1、但在工程實際中只研究但在工程實際中只研究了矩陣的代數(shù)運算此特別是涉及到多元分析時，還要用到矩陣的分析運算同微積分理論一樣，矩陣分析的理論建立，也是以理論為基礎(chǔ)的，其內(nèi)容豐富，是研究數(shù)值方法和其它數(shù)學(xué)支的重要工具。本矩陣序列的極限運算，然后介紹矩陣序列矩陣級數(shù)收斂的定理矩陣冪級數(shù)的極限運算和一些矩函數(shù)，如sinA,cosA, eA等，最后介紹矩陣的微積3.1、矩陣序列3.1、矩陣序列與矩陣級3.2、矩陣冪3.3、函數(shù)矩陣的微矩陣序A 定義Cmn中的矩陣序列，其為AkkkAa矩陣序A 定義Cmn中的矩陣序列，其為AkkkAaij(ki=1, 又如kAj=12,n均成立收斂, 而A則稱矩陣序klim

2、A矩陣序的極限kkkk序列稱為發(fā)散的例A矩陣序的收斂性。其kk解：根據(jù)定義,只須求出它的每一個元素的極限即可因它的極限為1sin例A矩陣序的收斂性。其kk解：根據(jù)定義,只須求出它的每一個元素的極限即可因它的極限為1sin0 kek1 k k k A 12k 0k k k 1 kkk k 由矩陣序列極限的定義可以看出,矩陣序列收斂的性質(zhì)和列收斂性質(zhì)相似由定義可見,Cm中的矩陣序列的收斂相當(dāng)于n個數(shù)列同時收斂。因此可以用初等分析的方法來研究它但同時研究mn個數(shù)列極限未免繁瑣來研究矩陣序列的極可以利用矩陣范中的矩陣序列定理3.1 一種矩陣范CmA為中kA則矩陣序收斂于矩中的矩陣序列定理3.1 一種矩

3、陣范CmA為中kA則矩陣序收斂于矩陣A的充要條k是Ak 收斂于零首先,利用范數(shù)的等價性知,對于Cmn 中的任意,存在常數(shù)c c 0使矩陣和12stc2 AAk c1Ak tst即Ak 0Ak stkk即收斂于零是一致的因此,只需證明定理對一種特定的矩陣范數(shù)成立即可根據(jù)-范數(shù)的定義對選取-范數(shù)加以證明1im1im均knka根據(jù)-范數(shù)的定義對選取-范數(shù)加以證明1im1im均knkaaAAa0kjmnmax a(ka0( k )aajnij因此lim Ak k k證 AACmnlim AA推論Akkkkk kAA即結(jié)論成立k k12 AACmnlim AA推論Akkkkk kAA即結(jié)論成立k k12

4、1k10 A 和k1211k 6 A顯112 22 Fk kFA0。但是矩陣序列A 不收斂,故更不收斂于2k為AB性質(zhì)3.1 和中的矩陣序列，kkk為AB性質(zhì)3.1 和中的矩陣序列，kkklimAk A, limBk k則limAk Bk AB,k Ak BkA證由由定理3.1，即結(jié)論成立kk中的矩陣序分kk中的矩陣序分A性質(zhì)設(shè)和kk并limAk A, limBk k則limAk k證由k k 由定理3.1和推論可知，結(jié)論成立A中的矩陣序列，lim并設(shè)性質(zhì)kkA (k 12,L) 則均為可逆矩kk因為(A )-1和A-1存在lim所證kk又lim %lim% 0limdetAk detA中的矩

5、陣序列，lim并設(shè)性質(zhì)kkA (k 12,L) 則均為可逆矩kk因為(A )-1和A-1存在lim所證kk又lim %lim% 0limdetAk detA0k kk(k(k(kLL(k(k(knkMMM(k(k(ki, j 1,2,L,(k 為Ak的第ij個代detA式其ijn1n%1lim 于是kk det(A kk注意,性質(zhì)3.3中條件Ak(k=1,2,)和A均為可逆的是不可少的因為即使A注意,性質(zhì)3.3中條件Ak(k=1,2,)和A均為可逆的是不可少的因為即使Ak(k=1, 2, )可逆也不能保證 A一定可逆1 例如Ak(k=1,2,k1k 1 kk1 lim 不可逆但kk A ,A

6、,L,A ,L一般的矩陣序A,即12kkk在矩陣序列中，最常見的是由一個方陣的的序列A ,A ,L,A ,L一般的矩陣序A,即12kkk在矩陣序列中，最常見的是由一個方陣的的序列kI ,A,A2 ,L,Ak ,LA,即k關(guān)于這樣的矩陣序列有以下的概念和收斂定理0, 則稱A為收斂矩陣定,設(shè)kA1收斂定理, 的充分必要條件limAk 由定理3.1的充分必要條件是對任證必要k 0因此對充分大的一種矩陣范數(shù)均kk 1，利用矩陣譜半徑的定義以及相容矩陣范數(shù)的性質(zhì)必AkA1因 1 1 A 0 一定存根據(jù)定理2.9，充分2 A 1 1 A 0 一定存根據(jù)定理2.9，充分2 A,A一種相容的矩陣范使又根據(jù)相容

7、矩陣范數(shù)的性質(zhì)有再注意到上述關(guān)系A(chǔ) 11A2根據(jù)定理那qAkAqk即limAk 0于kk,A推有設(shè)，若上的某種范則limAk 0klim練習(xí)判斷對下列矩陣是否k0.281 1 0.4（1）A Alim練習(xí)判斷對下列矩陣是否k0.281 1 0.4（1）A A60.28，B A 1B（1）1 則令628detI B 16 (5)(3) B B3，進而121262于是A 5 limAk 0故6（2）因klim Ak 0.9 1由推論,Ak 1定義矩陣級A為Cmn中的矩陣序列，kk 的矩陣級數(shù),記 。為由定義矩陣級A為Cmn中的矩陣序列，kk 的矩陣級數(shù),記 。為由矩陣序AkkkkSk Ai , 稱

8、之為矩陣級數(shù)k的前k項部分和定義記k則稱矩陣級數(shù) 若矩陣序Skk S 收斂且lim 收斂kkkk而矩陣S稱為矩陣級數(shù)的和矩陣,記為 S = Ak不收斂的矩k級數(shù)稱為發(fā)散的 (k顯然a S ()的意義指的是kkkki 1, 2L,mj 1, 2Ln 即mn個數(shù)項級( k 均為收斂的k練研究矩陣級的收斂性。其解：因N1 11N12(k k2N k練研究矩陣級的收斂性。其解：因N1 11N12(k k2N 2kkNk ，kSN 1N 04k34k于24N故矩陣級收斂，且和為S例3設(shè)A為n階方陣，則Ak k0A例3設(shè)A為n階方陣，則Ak k0A收斂(A0=I)的充要條件I+A+A2+L+AkAk k0

9、收斂時，IA1Akk0上的算子范數(shù)，使而且存AmIA1 1Ak必要性 若矩陣級證Ak 收斂S limS kkk 又級的前k項部分和與前k+1項部分和分別為IA必要性 若矩陣級證Ak 收斂S limS kkk 又級的前k項部分和與前k+1項部分和分別為IAL S= I +A+A2 +L+kk SA,因利用極限運算法則kk limS limkkkk根據(jù)例2A1AI + A+L+Ak1= A+A2+L+充分=kAkA1, 可 I AkA= AS則kkk1, 且（I-A）可逆又A則存在某種范數(shù), 使 0, 根據(jù)矩陣序列極限法則,lim IA I A11I (I A Aklimk1kI k kkkk-從

10、而進一步A kmkkIA1 kA。從而進一步A kmkkIA1 kA。1AkA,練計其0.91 故A收斂,且A由k0.712370.9Ak k 0 I A1 0.30.4902k求A2例4已02IA則2k02k求A2例4已02IA則2k02I 從,2 000A I 02211122 B , 其中AkABkBCmn 性質(zhì)kk B , 其中AkABkBCmn 性質(zhì)kkkk , kkNNNBkk ,kk所 kNNA limAlim NkNN kN k由定理3.1，即結(jié)論成立矩陣級數(shù)收斂的定義與數(shù)項級數(shù)的定義沒有本質(zhì)的區(qū)別有一些類似于數(shù)項級數(shù)的概念矩陣級數(shù)收斂的定義與數(shù)項級數(shù)的定義沒有本質(zhì)的區(qū)別有一些

11、類似于數(shù)項級數(shù)的概念和結(jié)論A (k為Cmn中的矩陣級數(shù)。定義其設(shè)kk( 對任意的1jn均為絕對收斂的， 則如k矩陣級絕對收斂k對比矩陣級數(shù)絕對收斂的定義以及高等數(shù)學(xué)中的數(shù)項級的絕對收斂的定義可以得出矩陣級數(shù)收斂的一些性質(zhì)性質(zhì)3.5若矩陣級是絕對收斂，則它一定是收斂的k并且任意調(diào)換各項的順序所得到的級數(shù)還是收斂的不變且級數(shù)矩陣級數(shù) Ak 為絕對收斂的充分必要條件k性質(zhì)正項級數(shù)收斂k利用矩陣范數(shù)的等價性,只需證明對于-范數(shù)定理成立即可矩陣級數(shù) Ak 為絕對收斂的充分必要條件k性質(zhì)正項級數(shù)收斂k利用矩陣范數(shù)的等價性,只需證明對于-范數(shù)定理成立即可證必要如是絕對收斂的， 由定義即對任意k(k均絕對收斂

12、即存在充分大Nak一個與N無關(guān)的正數(shù)使NkM , (i 1,2,L,j 1,2,L,a(kij從而NNj1 kj1 knkk(knmja(kiaA(kiakk因為收斂的正項級數(shù)充分如為收斂的正項級數(shù)，那么kNNk充分如為收斂的正項級數(shù)，那么kNNkka(ki 1,2,L,j 1,2,L,(kmn個級a可均為絕對收斂的, 利用定義4可知矩陣級kk是絕對收斂的為Cmn中的絕對收斂的矩陣級數(shù)A性質(zhì)kkA為Cmn中的絕對收斂的矩陣級數(shù)A性質(zhì)kkA B BnlCB 中的絕對收斂的級數(shù),并且kkkkkkkk則按任何方式排列得到的級數(shù)也絕對收斂且和為AB性質(zhì)3.8P C pmQ Cnq為給定矩陣如果mn型矩

13、 Ak收斂(或絕對收斂pq矩陣級PAkQ也收k級性質(zhì)3.8P C pmQ Cnq為給定矩陣如果mn型矩 Ak收斂(或絕對收斂pq矩陣級PAkQ也收k級k0（或絕對收斂）, 且有等PAkP AkkknAk lim Ak Ak收斂于矩陣S 而由等證n kkk nknPA Q P Ak 取極限即得kk Pnn =PAk QPAkQ = P Sn kkPAk PAkQ k0PAkQ 收斂且kk絕對收斂由矩陣級數(shù)性質(zhì)2知, k絕對收斂由矩陣級數(shù)性質(zhì)2知, k現(xiàn)設(shè) k又收斂PAk PQ利用比較判別法,即知級收斂, 再利用矩陣級數(shù)性質(zhì)k 返3.2、矩陣冪級 k定理a 為收斂半徑為r的冪級數(shù)A為n階方陣,設(shè)（

14、1）A（2）3.2、矩陣冪級 k定理a 為收斂半徑為r的冪級數(shù)A為n階方陣,設(shè)（1）A（2）AAk 絕對收斂時，矩陣冪級kk發(fā)散時，矩陣冪級kk（1）如果Ar根據(jù)矩陣范數(shù)的性質(zhì)證對1A0, 一定存在一種相容的矩陣范,使2A 1 r 1 A r AA2收斂2又2kA因此數(shù)項級kk0kk再由數(shù)項級數(shù)比較判別法可知再利用矩陣級數(shù)性質(zhì)3.6知,aaA收斂kkk絕對收斂kkkt 為收斂半徑為r的冪級數(shù)k（2）Ar 則矩陣冪級發(fā)散kk A, 且設(shè)x為kt 為收斂半徑為r的冪級數(shù)k（2）Ar 則矩陣冪級發(fā)散kk A, 且設(shè)x為Axix ,即長度特征向量其Ax Hi下面用反證法證明矩陣冪級發(fā)散kk如果它是收斂

15、的,則利用矩陣收斂的性質(zhì)3.8知,應(yīng)xa HHkAkkxak akkk0 k Ar，數(shù)項級z即得出此數(shù)項級數(shù)也收斂kk,在收斂圓外是發(fā)散的故結(jié)論（2）成立應(yīng)該是發(fā)散的因k設(shè)kt 為收斂半徑為r的冪級數(shù)A為n階方陣,定理k設(shè)kt 為收斂半徑為r的冪級數(shù)A為n階方陣,定理kAk 絕對收斂時，矩陣冪級kk發(fā)散時，矩陣冪級kk經(jīng)過簡單的變換到如下推論設(shè)a zk 為收斂半徑為r的冪級數(shù)A為n階方陣推論k0kr, 為A的任如果A的特征值均落在收斂圓內(nèi), 則矩陣冪級數(shù) AI特征值絕對收斂； 若有某k0kr則冪級數(shù)AI使發(fā)散k00k根據(jù)冪級數(shù)性質(zhì), 冪級數(shù)的和函數(shù)是收斂圓內(nèi)函數(shù)（意次可微, 在任一根據(jù)冪級數(shù)性

16、質(zhì), 冪級數(shù)的和函數(shù)是收斂圓內(nèi)函數(shù)（意次可微, 在任一點處均可展成Taylor級數(shù)而一個圓的的 f(z函數(shù)可以展開成收斂的冪級數(shù)。于是,如函數(shù), 其展成絕對收斂的冪級數(shù)f z zkzak0k則當(dāng)矩陣的特征值落在收斂I內(nèi)時則f A zk0k稱之為A關(guān)函數(shù)f(z)的矩陣函數(shù)例如，對于收斂半徑r=+的冪級z2z31zL;zz3z5z2z4sinzzL;cosz 1L例如，對于收斂半徑r=+的冪級z2z31zL;zz3z5z2z4sinzzL;cosz 1L;4!根據(jù)上述的定義, 有矩陣指數(shù)函數(shù)和矩陣三角函數(shù))A2 I A2!LAcosA I 2!L;4!sinA AL;對于收斂半徑r=1的冪級zz3

17、1ln(1 z) zL1 1 z z2 zL23相應(yīng)的有2A1I A I I L23L23cos2 A A為n階Householder矩陣注意,A是Householder矩陣則滿足 AHA A2n I cos2 A A為n階Householder矩陣注意,A是Householder矩陣則滿足 AHA A2n I 2A22A42 A22ncos2 A L L2!4!2 2 222n LLAAA22! 24! 222n2n!1LL 2!4!cos2I I現(xiàn)在利用矩陣的Jordan分解寫出矩陣函數(shù) f(A) 的具體表達首先介紹一個引f zz現(xiàn)在利用矩陣的Jordan分解寫出矩陣函數(shù) f(A) 的具體

18、表達首先介紹一個引f zzk是收斂半徑為r的冪級數(shù)J 是特征值引理3.1ikkri 的ni階Jordan塊陣, 則fn1 f L0iini 1 f f M（3-OOf iii根據(jù)定理3.2,Ji 故,矩陣級k絕對收斂ma kkk記其和函數(shù)f(J ）先考慮根據(jù)定理3.2,Ji 故,矩陣級k絕對收斂ma kkk記其和函數(shù)f(J ）先考慮它的前m+1項部分Sa i01OOO 0Ji iIn N 其NN 且因10ij+210M01OLO0OjOON=01j n 1jNiOO0注意到：i NNi因k I N LC kk Lk1jC kJjNikiijjmink ,1,（3-進一步mmmLC k k因k

19、I N LC kk Lk1jC kJjNikiijjmink ,1,（3-進一步mmmLC k kkakk1Caakkkik OmmmkC kk kaC k jkaakkkim kJOMOimmkkkC k1imkakik k(k 1)L(k j 1) j!mk注意到C a 則jS記kkk 1Lk jj!mka jSjmk m1 a C k akk k1 Lk j1 kkk 1Lk jj!mka jSjmk m1 a C k akk k1 Lk j1 kkj!1k jSm( jj!kkij!k 表S( jS的j階導(dǎo)數(shù)imma kkk1akikikkmk k 1 kikikmkk 1Lk k j

20、,S( j故kiik S mk jjmink ,1,a C k iij!mmLmC k kkaC S mk jjmink ,1,a C k iij!mmLmC k kkaC kk1aakkkik Ommk mkk1CaC kkjaakkkikmkJOMOimmkkkC k1imkakik( jf( jL S( jf( jL SLiiijO ( jf( jOfJi j=OOMO fiii(im(ilim f根據(jù)矩陣(冪)級數(shù)及數(shù)項級數(shù)的性質(zhì)知,應(yīng)m因此引理得證f zzk是收斂半徑為r的冪級數(shù),J 引理f zzk是收斂半徑為r的冪級數(shù),J 引理3.1kikr則特征值為i的Jordan塊, n 1i

21、ini Mfi f Ji f i OOf ifza zkr的冪級數(shù)J是收斂fza zkr的冪級數(shù)J是收斂半徑推論k0ik r特征值為i的Jordan塊, 則n 1iini Mfi f Ji f i OOf if(z) a zk是收斂半徑為r的冪級數(shù)J是特征值推論3.5kk0的ni階Jordan塊陣f(z) a zk是收斂半徑為r的冪級數(shù)J是特征值推論3.5kk0的ni階Jordan塊陣r則(n n1tftifttit Liin 1iftJifti（3-OOMtfti證 設(shè)Ji是關(guān)于特征值為i的Jordan塊，那么由（3-2）式kf kkaJkiiki證 設(shè)Ji是關(guān)于特征值為i的Jordan塊，

22、那么由（3-2）式kf kkaJkiikiLLC k kC k1iLC C kk 1kikatOOOMkC k1kit kkk k1 Lk j1 kktt kkk k1 Lk j1 kkt1LLOjitiij!Ot tkkkLO1iikkk k1 Lk j1 tij!OkOOOkktkiOt itjtjjkLtLtOMOj jOOj kkaMkOOtf zkzkkjaLkkkf zkzkkjaLkkkOkatkaMkk jtOOO kMOtakkOk kif zkzkkt f f zkzkkt f t j!LLf t fOMOtj! fjOOOOMt ff i從而，得到(3-3)式的結(jié)果tt從

23、而，得到(3-3)式的結(jié)果ttitiOLt ftiOLtMtOOtiftJiMOOt fti練1ini Mfi f Ji f 練1ini Mfi f Ji f i OOf ie 2J=ii練習(xí)n1tftfttf tiLiiif tJi 練習(xí)n1tftfttf tiLiiif tJi M2t3t=06220e2iJitee根據(jù)上面的引理和矩陣級數(shù)的性質(zhì),f zzk為收斂半徑根據(jù)上面的引理和矩陣級數(shù)的性質(zhì),f zzk為收斂半徑為r的冪級數(shù)A 為n定理設(shè)kkJdiagJ, J L, J 。當(dāng)A的特方陣A=TJT-1為其Jordan分解2s1 r 其中為A的任意特征值,值均落在收斂圓內(nèi)時,a矩陣冪級絕

24、對收斂,并且和矩陣kkdiagf Js fA（3-,TT其中f(Ji)的定義如表達式（3-1）注意, 若A的特征值為 , f n ,Lf(A的特征值應(yīng)證明定理3.3,事實kkTJT1 TJT1TJT1LTJT1=T J J JLJT1=TJkTT aka TJT1f A k證明定理3.3,事實kkTJT1 TJT1TJT1LTJT1=T J J JLJT1=TJkTT aka TJT1f A kkk 1AT J則kkkkkkkkTa Jka Jka Jk TdiagTf Jak TtTJkkkktk Atfakk1a tkJTT kkdiagk a 1Ta,k2kskkkTdiagf tJTf

25、 tJtJ2 fLfAT diagf Js ,T f Ji f JfAT diagf Js ,T f Ji f JTTiOf Ji其1ini Mfi f Ji f ii OO2sf idiagf tJ1 ,f tJs f tJ2 f tA -1L f tJ1diagf tJ1 ,f tJs f tJ2 f tA -1L f tJ1f tJT T-2Of tJs其n1tftfttit LiiiOOMftii 12L, s8 30A6 3sinA例設(shè)53根據(jù)3例6, 矩陣A的Jordan分解解1 211 431 0 0A TJT8 30A6 3sinA例設(shè)53根據(jù)3例6, 矩陣A的Jordan分解

26、解1 211 431 0 0A TJT 2 1 0 02 diagf JT1 ,f JsinA f A因此123 11243 1 0 00 2 0 2 0121設(shè) A1例求0 解 根據(jù)矩陣的Jordan 分 01 1101 1 1A則2 2 121設(shè) A1例求0 解 根據(jù)矩陣的Jordan 分 01 1101 1 1A則2 2 11diagf T,f f Ate1201 1et101 1 teeAt et 1e2t t 1 001 (1t)e2t 1 (1t)e2t 0120A0etA練設(shè)114000 detI A0120A0etA練設(shè)114000 detI A32 解1AA3A2 0由Ham

27、ilton-Caylay定A5=A4=A2, Ak+1=A2, k=1, 2, 即tA2tA3tA4eItAL于2!4!ttt I tAL 2 2!4!et I tAet 1tA22341t L2!4! I tAet1tA20 0120001A0 01 I tAet1tA20 0120001A0 0111t000001000100 00t 1t11ttt10t2t1012tt1t為避免求矩陣A的的Jordan 分解，也可用有限待定系數(shù)計算f(A和f(At)有限待定系數(shù)設(shè)且為避免求矩陣A的的Jordan 分解，也可用有限待定系數(shù)計算f(A和f(At)有限待定系數(shù)設(shè)且mmdet I A L12s（

28、3-12ss其中mi(i=1,2,s)均為正整數(shù), n, ,L f 為A的不同特征值f t（3-為計算矩陣函f tkA tk 記kkftp,tq,t改寫p ,t是含參數(shù)t 的冪級數(shù)n-1的 的多項式，q t是含參數(shù)t且次數(shù)不超q ,tttn2tbL n20由Hamilton-Cayley定理知 A O 于是由（3-5）式fAtpA,tAq由Hamilton-Cayley定理知 A O 于是由（3-5）式fAtpA,tAqA,ttLbtAb t10可見，只要求b0 tb1 tL, bn1 t即到f(At)注意 j;1ii將（3-6）式兩端對求導(dǎo)，并利用上式，f tddjq ,tdjfudjq,t

29、ddt（3-即duu2 ;1,為未知量的線i由（3-7）式即得到b0 tb1 tL, bn1 t方程用有限待定級數(shù)法計算矩陣函數(shù)f(A) 和f(At)的步驟如下（一）求矩陣A的特征多項式（3-用有限待定級數(shù)法計算矩陣函數(shù)f(A) 和f(At)的步驟如下（一）求矩陣A的特征多項式（3-q ,tttn2t根bL （二）n20fj j 0,1,L,m 1;i 1, 2,L,jjtii i或 jj j 0,1,L,m 1;i 1, 2,L,fiiib0 b1 Lbn1 列出線性方程組,并求（三）計算f(tA當(dāng)取t=1時為f(A) =q(AqAtLbtAb t10例3 用有限待定級數(shù)法（1）計算sinA

30、；（2）計算 e。308 0A6 3其例3 用有限待定級數(shù)法（1）計算sinA；（2）計算 e。308 0A6 3其5010detI A解首先fsinq b bb 2(1210f t p ,t q,t因此，由（3- f 1sin1b cos1 102sin1 q1 f1解q1f11 2A b Ab I 2fb sinA即于是2108 8 303306 sin1cos16 1sin A3525010001sin1 0A b Ab I 2fb sinA即于是2108 8 303306 sin1cos16 1sin A3525010001sin1 021702 3sin18sin1cos1 0sin

31、1cos1 12 6cos1 3sin16sin12sin15sin192020sin1 cos1 10204cos10sin1 8120260sin14cos1 102qb t2b tb tf tet(2210ftp,tq,t因此，由（3-qb t2b tb tf tet(2210ftp,tq,t因此，由（3- q1b b b f tett1t 2 210 q1b ft 解 t t21q1 ftt t22ftAb tA2btAb tI , =于是2108 30308 tt t2et6 =1t 3632 55t 0010t200e17t2et01t203t t2et3t t2et8t t2et

32、6t t2et5t 7t2et01t203t t2et3t t2et8t t2et6t t2et5t t2et20t t2et0 3t2eteAt 2et2 t922ettt1t 2 00t1t 2 002t1t002 14t0 e14tet0還可以（）ACnn, 總（1sincosA cos cosAisin還可以（）ACnn, 總（1sincosA cos cosAisin A,cosA1, sin A 1eiAeiA eiA （2eiA22AB=BA,A,BCnn（1）eAeAeB BA 2 3 e e LI L（2）sin(AB)sin AcosBcosAinA 2ABBA LI A+

33、 B2sin Asi2!BkA+ Bk eAcos2A2A若A=B，sin2A2sin Acos對任何n階方陣A,eA總是可逆矩陣需的對任何n階方陣A, sinA與cosA不一定可逆 0例取A， 2 對任何n階方陣A, sinA與cosA不一定可逆 0例取A， 2 sin00sin A 不可逆012000cosA 不可逆2 0（1）deteA , （2）e A,（3）A A（1）deteA , （2）e A,（3）A A則eiA是酉陣（4）若A為1,2,L,由定理3（A的特征（1）設(shè)A的特征證f n , 知1,2,L,n ,則矩陣f(A)的特征e1 ,e2 ,L,en 特征值從deteA e1

34、e2 e12deteA etrA 0故eA總是可（2）從eA e0 eAeAeAAA-（3）N1N1 kkkN 時，ASkkNAA（3）N1N1 kkkN 時，ASkkNAAeefATfAT （4）eiA H所eiAH iAe故eiA eiAH e-則eiA是酉陣-eAeAeAeB或eBe不一定成當(dāng)值得注例0 0 BA 則 AB eAeAeAeB或eBe不一定成當(dāng)值得注例0 0 BA 則 AB A0, B 10100而且易知，A和B的特征值均01AB10又A+B的特征值為 1, 1顯然A的Jordan分解為A 111000 1B的Jordan分解為0由定理3.3 1 e0 1 111 0eA0

35、100 0110 e1 1e由定理3.3 1 e0 1 111 0eA0100 0110 e1 1eBeA Be 2eAe則10 1211A+B的Jordan分解為AB 1210 2 1eee1 Ae1e1從ee212eAeAeAeeBe即從10 2 1eee1 從10 2 1eee1 Ae1e1ee122即eAeAeBeeAe11111111A; 解：注意求eAtsinAt其t311111則2t11111111A; 解：注意求eAtsinAt其t311111則2tet2et6Tt2TeA teTeA t3tet2 同2tsintA6t3tsint函數(shù)矩陣的微函數(shù)矩陣的微在研究微分方程組時，為

36、了簡化對問題的表達及求過程，需要考慮以函數(shù)為元素的矩陣的微分和積分；在究優(yōu)化等問題時，則要碰到數(shù)量函數(shù)對向量變量或矩陣量的導(dǎo)數(shù)， 以及向量值或矩陣值函數(shù)對向量變量或矩陣量的導(dǎo)數(shù)3.3.1 相對于數(shù)量變量的微分和積t)的每一個元aij(ti 1, 2L, 3.3.1 相對于數(shù)量變量的微分和積t)的每一個元aij(ti 1, 2L, mA定義3.5如果j1,2,L,定在a,b上均為變量t的可微則稱A(t)且A(t) d a (t)dA(t)例t1costA(t) A(t)則t410由定義可以驗證矩陣導(dǎo)數(shù)的如下運算性質(zhì)設(shè)A(t)、B(t)是可進行運算的兩個可微矩陣，定以下的運算規(guī)則dddAtBtAt

37、 B 設(shè)A(t)、B(t)是可進行運算的兩個可微矩陣，定以下的運算規(guī)則dddAtBtAt B tdd A(t)B(t) d A(t)B(t)A(t) B(t)d dt A(t)A(t)其中為任意常（4） 當(dāng)u=f(t)關(guān)于t可微時ddA(u)fdtA-1(t)為可微矩陣時（5）dA1(t) A1(t) A(t)A1(t)dA( t 由仍是函數(shù)矩陣如果它仍是可導(dǎo)函數(shù)矩陣，則d定義其二階導(dǎo)數(shù)不難給出函數(shù)矩陣的高階導(dǎo)數(shù) dk-ddA(tdtk1只就(2)、(5)證之 ( dA( t 由仍是函數(shù)矩陣如果它仍是可導(dǎo)函數(shù)矩陣，則d定義其二階導(dǎo)數(shù)不難給出函數(shù)矩陣的高階導(dǎo)數(shù) dk-ddA(tdtk1只就(2)

38、、(5)證之 ( t)A, 則mn pd dt nt dAtnnd t ttdtmmkkd d t tmknktd bt nm ttmk d AtBtAt Bt（5）由于A(t)-1A(t)=I , 由性質(zhì)(2)，兩端對t求d A1tA(t) A1(t) At (t)從證dtd At不一定（5）由于A(t)-1A(t)=I , 由性質(zhì)(2)，兩端對t求d A1tA(t) A1(t) At (t)從證dtd At不一定成立dAtmAm1(t)注dt例如,對m=2,d A(t)1tt A(t) 則3 t3t 2t2,t 432tdA2(tA (t) 2又dt0t 而2Attt2t22tdAt t

39、At 0AtAt,時成立d dtA2t 2AtAtAt故定理設(shè)n階方陣A與t無關(guān), d etAetddAcos(tA)cos(tA)sin(tA) dcos(tA) Asin(tA)sin(tA)定理設(shè)n階方陣A與t無關(guān), d etAetddAcos(tA)cos(tA)sin(tA) dcos(tA) Asin(tA)sin(tA)dt證etA只證(1),(2)和(3)的證明與(1)類似tkkA 并利用絕對收斂的級數(shù)可以逐項求導(dǎo)的性kkd etAtkkd tkd tkk dtk!ddtkkktkk1 A(k1) !kcosA I 2!L;4!下面利用性質(zhì)2， 進行矩陣計A 1sin4t 2s

40、in4t2sin4cosA I 2!L;4!下面利用性質(zhì)2， 進行矩陣計A 1sin4t 2sin4t2sin4t,求練3 sin4tA 14cos4t8cos4t2cost Acoss34cos4t8cos4tcos令t=0,并注意cos0=I則A 14cos08cos02cos016 233934cos08cos0cos練習(xí) etA 已e2t練習(xí) etA 已e2t求由 = AeAt3et 令，并注意則 2e0 4e0 6e0 1A 2e0 136e0 3e0 4e0t)的每一個元素aij(t)都是A定如果t0,t1上的可積函數(shù), 則定義A(t)在區(qū)間t0,t1上的積a tdtttA t d

41、t 11t)的每一個元素aij(t)都是A定如果t0,t1上的可積函數(shù), 則定義A(t)在區(qū)間t0,t1上的積a tdtttA t dt 11t01e11tsint1Atdt A(t) 例則12t404容易驗證如下運算法則tt ,A(t)B dtA(t)dt 111B(t)tA(t)Bdt A(t)dt Bt11其中B為常數(shù)ttAB(t)dt A B(t)dt11其中A為常數(shù)（3）當(dāng)A(t)在a，b上連續(xù)可微時，對（3）當(dāng)A(t)在a，b上連續(xù)可微時，對任意t A()d ta（4）當(dāng)A(t)在a，b上連續(xù)可微時，對任意bd A(t)A(b)a相對于矩陣變量的微設(shè)X xij ,f(X) i1,2

42、,L相對于矩陣變量的微設(shè)X xij ,f(X) i1,2,L,定1n,x21,L,xmnj12,Ln都f 為mn元的多元函數(shù)且 xf(X)對矩陣X的導(dǎo)數(shù) f L df X LL df , df f(x) f( , ,設(shè)x )T df , df f(x) f( , ,設(shè)x )T ,n元例nn解 根據(jù)定f df dxTn 12以x為自變量的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f(x)n 12稱為數(shù)量函數(shù)對向量變量的導(dǎo)數(shù),即為高等數(shù)學(xué)學(xué)過的函也記gradf梯度向a a a Lx , ,L,為常向量例2-12nn xTa, f(a a a Lx , ,L,為常向量例2-12nn xTa, f(x)x,a=aT 。為向量變量,

43、n，j1,2,L,f (x) aiiaj解由，j所 1 f M 2an M n df , A例3設(shè) x ,L, f(x)=xTAx12nnnnj1Lk akj解：fx) n anjLjjdf , A例3設(shè) x ,L, f(x)=xTAx12nnnnj1Lk akj解：fx) n anjLjjij nLL a a所kkkkjnnakjj jk 1,2,L,nna1j j1AA nna2jai Ax TxTdf j2MMMnn a in n j2特別地,當(dāng)A時對稱矩陣時2ARmnbRm，xRnf2ARmnbRm，xRnfx) Ax練習(xí)2解：f(x)Axb，Axb AxAxb2Ax2xTATbTAxb xTATbT-bTAx -xTATxT ATAx-ATx-xT ATbbT從而,由例7-1、例2ATAx-ATb2ATAx-ATb-AT返矩陣在微分方程中的應(yīng)性控制系統(tǒng)中，常常涉及求解線性微分方程矩陣函數(shù)在其中有重要的應(yīng)用。