1、關于冪級數經典第一張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月主要內容：函數項級數。冪級數及其收斂性。冪級數的運算。函數展開為冪級數。第二張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月一、函數項級數在前面，我們曾討論過公比為q的無窮等比級數：當|q|1時，級數是收斂的，其和為 ，因此我們也可以把q看作(-1，1)內變化的一個自變量，用x代替它，即可得到:由于上式對區間(-1，1)內的每一個q值都成立，它的每一項都是以x為自變量的函數。第三張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月則稱點x0為函數項級數(8-3)的一個收斂點；收斂點的全體構成的集合，一般地，由定義在同一區間內的函數序列構成的無窮級數：

2、u1(x) + u2 (x)+ + un (x)+ (8-3)稱為函數項級數， 記為 。 在函數項級數(8-3)中,若令x取定義域中某一確定值x0，則得到一個數項級數u1(x0) + u2 (x0)+ + un (x0)+ 稱為函數項級數的收斂域。 若該數項級數收斂，反之，則稱點x0為函數項級數(8-3)的發散點。第四張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月且稱之為函數項級數的部分和函數，若x0是收斂域內的一個值，則必有一個和S(x0)與之對應，即 S(x0) = u1(x0) + u2 (x0) + + un (x0) + 這個函數S(x)就稱為函數項級數的和函數。 當x0在收斂域內變化時

3、，上述級數的和S(x0)也隨之變化，就得到一個定義在收斂域上的函數S(x)，即 S(x) = u1(x) + u2 (x) + + un (x) + 那么在函數項級數的收斂域內有 將函數項級數的前n項和記為Sn(x)，即Sn(x) = u1(x) + u2 (x) + + un (x)第五張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月二、冪級數及其收斂性 和 = a0 + a1(x-a) + a2(x-a)2 + + an(x-a)n + (8-5)一般地，形如 = a0 + a1x + a2x2 + + anxn + (8-4)的級數稱為冪級數。其中an (n=0,1,2, ) 和a都是常數，a

4、n稱為冪級數的系數。對于級數(8-5)，只要令 x-a= t,就可化為(8-4)的形式,因此下面我們主要討論級數(8-4)。第六張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月所以區間(-1,1)就是該冪級數的收斂域。或者說冪級數(8-4)在點x0處收斂；對于冪級數(8-4)，它的每一項在區間(-,+)內都有定義，因此對于每個給定的實數值x0，將其代入(8-4)式，就得到一個數項級數:如果(8-6)收斂，則稱點x0為冪級數(8-4)的收斂點，如果(8-6)發散，則稱點x0為冪級數(8-4)的發散點，或者說冪級數(8-4)在點x0處發散。所有收斂點的集合稱為冪級數的收斂域，所有發散點的集合稱為冪級數的

5、發散域。例如冪級數 ，當x在區間(-1,1)內取任一個值x0時，級數 都收斂，其和為 。而(-,-1)及(1,+)就是該冪級數的發散域。第七張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月則稱冪級數為不缺項，設冪級數 中an0 ( n=0,1,2, )，否則稱為缺項冪級數。在級數(8-4)中，設 ，用比值判別法，得則(3)當= 0，即|x|=0時，級數(8-4)對任何x值收斂。(1)當|x|1，即 時，級數(8-4)發散；因此，令 ，即 ，就得到下面定理:第八張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月在x=R處，可能收斂也可能發散(此時=1)，而當|x|R時冪級數發散；定理則有：(1)如果0R+ ,

6、則當|x|R時冪級數收斂，(2)如果R=+，則冪級數在(-，+)內收斂；(3)如果R=0，則冪級數僅在x=0處收斂。由定理知：設冪級數 是不缺項的，冪級數在 的收斂域是以坐標原點為中點，長度為2R的區間(特殊情況可能是整個數軸，也可能只是坐標原點)。它在(-R，R)內收斂；在(-R，R)外發散；通常稱R為冪級數 的收斂半徑，區間(-R,R)稱為冪級數的收斂區間。第九張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月例1 求冪級數 的收斂半徑。解：收斂半徑：即級數 收斂半徑 R=+，冪級數在(-,+)內收斂。例2 求冪級數1+ 2x +(3x)2 + +(nx) n-1 + 的收斂半徑。解:收斂半徑:即

7、 級數 僅在x=0處收斂。第十張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月例3 求冪級數 的收斂區間。解:收斂半徑:當|x|1時，級數 發散。當x=1和x= -1時，級數分別為 和前者收斂，后者發散。所以冪級數 的收斂區間為(-1，1。第十一張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月例4 求冪級數 的收斂區間。解:令 x-2 = t，得所以-2 t 2, 即-2x-22,得0 x4。當x=0得 ，它是發散的;當x=4時，得 ，也發散。所以冪級數 收斂域為(0,4)。第十二張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月解:例5 請求冪級數 的收斂區間。當1，即x2 1時，級數收斂，即|x|1時，所求冪

8、級數絕對收斂；當x=1時，代入級數得 ，級數收斂；所以冪級數 的收斂區間為-1，1。第十三張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月三、冪級數的運算 設冪級數 與 的收斂半徑分別為R1與R2 (R1與R2與均不為零)， 它們的和函數分別為S1(x)與S2(x)， 記R = min(R1，R2)， 那么對于冪級數可進行以下運算： 1加法和減法 = = S1(x)S2(x) 此時所得冪級數 的收斂半徑是R。 2乘法 =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ (a0bn+a1bn-1+ anb0) xn += S1(x)S2(x) 此時所得冪級數的收斂半徑是R。

9、第十四張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月則和函數S (x)在(R，R)內可積， 則在(R，R)內和函數S (x)可導， 3逐項求導數 若冪級數 的收斂半徑為R， 且有 所得冪級數的收斂半徑仍為R，但在收斂區間端點處的收斂性可能改變。 4逐項積分 設冪級數 的和函數S (x)收斂半徑為R，且有 所得冪級數的收斂半徑仍為R，但在收斂區間端點處的收斂性可能改變。 第十五張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月例6 討論冪級數 逐項求積分所得冪級數的收斂區間。 解：收斂半徑R=1，逐項求積分后得它的收斂半徑仍為R=1。當x= -1時，冪級數為交錯級數是收斂的。當x= 1時，冪級數為調和級數，

10、它是發散的。故冪級數 的收斂區間為-1,1)。第十六張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月例7 求冪級數 的和函數。 解：所給冪級數的收斂半徑R=1，收斂區間為(-1,1)。注意到而在收斂區間(-1,1)內，所以第十七張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月(8-7)式稱為f(x)的x的冪級數展開式。因此，把一個函數表示為冪級數，而且在它的收斂區間內還可以像多項式一樣地進行運算，四、函數展開為冪級數對于研究函數有著重要的意義。我們看到，冪級數不僅形式簡單，對于一個給定的函數f(x),如果能找到一個冪級數 ，使 (-RxR) (8-7)成立，那么，我們就說函數f(x)可以展開為x的冪級數，

11、在這里，有兩個問題需要我們去解決：(1) 在式(8-7)中，系數 a0, a1, a2, , an, 如何確定？(2) f (x)滿足什么條件才能展開為x的冪級數？第十八張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月先解決問題(1):不妨假設(8-7)式成立，那么根據冪級數的逐項求導法，對式(8-7)依次求出各階導數： 把x=0代入式(8-7)及上列的各等式， 得a0=f(0),把它們代入式(8-7),得第十九張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月那么這個冪級數就是f(x)的麥克勞林級數。通常稱式(8-8)為f (x) 的冪級數展開式，但要注意，按上述形式作出的麥克勞林級數，在收斂區間內是否一

12、定收斂于函數本身呢？因此，還要解決問題(2)，研究f(x)滿足什么條件才能展開為x的冪級數，或著說麥克勞林級數滿足什么條件才能收斂于f (x)。在(-R,R)內，只要考察余項是否隨n的無限增大而趨于零。要使成立，第二十張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月當f (x)在(-R，R)內有任意階導數時，可以證明，(其中在0和 x之間；n=1,2, )綜上所述可得：如果f (x)在包含點x=0的某一區間(-R,R)內有任意階導數，(在0和 x之間；-RxR) (7-9)且那么f (x)在區間(R，R)內可以展開為麥克勞林級數。第二十一張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月函數展開為麥克勞林級

13、數的一般步驟為：1.求出f (x)的各階導數 ；2.計算f (0) , ；3.寫出f (x)的麥克勞林級數4.求出上述級數的收斂區間(-R，R)；5.在收斂區間內考察 是否為零， 若為零，則有：否則即使求出的麥克勞林級數收斂，其和函數也不一定為f (x)。第二十二張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月例8 求指數函數f (x) = e x 的麥克勞林展開式。解：由于 f (n)(x) = e x ，故得 f (n)(0) = 1 (n =1,2, )。于是，e x 的麥克勞林級數為:它的收斂半徑為R=+。要證明這個級數在(-，+ )內收斂于e x ，就需驗證式(7-9)在(-，+ )內成立

14、，現在(在0和 x之間)，因 ee|x|，故對任意給定的x，e有界。而 是級數的一般項，所以根據級數收斂的必要條件，對任意的 x，都有從而即得e x 的麥克勞林展開式為:第二十三張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月于是sin x的麥克勞林展開式為:例9 求正弦函數f (x)=sin x的麥克勞林展開式。解：正弦函數的各階導數為：，(n = 0,1,2, )f (n)(0)依次循環地取0,1,0,-1, ，于是得sin x麥克勞林級數為:其收斂區間為(-,+)。因為1,而(在0和x之間)所以，對任意x，第二十四張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月同理，我們可得到常見函數的麥克勞林展開式:第二十五張，PPT共二十八頁，創作于2022年6月上面我們研究了函數f (x)的麥克勞林展開式，即f (x)在 x=0處的展開式。采用類似的方法，還可以得到：如果函數f (x)在包含x=a的某一區間(a - R, a + R)內有任意階導數，且(在a和 x之間；a-Rxa+R)那么f (x)在區間 (a - R, a + R)內可以展開為(x-a) 的冪級數:通常稱式(8-10)為f (x) 在x=a 處的泰勒展開式,