1、易錯點14 立體幾何中的角易錯點1：異面直線所成的角1.求異面直線所成角的思路是：通過平移把空間兩異面直線轉化為同一平面內的相交直線，進而利用平面幾何知識求解，整個求解過程可概括為：一找二證三求。2.求異面直線所成角的步驟：選擇適當的點，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線，這里的點通常選擇特殊位置斬點。求相交直線所成的角，通常是在相應的三角形中進行計算。因為異面直線所成的角的范圍是090，所以在三角形中求的角為鈍角時，應取它的補角作為異面直線所成的角。3.“補形法”是立體幾何中一種常見的方法，通過補形，可將問題轉化為易于研究的幾何體來處理，利用“補形法”找兩異面直線所成的角也是常用的方法之

2、一。4.利用向量，設而不找，對于規則幾何體中求異面直線所成的角也是常用的方法之一。易錯點2：直線與平面所成的角1.傳統幾何方法：轉化為求斜線與它在平面內的射影所成的角，通過直角三角形求解。利用三面角定理（即最小角定理）求。2.向量方法：設為平面的法向量，直線與平面所成的角為，則易錯點3：二面角用向量求二面角大小的基本步驟1.建立坐標系，寫出點與所需向量的坐標；2.求出平面的法向量，平面的法向量3.進行向量運算求出法向量的夾角；4.通過圖形特征或已知要求，確定二面角是銳角或鈍角，得出問題的結果：題組一：異面直線所成的角1（2021年全國高考乙卷數學（文理）試題）在正方體中，P為的中點，則直線與所

3、成的角為（ ）ABCD【答案】D【解析】如圖，連接，因為，所以或其補角為直線與所成的角，因為平面，所以，又，所以平面，所以，設正方體棱長為2，則，所以.故選：D2.(2018全國卷)在長方體中，則異面直線與所成角的余弦值為ABC D【答案】C【解析】解法一 如圖，補上一相同的長方體，連接，易知，則為異面直線與所成角因為在長方體中，所以，在中，由余弦定理，得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選C解法二 以為坐標原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，如圖所示由條件可知，所以，則由向量夾角公式，得，即異面直線與所成角的余弦值為，故選C3(2017新課標)已知直三棱柱 QUOTE 中，則異

4、面直線與所成角的余弦值為( )A B C D【答案】C【解析】如圖所示，把三棱柱補成四棱柱，異面直線與所成角為,，選C4.（2015浙江）如圖，三棱錐中，點分別是的中點，則異面直線所成的角的余弦值是 【答案】【解析】如圖連接，取的中點，連接，則則異面直線，所成的角為，由題意可知，又，則題組二：直線與平面所成的角5. 【2021年浙江卷】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形，M，N分別為的中點，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【解析】（1）在中，由余弦定理可得，所以，由題意且，平面，而平面，所以，又，所以（2）由，而與相交，所以平面，因為，所以，取中點，連接，則兩兩垂直，以點為坐

5、標原點，如圖所示，建立空間直角坐標系, 則,又為中點，所以.由（1）得平面，所以平面的一個法向量從而直線與平面所成角的正弦值為6.（2020北京卷）如圖，在正方體中，E為的中點（）求直線與平面所成角的正弦值【解析】（）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為，則、，設平面的法向量為，由，得，令，則，則.因此，直線與平面所成角的正弦值為.7.（2020年全國2卷）如圖，已知三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，側面BB1C1C是矩形，M，N分別為BC，B1C1的中點，P為AM上一點，過B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：AA1MN

6、，且平面A1AMNEB1C1F；（2）設O為A1B1C1的中心，若AO平面EB1C1F，且AOAB，求直線B1E與平面A1AMN所成角的正弦值.【解析】（1）分別為，的中點，,又,在中，為中點，則,又側面為矩形，,由，平面,平面,又，且平面，平面，平面,又平面，且平面平面, ,又平面,平面,平面,平面平面,（2）連接,平面，平面平面,根據三棱柱上下底面平行，其面平面，面平面,故：四邊形是平行四邊形,設邊長是(),可得：，,為的中心，且邊長為,故：,解得：,在截取，故,且,四邊形是平行四邊形，,由（1）平面,故為與平面所成角,在，根據勾股定理可得：,直線與平面所成角的正弦值：.8.（2020年新

7、全國1山東）如圖，四棱錐PABCD的底面為正方形，PD底面ABCD設平面PAD與平面PBC的交線為l（1）證明：l平面PDC；（2）已知PDAD1，Q為l上的點，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值【解析】（1）證明： 在正方形中，因為平面，平面，所以平面，又因為平面，平面平面，所以，因為在四棱錐中，底面是正方形，所以且平面，所以因為所以平面；（2）如圖建立空間直角坐標系，因為，則有，設，則有，設平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個法向量為，則根據直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線與平面所成角的正弦值等于，當且僅當時取等號，所以

8、直線與平面所成角的正弦值的最大值為.題組三：二面角9. 【2021年乙卷】如圖，四棱錐的底面是矩形，底面，為的中點，且（1）求；（2）求二面角的正弦值【解析】（1）平面，四邊形為矩形，不妨以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，設，則、，則，則，解得，故；（2）設平面法向量為，則，由，取，可得，設平面的法向量為，由，取，可得，所以，因此，二面角的正弦值為.10. 【2021年甲卷】已知直三棱柱中，側面為正方形，E，F分別為和的中點，D為棱上的點 （1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?【解析】因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因為，所以，又

9、，所以平面所以兩兩垂直以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所以，由題設（）（1）因為，所以，所以（2）設平面的法向量為，因為，所以，即令，則因為平面的法向量為，設平面與平面的二面角的平面角為，則當時，取最小值為，此時取最大值為所以，此時11.（2020全國1卷）如圖，為圓錐的頂點，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，是底面的內接正三角形，為上一點，（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值【解析】（1）略；（2）過O作BC交AB于點N，因為平面，以O為坐標原點，OA為x軸，ON為y軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設平面的一個法向量為，由，得，令，得，所以，設平面的一個法向量為由

10、，得，令，得，所以故，設二面角的大小為，則.12.（2020全國3卷）如圖，在長方體中，點分別在棱上，且，（1）證明：點在平面內；（2）若，求二面角的正弦值【解析】（1）在棱上取點，使得，連接、，在長方體中，且，且，且，所以，四邊形為平行四邊形，則且，同理可證四邊形為平行四邊形，且，且，則四邊形為平行四邊形，因此，點在平面內；（2）以點為坐標原點，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、，設平面的法向量為，由，得取，得，則，設平面的法向量為，由，得，取，得，則，設二面角的平面角為，則，.因此，二面角的正弦值為1如圖在直三棱柱中，為等腰直角三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為

11、（ ）ABCD【答案】B【解析】將直三棱柱補成如圖示的長方體，則底面 為正方形，邊長為1，連接 ,則,故 為所求角或其補角，連接,在中， ,故 ,故選：B.2如圖，圓錐的底面直徑，其側面展開圖為半圓，底面圓的弦， 則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D【答案】C【解析】圓錐底面周長為，又其側面展開圖為半圓，則圓錐母線長直角三角形中，,，則分別取、的中點M、N、P，連接、又由O為中點，則，則為異面直線與所成角或其補角.由，可知平面，則在中，,，則在中，則則異面直線與所成角的余弦值為故選：C3在長方體中，和與底面所成的角分別為30和45，異面直線和所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】B

12、【解析】連接，則，所以為異面直線和所成角，因為在長方體中，和與底面所成的角分別為30和45，所以，設，則，所以，在中，由余弦定理得，所以異面直線和所成角的余弦值為，故選：B4（多選題）已知正方體，P是棱的中點，以下說法正確的是（ ）A過點P有且只有一條直線與直線AB，都相交B過點P有且只有一條直線與直線AB，都平行C過點P有且只有一條直線與直線AB，都垂直D過點P有且只有一條直線與直線AB，所成角均為45【答案】AC【解析】選項A.過點P與直線AB相交的直線必在平面PAB內，過點P與直線相交的直線必在平面內，故滿足條件的直線必為兩平面的交線，顯然兩平面有唯一交線，A正確；選項B.若存在一條直線

13、與，都平行，則，矛盾，B不正確；C選項.因為，若則，若，則平面，顯然滿足條件的直線唯一，即，C正確；D選項.取，的中點E，F，連PE，PF，則，若l與直線，所成角為45，則l與PE，PF所成角為45，顯然的角平分線及其外角平分線均符合，D不正確.故選：AC5九章算術中，將底面為長方形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽馬”.在如圖所示的“陽馬”中，側棱底面，點是的中點，作交于點.(1)求證：平面；(2)若平面與平面所成的二面角為，求.【解析】(1)設，如圖，以為坐標原點，所在方向分別為，軸的正半軸，建立空間直角坐標系.則，因為點是的中點，所以，于是，即，又已知，而，所以平面.(2)由平面，

14、所以是平面的一個法向量；由（1）知，平面，所以是平面的一個法向量.若面與面所成二面角的大小為，則，解得.所以，故當面與面所成二面角的大小為時，.6在矩形ABCD中，AB=2，AD=，E是DC中點，連接AE，將ADE沿AE折起，使得點D移動至點P，滿足平面PAE平面ABCE.(1)求證：AEBP；(2)求二面角E-CP-B的余弦值.【解析】(1)證明：在矩形中，連接，記BD=AF=2AEFD,AEFB,AF=2FE 在四棱錐中，線段取點滿足AEOP,AEOB,OPOB=O,AE平面BOP.(2)如圖所示BC設平面的法向量為 設平面的法向量設二面角的大小為的余弦值為227如圖所示，在四棱錐中，底面

15、，是的中點(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值【解析】(1)證明：取中點，連接，如圖，則由中位線可知，又，故，而，四邊形是平行四邊形，又平面，平面，平面.(2)平面，故.在直角梯形中，.，.平面，平面，則，又底面，平面，則，由二面角的定義可知，即為二面角的平面角，又，由余弦定理，8已知三棱錐（如圖一）及其展開圖（如圖二），四邊形ABCD為邊長等于的正方形，和均為正三角形.(1)證明：平面平面ABC；(2)若點M在棱PA上運動，當直線BM與平面PAC所成的角最大時，求點M到平面PBC的距離.【解析】(1)證明：設AC的中點為O，連接BO，PO.由題意，得，.在中，O為AC的中點，在中，.又，AC，平面ABC，平面ABC，平面PAC，平面平面ABC.(2)連接，如圖，由（1）知，平面PAC，是直線BM與平面PAC所成的角，且，當OM最短時，最大，即當M是PA的中點時，直線BM與平面PAC所成的角最大，設點M到平面PBC的距離為h，由可得,因為M是PA的中點，所以，即，即點M到平面PBC的距離為.9如圖，四棱錐的底面是平行四邊形，平面，是的中點(1)證明：平面；(2)若，求直線