1、第二章 矩陣代數(shù)第三節(jié) 逆矩陣與矩陣的初等變換2.3.1 逆矩陣則矩陣 稱為 的可逆矩陣或逆陣.一、概念的引入在數(shù)的運算中，當數(shù) 時，有其中 為 的倒數(shù)， （或稱 的逆）； 在矩陣的運算中，單位陣 相當于數(shù)的乘法運算中 的1，那么，對于矩陣 ，如果存在一個矩陣 ,使得二、逆矩陣的概念和性質(zhì) 定義 對于 階矩陣 ，如果有一個 階矩陣 , 則說矩陣 是可逆的，并把矩陣 稱為 的逆矩陣.使得例 設說明 若 是可逆矩陣，則 的逆矩陣是唯一的.若設 和 是 的可逆矩陣，則有可得所以 的逆矩陣是唯一的,即又因為所以定理1 矩陣 可逆的充要條件是 ，且 證明若 可逆，按逆矩陣的定義得證畢奇異矩陣與非奇異矩陣

2、的定義推論證明逆矩陣的運算性質(zhì)證明例1 求方陣 的逆矩陣.解三、逆矩陣的求法例2注意：A是已知的矩陣，所求的矩陣要用A、E表示例3解給方程兩端左乘矩陣給方程兩端右乘矩陣得給方程兩端左乘矩陣解例4四、小結逆矩陣的概念及運算性質(zhì).逆矩陣的計算方法逆矩陣 存在思考題思考題解答答克拉默法則設線性方程組則稱此方程組為非 非齊次線性方程組;此時稱方程組為齊次線性方程組.非齊次與齊次線性方程組的概念一、克拉默法則如果線性方程組的系數(shù)行列式不等于零，即其中 是把系數(shù)行列式 中第 列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即那么線性方程組 有解，并且解是唯一的，解可以表為證明再把 個方程依次相加，得

3、由代數(shù)余子式的性質(zhì)可知,于是當 時,方程組 有唯一的一個解由于方程組 與方程組 等價,故也是方程組的 解.定理 如果線性方程組 的系數(shù)行列式 則 一定有解,且解是唯一的 .例1 用克拉默法則解方程組解例2 用克拉默法則解方程組解1. 用克拉默法則解方程組的兩個條件(1)方程個數(shù)等于未知量個數(shù);(2)系數(shù)行列式不等于零.2. 克拉默法則建立了線性方程組的解和已知的系數(shù)與常數(shù)項之間的關系.三、小結2.3.2 矩陣的初等變換引例一、消元法解線性方程組求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程解用“回代”的方法求出解：于是解得（2）小結：1上述解方程組的方法稱為消元法 2始終把方程組看作一個整體變

4、形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于的數(shù)乘某個方程；（3）一個方程加上另一個方程的k倍（與相互替換）（以替換）（以替換）3上述三種變換都是可逆的由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的故這三種變換是同解變換因為在上述變換過程中，僅僅只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進行運算，未知量并未參與運算若記則對方程組的變換完全可以轉換為對矩陣B(方程組（1）的增廣矩陣）的變換定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換定義2 矩陣的初等列變換與初等行變換統(tǒng)稱為初等變換 初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同 同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號是把“

5、r”換成“c”)逆變換逆變換逆變換例如，兩個線性方程組同解，就稱這兩個線性方程組等價用矩陣的初等行變換 解方程組（1）：特點：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個臺階 只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，即非零行的第一個非零元例如，特點： 所有與矩陣 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類，標準形 是這個等價類中最簡單的矩陣.三、小結1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換, 且變換類型相同2.初等變換四、初等矩陣1、對I施以第（1）種初等變換得到的矩陣。1111002、對E施以第（2）種初等變換得到的矩陣。3、對I施以第（3）種

6、初等變換得到的矩陣。k五、初等矩陣與初等變換的關系對矩陣 施行一次初等行（列）變換，就相當于在A的左（右）邊乘上一個相應的m （ n）階初等矩陣。六、初等矩陣的基本性質(zhì)（1）初等矩陣是可逆矩陣，而且它們的逆矩陣也是初等矩陣。（2）初等矩陣的轉置仍是初等矩陣。例1對A施以第3種初等列變換：552相當于七、用初等變換求逆矩陣解例2化A為D的形式：定理A為n階可逆矩陣它能表示成一些初等矩陣的乘積。n階可逆矩陣A與I等價。AI(2,1(-2)I(3,1(3)I(3,2(-2)I(3(1/2)I(1,3(-1)I(2,3(2)=E以上矩陣得初等變換可以用初等矩陣表示為只用初等行變換將A變換為I也可只用初等列變換將A變換為IA I-1(2,1(-2) I-1(3,1(3) I-1(3,2(-2) I-1(3(1/2) I-1(1,3(-1) I-1(2,3(2)設 可逆，使所以求逆矩陣的方法：例3解0-3-80-21所以也可用初等列變換例4. 求矩陣XAX = C, 若A可逆，則X = A-1C, 因為A-1AE則A-1（A,C) = (A-1A, A-1C) = (E, X)例6. 設矩陣與矩陣X滿足AXBC，求矩陣X解：因為XBA-1C，A-1(A,C) = (E, A-1C)行變換XDB-1c1+3c2-1c2小結A可表示為一些初等矩陣的乘積。求逆矩陣的方法：(1)、求伴隨矩陣