1、利用“對稱美”探究解題思路示例摘要：在探究數學問題解決時，解題主體通過選擇使用某個范疇性框架賦予外在數學化信息以意義，獲得思 路.對于一類問題，“對稱美”審美意向所萌生的心理內驅力，形成了探究解題思路的維持與不斷展開的思維動力.數 學教師在教學設計及其課堂實施時，力求啟發學生萌生審美意向，形成探究解題思路的過程.主要以“不等號”或“分數線”等這些提示數式結構“對稱性”信號的例子說明之.關鍵詞：不等式證明；審美意向；“對稱美七教學設計在探究數學問題解題思路的教學活動中，啟發 學生萌生指令操作具體行為活動的“念頭”（一種起 始性的數學觀念）非常重要，除了經驗提供的再生性 思維具有直覺性提示的“念頭

2、”以外，往往還需要 創造性思維支持的全新“念頭”的出現，才能較好地 獲得解決問題的思路.那么，這種由創造性思維所萌 生的“念頭”出自于哪些心理活動過程呢？在探究不 等式證明思路的教學設計及其課堂實施中，如何啟 發學生通過創造性思維萌生指導學生操作行為的合 適“念頭”呢？這里從“對稱美”審美意向的內涵展開 教學設計及其課堂實施研究.1 “對稱美”的內涵及其在數學中的體現提起“對稱美”，直覺的理解需要借助于空間圖 形形象的幫助，但這種直覺并不能很好地達到本質 認識.關于“對稱美”，其源頭出于黑格爾在美學中 的論述，“美就是理念的感性顯現#2148.黑格爾在論 述抽象形式美時，他將美的要素分類為整齊

3、一律、平 衡對稱、符合規律與和諧這四種具體形式.他指出， “平衡對稱脫胎于整齊一律，并不只是一種抽象地一 致的形式，而是結合到同樣性質的另一種形式，這另 一種形式但就它本身來看，也還是一致的，但是和原 來的形式比較起來卻存在不一致的因素，由于這種 結合，就必然有了一種新的、得到更多定性的，更復 雜的一致性和統一性的結果”%9.由此認識到，“對 稱美”是主體審美意向賦予了外在信息內容以四種 美的具體形式中的一種形式.整齊一律是指反映到主體意識結構中的對象信 息輪廓中，具有對于某一個環節的重復性與依賴性 的特點.例如，當投一枚石子進入一個水面平靜的池 塘時，石子所引發的圈圈漣漪，就具有這種重復性與

4、 依賴性的特點.那些難以出現重復性特點的信息元 素中可能存有平衡對稱的特點，平衡對稱不再像石 子投入水面平靜的池塘時所引發起的漣漪那樣具有 不斷重復擴展的性態，而是形成了信息元素的某些 獨立性的特點.平衡對稱表現為在某個局部整體中 的信息要素滿足一定條件的成對出現，這個條件的 直觀理解在于成對出現的信息要素中的一個信息點 構成了另一個信息點的心理“鏡像”形式，“對稱美” 就蘊含于這種理念中.將黑格爾平衡對稱所形成的“對稱美”理念應用 于數學教學中，許多老師已經做了不少工作.但是! 其基礎性觀念就是借助于信息的這種“鏡像”的直觀 形式.在數學教學設計及其課堂實施領域，一系列的 研究成果都只是基于

5、這種“鏡像”形式的“對稱”，到 此便停止了，沒有再向前深入一步.例如，黃美蓮%為指出“教師首先要引導學生正確 領悟數學中數字的對稱美、圖形的對稱美、公式的對 稱美，以及形式和結構的對稱美（引導學生學會利用 數學本身的對稱來為數學問題提供解題條件，.黃老 師將關于空間圖形直觀形式的“對稱美”拓展到了數 式形式上的“對稱美”，增加了數學“對稱美”的內容! 相應地增強了“對稱美”的功效.唐金波等由主要從理論上提出了關于“對稱美$ 審美意向的教學價值，不過，他們也是從數學“對稱 美的“鏡像形式出發的，強調了其客觀性的一面. 其他相關文獻也都基本上是從“鏡像形式出發，討 論數學教學中的“對稱美的，這里不

6、再一一羅列.因此，這些研究成果都沒有揭示出“對稱美在 數學中所使用的符號形式的信號提示，遑論利用信 號提示，啟發學生從中萌生探究解決數學問題思路 的思維動力.因此，這是本研究的著力點之所在.由于數學知識的特點主要是通過概念及其表達 所使用的符號作為載體，用以刻畫空間形式或數量 關系的結構，以反映主體的認識及其結果.因此，在 寫成結論的數學表達中，作為反映客觀世界中的空 間形式或數量關系的具體符號表達式，所形成的數 式結構的這種平衡對稱的獨立性是非常容易得到體 現的.在數學解題及其教學中，在探究數學問題所提 供的外在信息時，解題主體通過選擇某些必要的信 息元素，組織成信息輪廓，據此輪廓賦予這些信

7、息要 素以具體的知識結構意義，與生俱來或通過后天培 育發展起來的審美意向（將信息元素按照解題主體 所形成的理念塑造信息要素組成輪廓的心理內驅 力）起著非常重要的作用房& .因此，主體在處理信息 時總是從自己已經掌握了的某種理念出發，希冀把 外在信息元素組織成符合審美心理內驅力的輪廓結 構，當主體的這種心理內驅力消解完畢時，審美意向 的作用也就結束了，有價值的解決問題思路也就應 該隨之出現了.在使用分解、排列、組合等結構性手段處理數學 問題提供的信息時，由聯想或想象補充原始信息的 不足之處，解題主體在智囊中所形成的“念頭非常 重要，這些“念頭構成了指令解題主體操作信息行 為的數學觀念，構成了探究

8、數學問題解決思維動力 的主導性因素.在真實的思維活動過程中，經驗、聯 想、想象、審美等思想要素都是形成“念頭時思維展 開的原始動力句.由此可知，在探究較為困難的數學 問題解題思路時，解題主體的審美意向將直接起著 非常重要的作用.因此,作為形式美的數學結構中的平衡對稱性的 特點，是經過“人化了的抽象產物，是運用符號（或圖 形）語言表示出來的.在這些符號與圖形中，存在具有 作為審美意向信號的表征性符號，例如，“等號“不等 號所連接的等式、不等式兩邊所形成的對稱形式! “分數線所連接的分子分母的對稱形式等.這是因為 數主要是用符號語言表示客觀事物的空間形式與數 量關系，因此，符號形式表達的平衡對稱所

9、定性的地 方，正是客觀事物本身所定性的結果，也就是以外在 的不能顯出主體的生氣灌注作用的客觀形式為基礎! 通過表達數學概念與知識的符號將其轉化為主體生 氣灌注的主觀形式.當主觀形式正確地表達或反映 了客觀形式時，兩種形式的同一E且使用合適符號 的正確表達就建立起了標準化的數學知識.因此，在具體的數學知識中，平衡對稱的形式要 素俯拾皆是，圖形結構形式中的平衡要素對稱自不 必說,數式結構形式中的平衡對稱也是非常多的.例 如，除了上面所述的等號、不等號與分數線構成形式 “對稱性的信號外，還有互為相反數；“函數與“自 變量的對稱形成的“反函數概念；偶函數定義中的 f）-X）=LA）等，都是“對稱美所具

10、有的信號性 體現.這些信號就會提示數學解題主體萌生“對稱 美審美意向，形成探究問題思路的心理內驅力.“對 稱美審美意向的不斷實現過程，就是解題主體心理 內驅力的不斷釋放與消解過程.2利用“對稱美”審美意向探究不等式證明 思路示例由于學生來自于基因遺傳或經受后天訓練所萌 生與定型了的對稱美審美意向的作用，當其面臨 外在數學化信息時，就會立即自覺地利用這種整齊 一律、平衡對稱、符合規律或和諧等的審美意向作用 于這些信息，指導學生選擇某些信息要素組織成符 合這幾種美所定型的形式中的某一種形式.如此將 這些信息因素組織成或大或小的輪廓，這就形成了 解題主體的心理內驅力，這種心理內驅力轉化為探 究解決數

11、學問題思路的思維動力，隨著信息因素組 織得符合解題主體的審美理念的逼真程度一步步深 入，這種心理內驅力得以不斷地消解與釋放，往往解 決問題所需要的思路就會出現了 這里主要以平 衡對稱所體現的“對稱美”審美意向為例，說明其在 探究一類不等式證明思路中的應用.1111例1求證：虧+; +TVI).8n 一 1 n師：記1 + 1 + - Vlnn為不等.8n 一 1 n式.那么如何證明這個不等式？生:(省略號表示學生的思維暫時中斷，下 同)師：大家仔細觀察，不等式具有怎樣的特點？ 生1：不等式的左邊是一個(n 1)項和的代 數式形式，而右邊是只有一項的具體代數式的形式.師：生1準確地把握了不等式表

12、現形式的具 體特點.那么如何利用這種特點，探求證明不等式 的思路呢？生2：如果通過計算不等式左邊的(n 1)項 和，從中得到具體的計算結果，那就只要比較這個結 果與Inn的大小就行了.可惜，我不能計算出不等式 左邊的一個具體結果.師：一種好想法.生2的這種想法雖然找不到計 算不等式的左邊得到具體結果，但是分析這種想 法的來源可能是有價值的.生2的想法是源于不等 式中不等號所連接的兩邊代數式應該具有同樣的 特點，不等式的右邊是一項，那么不等式的左邊 也應該是一項.這是由不等號連接的兩邊代數式具 有“對稱性”特點所決定的.這種“對稱性”對于萌生 探究解題思路的新想法有幫助嗎？生3：由不等式中不等號

13、連接的兩邊代數式 具有這種“對稱性”形式特點可知，雖然不等式的 左邊不能通過具體計算得到一項代數式，但是可否 將不等式右邊的Inn寫成一個數列的前(n 1) 項和的形式呢？如果可以的話，那也就滿足了不等 號連接的兩邊具有“對稱性”形式特點.注：在啟發學生探究證明不等式的思路時，數 學教師不能將這種以不等號為指示信號的“對稱性” 直接地奉獻給學生，那樣，學生就不能萌生“對稱美” 審美意向的心理源頭及其產生的有效作用，不能感 受自己在探究思路時啟動思維與思維逐步推進過程 中的由原始動力及其產生后述每個環節的思維動力 的次第展開的心路歷程教學設計及其課堂實施 活動應該從學生最為原始的“念頭”就是計算

14、不等式 左邊(n-1)項的和所得到的具體結果，如所知, 通過評價與審視求這個(n - 1)項的和的心理原 因，而揭示出對稱美的審美意向的心理內驅力，為 生3發生這種心理內驅力的“逆向”轉移奠定了基 礎.這是數學教師必須要認識到的并充分認識到的.師：生3的這種想法可以實現嗎？生4：生3的這種想法是可以實現的.設=k-2n1Inn，則- ln(n 1)，只要把等式的左右k = 2 TOC o 1-5 h z 兩邊分別減去等式的左右兩邊，得(n Inn 一 ln(n 一 77b1) In !故(k In-(這里的 k &2),知 Inn n 一 1k 一 1k 八 1,1,1, 1 n,In ，而歹

15、 + +7 + =,M k 12 3n 1 n kin i-，比較兩個等式，知只要證明,-V kk = 2 kn k,In，就可達到目的；于是，同時脫去這個等式1k1兩邊連加號!知希冀證明-V In - !即證明-Vk k 一 1kln(1 +廠J )就達到目的；由不等式的特點，知k 一 1可以將其轉化為函數形式的不等式，設A 人 k 一 117(由于k&2,知0 V a + 1),則云一 一，于是， k 1 + AT由不等式，知只要證明不等式V ln(1+A)1 + A就行了，這可以通過設函數，利用函數單調性達到目 的.設.(a)一ln(1 + a),知.A)1 + A11a/I | 苔 一

16、 1 | 一V 0 ,因為 0Va +(1 + a)21 + a(1 + a)21,知.(a)在a - (0,1#內單調遞減，所以.(a) V.(0)0,即V ；(1+a),從而知不等式成1 + A立，進而知不等式成立.注：在探究這道題的證明思路時，組織不等式 所提供的外在信息的特點就在于使用“對稱美”審美 意向，就是說，不等式所呈現的形式目前不具有 “對稱美”的特點，而不等號連接的兩邊代數式應該 具有“對稱性”的特點，這就萌生了將不具有“對稱 性”形式特點的代數式轉化具有“對稱性”形式特點 的代數式的“對稱美”審美意向，由此而生成了探究 解題思路的啟動思維與維持思維進展的心理內驅 力，這種心

17、理內驅力對于思維的定向、序化都具有非 常重要的作用.與此同時，由于解題主體長期數據、數式計算的 經驗的浸潤，在認知結構中已經形成了 “化簡”的強 烈數學意識，他們在消解關于不等式的“對稱美$ 審美意向所形成的心理內驅力時，自然而然地就會 聯想到將不等式的左邊通過具體計算變成一項的 結果，從而與不等式右邊的一項形式形成了“對稱 性，可惜這種想法不能經由計算達到目的而生 3卻在這種“對稱性的啟發下，想到了把不等式 的右邊轉化為某個數列的前)一1)項和的形式! 這是可以達到目的的，為生4獲得問題解決思路的 指令行為的“念頭$提供了關鍵性環節的支點.例 2 求證-+ T11T 1們？求證.十3.十十)

18、一 1).十).%師：記 + 成T T. % 為不等2.3.() 1).)式.在獲得了例1的解題思路途徑的方法后，如何 證明這個不等式成立呢？生5：不等式的左邊是一個() 1)項的和的 形式，可是不能經由具體計算途徑，將其轉化為一項 的結果.又由于不等號連接的兩邊具有“對稱性特 點，據此希望試探將不等式的右邊的這個具體常 數1轉化為一個數列的前() 1)項和的形式表達 式.如此，設 ,(U=1, ,(U=1,兩式相減，得a Ok-2k=20.師：怎么辦？生:師：需要檢視不等式與不等式所存在的不 同點，然后對癥下藥，從而探究解決問題的思路.對 此，大家有什么意見？生6：我發現不等式與的左邊的值隨

19、著n 的變化而變化，不等式右邊也應該隨著n的變化 而變化，而不等式的右邊卻是不能產生變化的一 個常數1,因此出現了式這種結論.這個式對于 發現這道題的解題思路沒有幫助.我認為，可能正是 不等式的左、右邊兩邊代數式的不同形式的性質 特點導致了這種方法行不通.注：不等式的形式不能消解“對稱美審美意 向所萌生的心理內驅力，這是因為不等式的左邊 是一個具有以n為自變量的代數式的形式特點，而 其右邊卻是一個具體的常數1的形式特點，這就會 導致解題主體萌生了將不等式的左邊通過計算轉 化為一個常數，或者將其右邊常數轉化為一個以n 為自變量的代數式，這是一種由“對稱美審美意向 所萌生的心理內驅力，這種心理內驅

20、力就是探究這 道題解題思路的最主要的思維原動力之一.筆者的 教學設計及其課堂實施的主要依據，就在于一步一 步地啟發學生的這種推動思維展開的原動力的實 現.師：生6發現的結論應該很有價值.由于不等式 的左邊的變量不可能自行消失，所以它就不可能轉 化為一個常數.那么由于不等號連接的兩邊代數式 的“對稱性特點，不等式的右邊這個常數1,能夠 轉化為一個隨著n的變化而變化的代數式嗎？生7：我想應該找到比常數1小的以n為自變 量的某個代數式X,即X 1,然后再試圖證明. + 1 + ,+ 1 + X就可以達到目的3. ( n 1 ) . n . 了.注：對于不等式可以看做是不等式的一個 “加強不等式的形式

21、.如所知，這種“加強不等式概 念及其決定了產生解題思路的方法也是具體的實際 問題所引起的.這是數學教師在教學設計及其課堂 實施中，必須要注意的問題，通過在“真刀實搶的探 究不等式證明思路的過程中，滲透具體的“加強不等 式的數學意識及其形成的具體方法.數學教師可以 指出，在生7所使用的這種探究證明不等式的證 明思路時，采用的就是一種“加強不等式的途徑，當 然，學生盡管沒有這樣的語言表示，實際上是在執行 “加強不等式的數學觀念，它對于某些類型的問題 是一種必要的方法.師：好想法！那么這個X應該是什么樣的具體代數式呢？ TOC o 1-5 h z 77 1生&：選擇使用X = % 1進行試探，即證

22、)1111771明一+ +#+ + + (W)設力.32 +() 1). +)設)1 Q=-，貝U ,(u=，兩式相減，得(U=.) M ) 1)1 )2_1 于曰1 于)1() 1) 正 k u 1U U%1U，而！ +%. + #+($ _ 1)2 +2 =，k.。，綜合)。，知希冀證明k =O就可以達到目的了，脫掉$k 一 1 )k不等式兩邊的連加號，知只要證明 + U (k & k =O就可以達到目的了，脫掉$k 一 1 )kU U 1的.注：對于不等式，一般的初中數學教師都會利 用合適的問題，向學生介紹“裂項相消法”探究證明 思路的方法，即使用放大不等式左端的通項1. %)27 =的

23、形式表達式，來探究這()1) 1)個問題的證明思路，但是這種想法可以說不是出自學 生主體所萌生“念頭”，而是教師奉獻給學生的，或者是 學生通過初中學習的經驗記憶產生的，至多只能說成 是一種正確的直覺顯現.學生聽了教師的這種解法， 他們一定會問:老師是如何想到等式。的呢？關于學生提出的這個問題，筆者曾經使用分式 分數線所連接的分子與分母具有“對稱性”特點，由 于1這個代數式的分母出現了變量)，而分子卻是)2常量1，如此發現了它的分子與分母不具有“對稱 性”這樣的特點，這就促使學生產生了關于由“對稱 美審美意向所萌生的心理內驅力.為了消解這種內 驅力，解題主體可以這樣想，因為分母)2不能轉化 為常量，故只能考慮將分子常數1轉化為含有)的 變量這一途徑了，在這種心理內驅力的作用下，將這 個常數1可以具體地變形為1=)一 () 1)這種形的1 = ) 一 )1)這個環節，正是對于關于分數 )線所連接的關于分子與分母