對2：15的通項為 vX2丿T+1 =-嗚-r(T)r令 5r=0,即 r=5, T =-.6 TOC o 1-5 h z (1A(x-+2) -1 5的展開式的常數項為52=3.X2丿3在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記Xmyn項的系數為f(m, n),則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=.答案 120解析 f (3,0) +f(2,1) +f(1,2) +f(0,3) =C3Co+C2Ci+CiC2+CoC3=12O.6

3、 4 6 4 6 4 6 4知識點三 近似計算與整除問題4. (1. 05) 6的計算結果精確到0. 01的近似值是( )A1.23 B1.24 C1.33 D1.34答案 D解析 (1.05)6= (1 + 0 O5)6=Co+C】XO .05+C2X0.0 52+C3XO . 053+ = 1 6 6 6 6+0.3+0.0375+0.0025 +1.34.5233除以 9的余數是答案 8解析 233=(23)11=811=(91)11=Co 9ii X(1) 0+C1 9io X(1)i+Cio9iX(1) io+Cii9oX(1) ii.11 11 11 11分析易得：其展開式中 Co

4、 911 X(1) o + C1 910 X(1)1 + + C1o9】X(1) 1011 11 11 能被9整除，而最后一項為 1，則233除以9的余數是8.6設 aez,且 0WaV13,若 512015+a 能被 13 整除，則 a=.答案 1解析V 512015 + a= (52 1)2015 + a = Co 522015 C】522014 + C2 522013 +201520152015C20145211+a，2015能被13整除，0WaV13故1+a能被13整除，故a=1.7求證2n+23n+5n4能被25整除(nN*)證明 原式=4(5 + 1)n+5n4= 4(Co 5n

5、+ C】 5n-1 + C2 5n-2+ + Cn) + 5n 4 = 4(C。5n + C】 5n-1 +nnnnnn+Cn-252)+25n,以上各項均為25的整數倍，故得證.n知識點四 二項式系數的應用8已知m，n是正整數，f(x) = (1+x)m+(1+x)n的展開式中x的系數為7，對于使f(x)的x2的系數為最小的m，n，求出此時x3的系數；利用上述結果，求f(0.003)的近似值；(精確到001)已知(1+2x)8展開式的二項式系數的最大值為a，系數的最大值為b，解根據題意得：Ci+Ci=7,mn即m+n=7,f(X)中的X2的系數為, m m, n n皿+山一mnC2+C2=2

6、 I=2m n 2 2 2(735將變形為n=7m代入上式得：X2的系數為m27m+21=m2J2+4, 故當m=3,或m=4時，X2的系數的最小值為9.當m=3、n=4時，X3的系數為C3+C3=5；34 當m=4、n=3時，X3的系數為C3+C3=5.43f(0.003) =(1+0.003)4+(1+0.003)3QC0+C1XO .0 O3+Co+GXO.OO3 = 2.02. TOC o 1-5 h z 4433由題意可得a=C4=70,再根據8fCr 2r$Cr+1 2r+1,f5,1 88即 vlCr 2rMCr-l 2r-1,r6,88求得r=5或6,此時，b=7X28, b=

7、128a=亍9設(29設(2”j3x)100=a +a x+a X2+a0 1 2 100X100,求下列各式的值求 a ；0a +a +a +a +a ； TOC o 1-5 h z 1234100a +a +a +a ；13599(a +a +a )2 (a +a +a )2；021001399|a0|+|a1|+|a100|.0 1 100解(1)令x=0,則展開式為a =2100.0(2)令 X=1,可得a +a +a +a = (2. 3)叫 012100V所以 a +a +a = (23) 1002100.1 2 100 v(3)令 X=1,可得 a a +a a +a = (2+

8、：3)100.0123100v與式聯立相減得先/3loo+、3 looa +a +a = TOC o 1-5 h z 13992由可得，(a +a + + a )2 (a +a + a )2= (a +a +a +a )(a a +a o 21oo1399o 121oo o 12+80。) = (2：3) 100 (2+ ；3)ioo=1(5)|a I + |a I+|a |,o11oo即(2 + j3x)100的展開式中各項系數的和，在(2 + j3x)100的展開式中，令x=1，可得各項系數的和為(2+召)100一、選擇題1.卜2+2)3的展開式中常數項為()A. 8 B. 12 C. 2

9、0 D. 20 答案 C(1 A (解析X2 + x2 3 = l xX 6的展開式的通項公式為Cr(1)rX62r，令6 2rkX2丿IX丿6=0，得r=3，則展開式中常數項為C3(1)3=20.62在(1+x)6(2+y)4的展開式中，含X4y3項的系數為()A. 210 B. 120 C. 80 D. 60答案 B解析 在展開式中，含X4y3的項為C4X4 C32 y3=120 x4y3，故系數為64120.3. 111001 末尾連續零的個數為()A. 7 B. 5 C. 4 D. 3答案 D解析11100 1 = (10 + 1) 100 1 =C。10100+ C1 1099 +

10、+ C99 10 + C100 1 =100 100 100 10010100 + C1 1099+C97 103 + C98+。，則末尾連續零的個數為3.故選D.100 100 1002i4設復數X=(i是虛數單位)，則C1 x+C2 X2+C3 X3+ + C2015X20151i2015201520152015等于()A. iB. i 1 C. 1+i D. 1 + i答案B解析2ix1+i, C1x + C2 x2 + C3 x3+ C2015X2015 (1 +x) 20151i20152015201520151 = i20i51 = i31 = i 1.故選 B.5(12x) 20

11、14=a +ax+ax2+ + a X2014 (xER),50122014 + +弘22014A2 B0 C 1 D 2答案 C解析令x=0,得a =1,0令 x=2得 ao2014=0,20142014=0,2014所以加昭=122014二、填空題6已知 Co + 2C1 + 22C2 + 23C3 + + 2nCn=729,則 C1 + C2+C3 + + Cn 等于 TOC o 1-5 h z nnnnnn n nn答案解析63逆用二項式定理得C0 + 2C1 + 22C2+ + 2nCn=(1+2)n=3n = 729,答案解析63nnnn3n=36, n=6，所以 C1+C2+C3

12、+Cn=26C0=641=63n n nnn7若G,;2x) 10=a +ax+ax2+a X10,貝j(a +a + + a )2(a +a01210021013+ +a)2=.9答案 1解析 令 x= 1,得：a +a +a +a =( J21) 1o,01210 H令 x= 1 得：a a +a a +a =( ：2+1)1,012310Y故(a +a +a )2(a +a +a)2021013910 0=(a +a +a + + a )(a a +a a + + a ) = ( .;21) 10( 2+1)10=10 0012100123108設0, n是大于1的自然數，(嗨的展開式為

13、a0+a1X+aX2+ +axn. 若點 A(i, a ) (i= 0, 1, 2)的位置如圖所示,則 a=ii答案 9解析由題意知 A0(0，1)答案 9解析由題意知 A0(0，1)，Ai(1，3)，A2(2,4)故 a0=1，3 = 3, 1+x)的展開式的通項公式知T =C(gr(r=0,1,2,，n).r+1na = 4. 由2Cna=ai=3,na=3C2 =a =4,n a 22n n-0=8n=9,、a=3.三、解答題9已知 9已知 f(X)= (l+X)m,g(x) = (1+5x)n(m, nN*)若m=4, n=5時，求f(x)g(x)的展開式中含X2的項;(2) 若 h(

14、x) = f(x) + g(x) ,且 h(x) 的展開式中含 x 的項的系數為 24,那么 當m, n為何值時，h(x)的展開式中含x2的項的系數取得最小值？若(1+5x)n(nW10, nN*)的展開式中，倒數第2、3、4項的系數成等差數列，求(1+5x)n的展開式中系數最大的項.解 當 m=4, n=5 時，f (x) = (1+x)4=0 x0+0 x1+02x2+03x3+(4x4,44444g(x) = (1+5x) 5=Co(5x) 0+C1 (5x)1C5 (5x)5,555則f(x) g(x)的展開式中含X2的項為(C250C0+C1 5Ci+C。52C2)X2,454545

15、即f (x) g(x)的展開式中含X2的項為356x2.C1+5C1=24,m因為h(x) =f (x) +g(x)，且h(x)的展開式中含C1+5C1=24,mn即 m=24-5n(其中 1 WnW4, nGN*),m m25n n 又h(x)的展開式中含X2的項的系數為C2+52C2=+252 1m n 2 25n5n5n25n n=25m130n+276=25 n13、5)2+107(其中 1 WnW4, nN*),又因為135又因為135135所以當n=3時(此時m=9), h(x)的展開式中含X2的項的系數取得最小值為111.在(1+5x)n(nW10, nN*)的展開式中，倒數第2

16、、3、4項的系數分別 為Cn-15n-1, Cn-25心，Cn-35心，又因為倒數第2、3、4項的系數成等差數 nnn列，所以2Cn-2 5n-2 Cn-1 5n-1 + Cn-3 5n-3,nnn整理得：m-33n+182=0,解之得： n 7 或 n 26，又因為 nW10, neN*,所以n7或n=26(不合題意舍去)設二項式 (1+5x)7 的展開式中系數最大的項為第 r+1 項(即 Tr =Cr TOC o 1-5 h z r+ 17(5x)r) ,Cr-1 5r-1WCr 5r,則77I Cr+1 5r+1WCr *5r,771720整理并解之得：可WrW3,又因為nW10, neN*，所以r6.10已知 f (x) = (1 + x)n.n若f(x) =a +ax+a X2011，求a +a +a +a 的值；20110120111320092011若g(x)=f (x) +2f (x) +3f (x), 求 g(x)中含X6項的系數. 678解(1)因為 f (x) (1+x)n,n所以 f (x)=(1+x)2011,2011又 f (x) =a +ax+a x2011,2011 0 1 2