1、彈性力學初步第1頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三剛體：在任何外力作用下, 形狀大小均不發生改變的物體。剛體內任意兩質元間的距離保持不變內部質元之間可以有相對運動，宏觀上體現為形變或非均勻流動。如果質元之間可以有相對運動？剛體 忽略形變彈性體 形變不可忽略流體 無法維持固定的形狀彈性體和流體的研究方法：微元為有質量的體積元質量的體積元密度r力作用在微元的表面應力：F/S微元不是離散的質點第2頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三彈性形變當物體所受外力撤除后，在外力作用下所發生的形狀和體積的變化完全消失，而恢復原狀的形變.彈性體在外力作用下，物體內部各

2、點的相對位置發生改變；宏觀上，表現為物體的大小和形狀發生變化。自然界中并沒有完全彈性體，一般變形體，既有彈性，還有撤去外力后不能完全復原的塑性。假設：(1)變形體材料均勻連續，忽略實際物體中的微粒間的不連續性。認為物體的性質處處相同。多晶純橄欖石礦物在正交顯微鏡下圖像。顆粒之間是不連續的。每個顆粒都是橄欖石礦物。（注顏色不同是礦物雙折射的干涉產生的。）第3頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三(2)變形體材料各向同性，在各個方向具有相同的力學性質。暫不考慮各向異性的材料。譬如：單晶是各向異性的。多晶，在宏觀上表現出各向同性。這是由于多晶是大量單晶無規則排列的結果，在宏觀上的

3、平均效果表現為各向同性(3)變形體變形很小，即物體幾何大小和形狀的改變與其總尺寸相比甚小。在形變很小的情況下，可以認為物體內各點的相對位移與力成正比，即該形變是彈性形變。這時，變形和作用力之間的關系仍然呈線性，是胡克定律在復雜力作用下的推廣，稱為“廣義胡克定律”第4頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三第5頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三外力，內力和應力ABAB討論橫截面積遠小于其長度的細直桿。兩端受到沿軸線的力而平衡假想橫面AB將直桿分成上下兩部分。通過截面AB產生一對內力。考慮平衡。應力 Fn是內力在外法線方向的投影，S是橫截面積單位：帕, N

4、/m2 應力是物體中各部分之間相互作用的內力8.2.1 線應變第6頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三在固體中一個截面上的應力一般不與此截面垂直，我們可以將它分解為法向分量和切向分量，前者稱為正應力，后者稱為剪切應力。純正應力相對應的體應變純剪切應力相對應的剪切應變趙州橋如果設計得好，楔型石料將主要承受壓應力第7頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三8線應變取一根長、寬、高分別為l，w，h的等截面桿形材料。如果兩端在拉力F作用下，其長度伸長為l，并滿足小變形假設。胡克定律：力與伸長成正比，即Fl。桿伸長l不僅取決于外力F，也取決于桿的長度。 Fl/l為

5、得到桿形材料的伸長l，力F將取決于該材料的橫截面積。F/Sl/l相對伸長l/l就是單位長度的伸長，一般稱為應變。第8頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三（僅形變較小時成立）胡克定律 即 Y是彈性模量(楊氏模量),是描寫材料本身彈性的物理量. F l O CDBO ABPP 是塑性應變. 斷裂點 彈性極限 第9頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三第10頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三第11頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三實驗：當在一個方向上對材料拉伸時，必將在與這一伸長垂直的方向上收縮。寬度的相對收縮

6、正比于長度的相對伸長。根據材料的各向同性假設常數 v 稱為泊松比，它是表征材料性質的另一個參數。泊松比是一個無量綱的正數，小于1/2第12頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三8.2.2 疊加原理在力和位移上都是線性的，而且均滿足小位移假設，所以疊加原理成立。由此，一維情況下成立的應力-應變關系與泊松比關系在多維情況下也成立第13頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三8.2.3 體應變與剪切應變1）體積形變體應力與體應變 若只有p1單獨作用，棱邊a為縱向邊，棱邊b和c為橫向邊，三個應變分別為：在p2單獨作用下，以及p3單獨作用下，棱邊a，b，c的應變分別

7、為：第14頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三在應力p1，p2，p3同時作用下，棱邊a的應變為： 在應力p1，p2，p3同時作用下，棱邊b和c的應變為：體積：第15頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三體積變化（體應變）當時，即靜水壓作用下K為體積模量，有關系由上式得， 要小于0.5。否則體積模量K為負值，材料會在增加壓力時發生膨脹。第16頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三2）剪切形變切應力與切應變 剪切形變物體受到力偶作用使物體兩個平行截面間發生相對平行移動.ABCD切應力 S是截面ABCD的面積，物體受到力偶 發生剪切變形

8、切應力具有與正應力相同的量綱和單位. 2.切應力 1.力偶：大小相等方向相反彼此平行的一對力Odm1m2與參考點的選擇無關第17頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三剪切應力互等定律：作用于互相垂直的假想截面上并垂直于該兩平面交線的切應力相等. 思考：切應力不相等時，物體會出現什么狀態？abc力偶矩 3.純剪切狀態：剪切應力互等 和分別表示上下底面和左右側面的切應力 第18頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三4.剪切應變描述 abcdb c 剪切形變特征: 切應變 : 平行截面間相對滑移與截面垂直距離之比. 即 形變小時，又稱切變角. 第19頁，共48

9、頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三即 G稱切變模量，由材料彈性決定. G反映材料抵抗剪切形變的能力， 單位與彈性模量相同.剪切形變的胡克定律若形變在一定限度內，切應力與切應變成正比.彈性模量E、切變模量G和泊松系數 之間的關系為 5. 剪切形變的胡克定律 由上式得， 要大于-1。否則剪切模量G為負值，材料會在做剪切形變時對外力做功而不是外力做功使材料發生形變。第20頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三Y、G和 之間關系的推導 FFFF水平方向的應變為： 1）正應力作用下2）剪切力作用下BD截面上受力為截面面積為 因此拉(張)應力為F/S AC截面上壓應力為-

10、F/S第21頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三在立方體處于純剪切狀態下，其剪切應力F/S相當于彼此大小相等、互相垂直，并與原立方體面成45截面上的拉(張)應力與壓應力的組合。應力與應變可由下圖所示的力作用下的結論得到，這可由上一個關系式給出： 其中一條對角線伸長，另一條則縮短。在討論剪切應變時，切應變常采用角變形 角表示 第22頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三例題：大理石在110MPa的應力下才碎裂，它在破裂之前經歷的最大應變有多大？解：由應力-應變關系 ，Y=55109Pa或其它值（查得）=210-3例題：一種磚密度為2103kg/m3，最大

11、可承受40MPa的應力。那么用這種磚一層層砌起高塔，能保持最底層的磚不破裂的塔的最大高度為多少？解：應力為可推得：h=2040.8m第23頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三例題：一條鋁線長0.850米，橫截面為圓形且直徑為0.780毫米。一端固定，另一端栓一1.20千克的物體在水平面內做圓周運動。請問多大的角速度能使鋁線有1.0010-3的應變？解：鋁的楊氏模量E=69109Pa其中例題：一根鐵質纜線橫截面面積為3.00平方厘米，每米重2.40千克。如果500米的纜線垂直懸掛于懸崖下，請問在它自身的重力作用下，纜線會伸長多少米？解：在x處的應力為x處的dx微元的伸長量d

12、l 總伸長量為第24頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三例題：矩形橫截面桿在軸向拉力的作用下產生拉伸應變為，此材料的泊松比為，求證體積的相對改變為：式中V0和V分別代表原來和形變后的體積。低碳鋼的楊氏模量為，泊松比為0.3，受到的拉應力為 =1.37Pa，求桿體積的相對變化。解：應變泊松比：體積：第25頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三得證拉應力：所以：第26頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三在剪切鋼板時，由于刀口不快，沒有切斷，該材料發生了剪切形變。鋼板的橫截面積為S=90cm2，二刀口間的距離為d=0.5cm，當剪切力為

13、F=7*105N時，已知鋼板的剪變模量為G=8*1010Pa，求：（1）鋼板中的剪切應力；（2）鋼板的剪切應變；（3）與刀口齊的兩個截面所發生的相對滑移。解：（1）剪切應力：（2）剪切應變：第27頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三（3）應變與相對滑移：第28頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三一根長度為L，半徑為a，其一端相對于另一端扭轉角度 的圓柱形棒。 由實驗知，在小變形的條件下，一根受扭轉的棒所受的力矩與扭轉角 成正比，其比例系數取決于棒的材料以及棒的幾何尺寸。下面我們將導出這個比例系數。 第29頁，共48頁，2022年，5月20日，22點5

14、3分，星期三扭轉的本質是剪切應變。這是一個材料內部不同部分受有不同應力的問題。 第30頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三把圓柱棒分成許多很薄的同軸柱形殼分別進行考察。我們討論其中一個半徑為 ，厚度為 的薄柱殼。柱殼面上一個小正方形，受扭轉后變成一個平行四邊形。在剪切力作用下，此柱殼元的切變角為利用虎克定律，剪切應力為 同時切應力還可表示為一端的剪切力除以端面積 F提供了環繞柱軸的力矩M： 第31頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三總力矩M應等于該柱殼整個圓周的每個M之和： 即，一個空心薄柱殼的轉動剛度(即轉動彈性模量) 一根實心棒可以看成許許多多同

15、心薄柱殼構成，而且每一柱殼有相同的扭轉角 總轉動力矩等于每一柱殼上的力矩之和。因此 第32頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三試推導鋼管扭轉常量D的表達式。第33頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三例題：一鋁管直徑為4cm，壁厚1mm，長10m，一端固定，另一端作用一力矩50N.m，求鋁管的扭轉角。已知鋁的剪變模量G=2.65*1010Pa。解：扭轉角：代入數據，得：第34頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三梁的彎曲AA BCC B M1M2AA BC B C矩形橫截面梁 ，不計自重 ,如圖 第35頁，共48頁，2022年，5月

16、20日，22點53分，星期三MAA bh彎曲后，靠近上緣各層發生壓縮形變；靠近下緣各層，發生拉伸形變. 處于中間的的CC 層(中性層)既不伸長也不壓縮.中性層曲率M是加于梁的力偶矩，E為材料的楊氏模量，b為梁寬度，h為梁的高度.彎曲形變特點: 第36頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三鐵軌的橫截面呈“工”字形：鐵軌在列車壓力下彎曲，拉壓應力集中于上下緣之故。人體骨骼當桿型物體彎曲和扭轉形變時，拉伸或剪切應力都是集中于最外側骨骼呈中空狀第37頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三矩形橫截面邊長2:3的梁在力偶矩作用下發生純彎曲。對于截面的兩個不同取向，同

17、樣的力偶矩產生的曲率半徑之比為多少？解：依據梁彎曲的曲率公式，有：設邊長分別為：2a、3a一種取法：b=2a，h=3a則：另一種取法：b=3a，h=2a則：第38頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三8.4.1剪切波（橫波）靜態扭棒 扭矩沿棒處處相等，并正比于 如果扭轉是均勻的，有 在棒中任取一長度為x的一小段棒，兩端面1, 2的位置坐標分別為x和x+x，所受轉扭分別為 和 當x足夠小時，有近似關系： 第39頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三作用于此小段棒的凈扭矩為： 小段棒的質量為 為材料的密度 它相對于圓棒軸的轉動慣量為： 轉矩等于轉動慣量與角加

18、速度之積： 即 化簡為： 第40頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三8.4.2 漲縮波（縱波）以彈性細棒中傳播的聲波的為例 取彈性棒中的任意一小段棒，此小段棒兩端的平衡位置為x和x+x ，運動中兩端面的位移為y和y+y ，應力為和 。設棒的橫截面積為S，材料的楊氏模量為E。則這小段棒受到的合力為 小段棒的質量為 由牛頓第二定律 第41頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三得 這是一維波動方程，聲速為 其中 為棒的密度。 在粗而厚的物體中傳播的聲波，其波速將比一根細棒中傳播的聲速大一些。這是由于大物體中的橫向尺寸比聲音波長大得多，推壓該物體不會向旁伸展，受到橫向約束。這種情況下的彈性模量E大于材料的E： 因此聲速可以表示為： 因有關系GEE，縱波比剪切波傳播得更快。第42頁，共48頁，2022年，5月20日，22點53分，星期三8.4.3 固體介質中縱波、橫波的轉換固體材料