1、第 第 1 8 頁(yè)“時(shí)代杯”2022 年中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)邀請(qǐng)賽試題初中組2022 12 20 15:0016:30一二一二三題號(hào)總分1671011121314得分留意事項(xiàng)：4 150 90 分鐘用鋼筆或圓珠筆藍(lán)色或黑色直接答在試卷上答卷前將密封線內(nèi)的工程填寫清楚一、選擇題7 42 分a，b，c 滿足號(hào)a3b2c0，4a2bc0，則acb的值是考113B3C3D3小明有1 張紅色和1 張綠色的卡片，小軍有1 張紅色和2 張綠色的卡片假設(shè)兩人隨機(jī)封地各自取1 張自己的卡片，則取出的2 張卡片顏色一樣的概率為11126名B3C2D3姓3設(shè)a，b，c，d 為4 個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)，其中a 最大記xabc

2、d，yacbd，zadbc假設(shè)xyz，則b，c，d 的大小關(guān)系是AbdcBcdbCbcdDdcb 4xOy 中，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)設(shè)k 為整數(shù)，假設(shè)反校6學(xué)比例函數(shù)yx 與函數(shù)ykx4 圖像的交點(diǎn)中至少有一個(gè)整點(diǎn)，則k 的全部可能取值的個(gè)數(shù)是A1B2C3D4a，b 為正整數(shù)，a2bab，ab，3b 恰好可以是一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)，則此直角三角形的任意一條邊的長(zhǎng)不行能是線A24B25C26D2730 c15 cm12 點(diǎn)時(shí)，圓盤上的指針箭頭豎直向上圓盤沿鐘面邊界滾動(dòng)，則當(dāng)指針箭頭再次豎直向上時(shí)，圓盤與鐘面相切的切點(diǎn)在鐘面的位置是 A2 點(diǎn)B3 點(diǎn)C4 點(diǎn)D6 點(diǎn)二、填空題7 2

3、8 分6 題圖實(shí)數(shù)a 滿足 a5 a1 3，則 a5 a1的值為y2x2 3x6 x 分別取兩個(gè)不同的值x ，x 時(shí)，所對(duì)應(yīng)的函121數(shù)值y 相等，則當(dāng)x 取 x x時(shí)，所對(duì)應(yīng)的y 的值是1ABCD AB1，BC 3，ADE 為R ABCDE即五邊D形ABCDE的每個(gè)頂點(diǎn)都在圓內(nèi)或圓上，則R 的最小值是C9 題圖一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬高各不一樣，且此長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面的面積之和與長(zhǎng)方體的全部棱長(zhǎng)之和的比值只可能是 3，5，7，則該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高之和是三、解答題1112 18 13 20 14 24 80 分1此題總分值18分一輛快車與一輛慢車沿一樣路線從A B 地，所行路程與所用時(shí)間的函數(shù)圖像如

4、下圖求兩車的速度；A，B 兩地間的距離420s(km)O21411題圖18t(h)第 2 8 頁(yè)第 第 3 頁(yè) 共 8 頁(yè)1此題總分值18 分I 的角平分線的交點(diǎn)求證：BI1AIC9012ABC；2IB ICIA BCCA12 題圖1此題總分值20 分a1a x x22xa2(ax)2 ；12x2(x )2811此題總分值24 分q假設(shè)p，q ， p均為有理數(shù)，求證： p， q均為有理數(shù)；q2022y2022zp，q ，r， p q r均為有理數(shù)，求證： p， q， r均為有理數(shù)；2022y2022z2022xx，y，z xyz，求使有三元數(shù)組(x，y，z)2022x是正整數(shù)的所“時(shí)代杯”20

5、22年中學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用與創(chuàng)邀請(qǐng)賽參考答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)初中組一、選擇題7 42 分1A2C3 D4B5D6C二、填空題7 28 分376962372869510 45三、解答題1112 18 13 20 14 24 80 分11設(shè)快車速度為v km/，慢車速度為v km/11212 v 18v ，12依據(jù)圖像可得：4204208 分 vv213v v ，212 222代入得，3 v21，解得v 70，從而v 10512 分12A，B 兩地間的距離s12v 126016分11快車速度為105km/，慢車速度為70km/2AB 兩地間的距離為1260k 18 分1由于I BAABBCA的角平分線的交點(diǎn)，1

6、1所以AIC1802BAC2ACB111802180ABC902ABC，1即AIC902ABC6 分2方法一如圖，過(guò)點(diǎn)I 作II，交AC于點(diǎn)，IEIE因此EICAIC901由于AIC902ABC，1所以EIC2ABCIBC10分CA12 題圖在BIC 和IEC 中，IBCEIC，BCIICE，所以BICIEC，從而BIBC從而IEIC，即IBICIEBC14 分由于BAC90IA 平分BAC，所以IAC45，從而IEA45，即 IAIE因此IBICIABC18 分方法二BIAC EI 在BCE 的角平分線上，IBI所以 BCBIECIE10 分I 為BAC，ABC，BCA 的角平分線的交點(diǎn)，且

7、BAC90，CAE所以 EICIBCICB12 題圖2即EICIAC在 EIC 和IAC 中，由于ICEACI，所以EICIAC，ECEI從而 ICIA14 分有得BCBI ，即 IBICIABC18 分ICIA方法一a1由題意知方程的判別式44 a2()20，a1所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根4 分a又4(a1)22a(a)24(a1 a1)2，12 a2a12所以x1，212x a2 ，xa1a22a2 10 分1a12x2x22x22由1可知，存在y 滿足y，或y，使得y22y8x1x1解得y2，或y414 分y2 時(shí)， x2 2x22x22x1，或 x1x1 3，x1 3x2；y4 時(shí)，

8、 x2 4x22x24x1，或x1x2 x1 3，x1 312經(jīng)檢驗(yàn)，x 1 3，x 1 3，x 2是原方程的解20 分12方法二a1由題意，得到x22x1a21()2，a1aa所以(x1)2(a1)22a()2，即(x1)2(a1)2a1a1 6 分 a)x a2a1a22a21a，x 10 分221a1xx2由1可得(x1)29，所以x1314 分x1x1由x1 x3，得x1 3或x1 3；由x1 x3，得x2x1x112經(jīng)檢驗(yàn)，x 1 3，x 1 3，x 2 是原方程的解1220分解1由題意設(shè) qs 是正有理數(shù)則 p q平方(p2 2，s2qpps2q2sq，所以 q2s 2 分s2qp

9、由于p，q，s 均為有理數(shù)，所以2s為有理數(shù)，所以 q是有理數(shù)同理可得 p是有理數(shù)，故 p， q都是有理數(shù)5 分2由題意，設(shè) p q rs，s是正有理數(shù)，則pqsr，平方得(p q)2(s r)2所以pq2pqs2r2sr，即2pq(s2rpq)2sr 7 分s2rpqAA0s，r，p，q A 是正有理數(shù)A24s2r4pq從而2pqA2sr，得(2pq)2(A2sr)2，即 r4AsA，s，r，p，q 是有理數(shù)，所以 r是有理數(shù)同理 p， q都是有理數(shù)10分3由2知2022x2022，2022，2022，yz則令2022q20222022n ，xpyr ，p，q，s，r，n，m 均為正整數(shù)，zmz且p 與q，s 與r，n 與m 均互質(zhì)14 分2022q由 ，平方得2022p2q2x又p 與q 互質(zhì)，得q2 可以整除2022xp2022x 以外的平方因數(shù)，q21q12022x于是1于是 p2022y同理可得2022yr11120221 18 分zm所以 為正整數(shù)