1、第第 頁共10頁分析法，概括為“執果索因”.分析法也可以作為尋找證題思路的方法，分析后再用綜合法書寫證題過程【變式訓練 3】設函數 f(x)=xa(x+ 1)ln(x+ 1)(x- 1, a0).(1)求f(x)的單調區間；(2)求證：當 mn0 時，(1 + m)n0,所以f(x)在(-1, + 00止是增函數；1-a1 - a當a 0時，f(x)在(-1, e1上單調遞增，在e1 1, 十憚調遞減.(2)證明：要證(1 + m)n(1 + n)m,只需證(2)證明：要證(1 + m)n(1 + n)m,只需證nln(1 +m)vmln(1 +n), 只需證m0),則 gx) = xx 一

2、、ln(1 + x)1 + xx (1 + x)ln(1 + x)由(1)知 x(1 + x)ln(1+x)在(0, + 8 單調遞減,所以 x- (1 + x)ln(1 +x)n,所以g(m)vg(n),故原不等式成立總結提高.一般在證明不等式的題目中，首先考慮用比較法，它是最基本的不等式的證明方法.比較法一般有“作差比較法”和“作商比較法”，用得較多的是“作差比較法”，其中在變形過程中往往要用到配方、因式分 解、通分等計算方法.用綜合法證明不等式的過程中，所用到的依據一般是定義、公理、定理、性質等，如基本不等式、絕 對值三角不等式等.用分析法證明不等式的關鍵是對原不等式的等價轉換，它是從要

3、證明的結論出發，逐步尋找使它成立 的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個明顯成立的事實(定義、公理或已證明的定理、性質等)，從而得出要證的命題成立.所謂“綜合法”、“分析法”其實是證明題的兩種書寫格式，而不是真正意義上的證明方法，并不像前面所用的比較法及后面要復習到的三角代換法、放縮法、判別式法、反證法等是一種具體的證明方法(或者手段)，而只是兩種互逆的證明題的書寫格式. 3不等式的證明(二)典例精析題型一 用放縮法、反證法證明不等式【例 1】已知 a, bCR,且 a+b=1,求證：(a+2)2+(b+2)x2x2(1 + x)【證明】 方法一：(放縮法)因為a+ b= 1,25六2 =右

4、邊.22 (a+ 2)+ (b+ 2)25六2 =右邊.所以左邊=(a+2) + (b+2) 22 =2(a+b)+4=方法二：(反證法)假設(a+2)2+(b + 2)225,則 a2+b2+4(a+ b)+825.由 a + b=1,得 b=1 a,于是有 a? + (1 a)2 + 12 .所以(a_2)20矛盾.故假設不成立，所以(a+2) 所以 1+2 + + nvan21 +3+(2n+1).所以 1+2 + + nvana + b 2 j r , -八22 , 、 ,一2(一2一)2來證明比較好，它可以將具備a2+b2形式的式子縮小.而反證法的思路關鍵是先假設命題不成立，結合條件

5、a+b=1,得到關于a的不等式，最后與數的平方非負的性質矛盾，從而證明了原不等式.當然本題也可以用分析法和作差比較法來證明【變式訓練1】設a0,ai,a2,，ai,an滿足a0=an=0,且有a0 2ai + a2 0,ai 2a2+ a3 0,an 2 2an 1 + an 0,求證：a1, a2,，an 1 0得a2 a a 一 a0.同理，an an 1 an 1 an 2 a2a1a1a。.假設a1,a2,，an1中存在大于0的數，假設ar是a1，a2,，an1中第一個出現的正數.即a1w0,a20,，ar 10,則有 ar a10,于是有 an an 1 an 1 an-2。 a一

6、a-10.并由此得 anan 1an 2 - ar0.這與題設an =0矛盾.由此證得a1, a2,，an-1W0成立.題型二用數學歸納法證明不等式【例2】用放縮法、數學歸納法證明：/nJl2設 an= 1 X2 +，2X3 + n(n+ 1), n N ,求證：-2vanv-2.【證明】方法一：(放縮法),n2n(nn+(n+1)+ 1)v,n2n(nn+(n+1)+ 1)v2，即 n2n+ 12n(n+ 1)所以一2n(n+ 1) an2 , 一 (n +1)21 (n+1)(1+2n+1) an 1)時，不等式成立，即 則當 n= k+1 時，ak+1 = V舉 + 2 X3 +k(k+

7、1) (k+1)2所以2+ y (k + 1)( k+ 2) v ak+1 v2+(k+1)2ak+ 1)(k+2)所以此，2ak+1: k(k+ 1)(k+ 1)(k+ 2)(k+ 1訃+1)=-2+ +1)=2 ,(k+1)2 (k+1) +(k+ 2) k2+4k+4 (k+ 2)22+(k+ 2)22.故當n= k+1時，不等式也成立* * - n(n+1) (n+1)2綜合知當 n(N ,都有 一為一an, , , , e、，一， 一，e 一， 一，、 nn+(n+1)一 .,、.【點撥】在用放縮法時，常利用基本不等式yjn(n+1) 1)假設當n= k(k 1)時等式成立，即 Sk

8、=(2k+ 1)21(2k+1)28(k+ 1)(2k+ 1)218(k+ 1)則 Sk+ 1 Sk+(2k+1)2(2k+ 3)2(2k+1)2 +(2k+1)2(2k+3)2(2k + 1)2(2k+3)2 (2k+ 1)2 2(k+1) + 12 1 (2k+ 1)2(2k+3)22(k+ 1)+ 12即當n= k+1時，等式也成立.綜合得，對任何 n制+ ,等式都成立.題型三用不等式證明方法解決應用問題【例3】某地區原有森林木材存量為a,且每年增長率為25%,因生產建設的需要每年年底要砍伐的木材量為b,設an為n年后該地區森林木材存量.求an的表達式；(2)為保護生態環境，防止水土流失

9、，該地區每年森林木材量應不少于9a,如果b=9a,那么該地區今后 TOC o 1-5 h z 97 2會發生水土流失嗎？若會，需要經過幾年？(取lg 2 = 0.30)15【解析】(1)依題息得a = a(1+ 4)b=ab,5_ 5 55 25 a2=4a1-b=4(4a-b)-b=(4)a-(4+1)b,a3=4a2-b=(5)3a-(4)2+(4+ 1) b，5 c 5555 c 5 c由此猜測 an =(4) a-(4)+(4)+ +4+1b=q) a 4() 1b(n制+).下面用數學歸納法證明：一 ,5當n= 1時，a = 4ab,猜測成立.假設n=k(k2)時猜測成立，即ak=(

10、4)ka4(5)k1b成立.那么當 n=k+1 時，ak+1 = 4akb = 44)ka 4(5)k1bb= (|)k+1a-4()k+1-1b,即當n= k+1時，猜測仍成立.由知，對任意 nCN+,猜測成立.(2)當b=a時，若該地區今后發生水土流失，則森林木材存量必須少于9a,7 29所以(4)na 4(5)n1，梟5, 5兩邊取對數得 nlg 4lg 5 ,所以nlg 5所以nlg 51g 5-2lg 2弋=7.1 31g 2 1 -30.30故經過8年該地區就開始水土流失.【變式訓練3】經過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內，某公路段汽車的車流量 y(千輛/時)與汽車的平均速度v(千

11、米/時)之間的函數關系為 V= 2-20Vacc(V0).V 十 3V 十 1 600在該時段內，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/時)(2)若要求在該時段內車流量超過10千輛/時，則汽車的平均速度應在什么范圍內？ ,920【解析】(1)依題意，y= ,920【解析】(1)依題意，y= 920 600 v 3+(v+)9209203 + 21 600831 600 v=,即v= 40時，上式等號成立，所以ymax=11.1千輛/時).832v - 2v - 89v+ 1 600 V 0,(2)由條件得 2+3 + 6oo10整理得即(v25)(v64

12、)V0,解得 25V vv 64.答：當v= 40千米/時時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時.如果要求在該時段內車流量超過10千輛/時，則汽車的平土速度應大于25千米/時且小于64千米/時.總結提高.有些不等式，從正面證如果不易說清，可以考慮反證法，凡是含有“至少”、“唯一”或者其他否定 詞的命題適用反證法.在一些客觀題如填空、選擇題之中，也可以用反證法的方法進行命題正確與否的判斷.放縮法是證明不等式特有的方法，在證明不等式過程中常常要用到它，放縮要有目標，目標在結論和 中間結果中尋找.常用的放縮方法有：(1)添加或舍去一些項，如 :a2 + 1 |a|, -n(n+ 1)n;(2

13、)將分子或分母放大(或縮小)；(3)利用基本不等式，如 1n(n+1)n+(n+1)；(4)利用常用結論，如Q *而人 k( =kG1 (程度大)；111111k2V k2-1 = (k 1)(k+ 1) = 2(kr k+ 1)(程度小).3.用數學歸納法證明與自然數有關的不等式的證明過程與用數學歸納法證明其他命題一樣，先要奠基， 后進行假設與推理，二者缺一不可. 4柯西不等式和排序不等式典例精析題型一用柯西不等式、排序不等式證明不等式2 222例1設a1, a2,，an都為正實數，證明： 史+及+包+ ana1+a2+ an.a2 a3an a1【證明】方法一：由柯西不等式，有222222

14、.a1 ,a2 , anT(一-F -F +a2 a3ana2 + a3+ , + an+ ai) (-a , -702+ -7= , J03 + -a *Jai)2 = (a1 + a2+ + an)2. ,a21, a3,a1不等式兩邊約去正數因式a + a2+ an即得所證不等式.方法二：不妨設aiWa?w方法二：不妨設aiWa?ww an,則a1wa2ww a2a1a2an1 ,21 ,21,+ an , = a1 + a2+ + an,a2ana2 1+ a2 1+ + a2 ,工+ a2 工 a2 工+ a2 a2a3ana1a1故不等式成立.方法三：由均值不等式有a1a?an+

15、a22a1, +a32a2,，+a12an,將這n個不等式相加得a2a3a12222a1 a2. anT . an .+ + + az+a3+ an+a1 2(小+ a2+ an),整理即得所證不等式 .a2 a3an a1【點撥】根據所證不等式的結構形式觀察是否符合柯西不等式、排序不等式的結構形式或有相似之處 將其配成相關結構形式是解決問題的突破口，有時往往要進行添項、拆項、重組、配方等方法的處理222【變式訓練 1】 已知a +b+c= 1,且a、b、c是正數，求證： + + 9.【證明】 左邊=2(a+b+c)(/一+ ) a+ b b+ c c+ a= (a+ b)+(b+c)+(c+

16、a)(+)(1 + 1 + 1)2=9,a+ b b+ c c+ a(或左邊=(a+b) + (b + c)+ (c+a)(+ 1) a+ b b+ c c+ a TOC o 1-5 h z a+ba+bb+cb+cc+ac+a=3 +b+cc+aa+bc+aa+bb + c3+2+ 2 b c3+2+ 2 b c.c a.c a b c=9)222所以+9.a+b b+c c+a題型二用柯西不等式求最值【例2】 若實數x, y, z滿足x+2y+3z= 2,求x2+y2+z2的最小值.【解析】由柯西不等式得，(12+ 22 + 32)(x2+ y2+z2) (x+ 2y+ 3z)2= 4(當

17、且僅當1 = kx,2=ky,3=kz時等號成立，123結合 x+2y+3z= 2,解得 x=7，y=7, z= 7),所以 14(x2+y2+z2)4jx2 + y2+ z2 7.故x2 + y2 + z2的最小值為2.【點撥】根據柯西不等式，要求 x2 + y2 + z2的最小值，就要給 W+y2 + z2再配一個平方和形式的因式，再考慮需要出現定值，就要讓柯西不等式的右邊出現x + 2y+3z的形式，從而得到解題思路.由此可見，柯西不等式可以應用在求代數式的最值中.【變式訓練2】已知x2+2y2+3z2=17，求3x+2y + z的最小值.【解析】因為(x2+ 2y2 + 3z2)32+

18、 (例2 + (-13) (3x+ /y . #+ 串z %)2 (3x+ 2y+ z)2,所以(3x+2y+z)%12,即2. 3x+2y+zW 2事, 當且僅當X限y一吟z一都，3x+ 2y+z取最小值，最小值為 25.題型三不等式綜合證明與運用【例 3】 設 x0,求證：1 + x+ x2+ x2n (2n+1)xn.【證明】(1)當x1時，iwxw x2ww xn,由排序原理：順序和 a反序和得1 T + x x+ x2 x2+xn xn 1 - xn+x xn 1+ xn j x+xn T,即 1+x2 + x4+x2n(n+1)xn.又因為x, x2,，xn, 1為序列1, x,

19、x2,，xn的一個排列，于是再次由排序原理：亂序和 反序和 得 1 x+ x x2+ + xn 1 xn+ xn 1 1 , xn + x xn1 + + xn 1 x+ xn 1 ,即 x+ x3+ x2n1 + xn(n+1)xn,將和相加得1 + x + x2 + x2n R(2n + 1)xn.(2)當 0vxv1 時，1xx2 xn.由仍然成立，于是也成立.綜合(1)(2),原不等式成立.【點撥】分類討論的目的在于明確兩個序列的大小順序【變式訓練3】把長為9 cm的細鐵線截成三段，各自圍成一個正三角形，求這三個正三角形面積和的最 小值.【解析】 設這三個正三角形的邊長分別為a、b、c

20、,則a+b+c= 3,且這三個正三角形面積和 S滿足：3S= y(a2+ b2+ c2)(12+ 12 +12) (a+ b+ 62=呼？ S乎.當且僅當a=b= c=1時，等號成立.總結提高.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎，有著廣泛的應用.教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認識柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式 的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數極值中的應用.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式 a2 + b22ab.有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡捷的證明.證明排序不等式時，教科書展示了一個“探究一一猜想一一證明一一應用”的研究過程，目的是引導學生通過自己的數學活動，初步認識排序不等 式的數學意義、證明方法和簡單應用.利用柯西不等式或排序不等式常常根據所求解 (證)的式子結構入手，構造適當的兩組數，有難度的逐步 調整去構造.對于具體明確的大小順序、 數目相同的兩列數考慮它們對應乘積之和的大小關系時， 通常考慮排 序不等式.嘎嘎舸芨磷感萱萱疸扼鄂銬萼甚昔虐暇咯月鼠閾盛屠累蠕嘎嘎舸芨磷感萱萱疸扼鄂銬萼甚昔虐暇咯月鼠閾盛屠累蠕嘎嘎舸芨磷感萱萱疸扼鄂銬萼甚昔虐暇咯月鼠閾盛屠累蠕嘎嘎舸芨磷感萱萱疸扼鄂銬萼甚昔虐暇咯月鼠閾盛屠