1、等差數列與等比數列知識點及題型歸納總結知識點精講一、基本概念1.數列(1)定義：按照一定順序排列的一列數就叫做數列.(2)數列與函數的關系.從函數的角度來看,數列是特殊的函數.在中,當自變量時,所相應的函數值就構成一數列,一般記為,因此數列有些問題可用函數措施來解決.2.等差數列(1)定義：一般地,如果一種數列從第2項起,每一項與它前一項的差等于同一常數,則該數列叫做等差數列,這個常數叫做公差,常用字母表達,即.(2)等差數列的通項公式.若等差數列的首項是,公差是,則其通項公式為,是有關的一次型函數.或,公差(直線的斜率)().(3)等差中項.若成等差數列,那么叫做與的等差中項,即或,.在一種

2、等差數列中,從第2項起(有窮等差數列的末項除外),每一項都是它的前一項與后一項的等差中項;事實上,等差數列中每一項都是與其等距離的前后兩項的等差中項.(4)等差數列的前項和(類似于),是有關的二次型函數(二次項系數為且常數項為0).的圖像在過原點的直線上或在過原點的拋物線上.3.等比數列(1)定義.：一般地,如果一種數列從第2項起,每一項與它前一項的比等于同一種非零常數,則該數列叫做等比數列,這個常數叫做公比,常用字母表達,即.(2)等比數列的通項公式.等比數列的通項,是不含常數項的指數型函數.(3).(4)等比中項如果成等比數列,那么叫做與的等比中項,即或(兩個同號實數的等比中項有兩個).(

3、5)等比數列的前項和注等比數列的前項和公式有兩種形式,在求等比數列的前項和時,一方面要判斷公比與否為1,再由的狀況選擇相應的求和公式,當不能判斷公比與否為1時,要分與兩種狀況討論求解.已知(項數),則運用求解;已知,則運用求解.,為有關的指數型函數,且系數與常數互為相反數.例如等比數列,前項和為,則.解:等比數列前項和,則.二、基本性質1.等差數列的性質(1)等差中項的推廣.當時,則有,特別地,當時,則有.(2)等差數列線性組合.設是等差數列,則也是等差數列.設是等差數列,則也是等差數列.(3)有限數列.對于項數為的等差數列,有:().().對于項數為的等差數列,有;().().(4)等差數列

4、的單調性及前項和的最值.公差為遞增等差數列,有最小值;公差為遞減等差數列,有最大值;公差為常數列.特別地若,則有最大值(所有正項或非負項之和);若,則有最小值(所有負項或非正項之和).(5)其她衍生等差數列.若已知等差數列,公差為,前項和為,則:等間距抽取為等差數列,公差為.等長度截取為等差數列,公差為.算術平均值為等差數列,公差為.2.等差數列的幾種重要結論(1)等差數列中,若,則.(2)等差數列中,若,則.(3)等差數列中,若,則.(4)若與為等差數列,且前項和為與,則.3.等比數列的性質(1)等比中項的推廣.若時,則,特別地,當時,.(2)設為等比數列,則(為非零常數),仍為等比數列.設

5、與為等比數列,則也為等比數列.(3)等比數列的單調性(等比數列的單調性由首項與公比決定).當或時,為遞增數列;當或時,為遞減數列.(4)其她衍生等比數列.若已知等比數列,公比為,前項和為,則:等間距抽取為等比數列,公比為.等長度截取為等比數列,公比為(當時,不為偶數).4.等差數列與等比數列的轉化(1)若為正項等比數列,則為等差數列.(2)若為等差數列,則為等比數列.(3)若既是等差數列又是等比數列是非零常數列.題型歸納及思路提示題型1 等差、等比數列的通項及基本量的求解思路提示運用等差(比)數列的通項公式或前項和公式,列出有關基本量的方程或不等式從而求出所求的量.一、求等差數列的公差及公差的

6、取值范疇例6.1 記等差數列的前項和為,若,則該數列的公差( ).A.7 B.6 C.3 D.2解析 由式可解得,故選C.評注 求解基本量用的是方程思想.變式1 (福建理2)等差數列中,則數列的公差為( ).A.1 B.2 C.3 D.4變式2 已知等差數列首項為31,從第16項起不不小于1,則此數列公差的取值范疇是( ).A. B. C. D.二、求等比數列的公比例6.2 在等比數列中,則公比的值為( ).A.2 B.3 C.4 D.8解析 由于,因此則,故選A.變式1 等比數列的前項和為,且成等差數列,若,則( ).A.7 B.8 C.15 D.16變式2 (浙江理13)設公比為的等比數列

7、的前項和為,若,則.變式3 等比數列的前項和為,若成等差數列,則的公比為.三、求數列的通項例6.3 (1)(廣東理11)已知遞增等差數列滿足,則. (2)(遼寧理14)已知等比數列為遞增數列,且,則數列的通項公式.解析 (1)運用等差數列的通項公式求解.設等差數列公差為,則由得,因此,得,又該數列為遞增的等差數列,因此.故.(2)由數列為等比數列,設公比為,由,得,即,解得或2.又,且數列為遞增數列,則.因此,因此.變式1 為等差數列的前項和,則.變式2 已知兩個等比數列,滿足,求數列的通項公式.例6.4 在等差數列中,且為和的等比中項,求數列的前項和為.解析 設該數列的公差為,前項和為.由已

8、知,得,因此,解得或,即數列的首項為4,公差為0,或首項為1,公差為3.因此數列的前項和為或.變式1 已知數列的前項和,則其通項;若它的第項滿足,則.變式2 已知數列的前項和為非零實數),那么( ).A.一定是等差數列 B.一定是等比數列C.或者是等差數列,或者是等比數列D.既不也許是等差數列,也不也許是等比數列題型2 等差、等比數列的求和思路提示求解等差或等比數列的前項和,要精確地記住求和公式,并合理選用公式,特別是要注意其項數的值;對于奇偶項通項不統一和含絕對值的數列的求和問題要注意分類討論.重要是從為奇數、偶數,項的正、負進行分類.一、公式法(精確記憶公式,合理選用公式)例6.5 在等比

9、數列中,若,則該數列的前10項和為( ).解析 由,因此,故選B.變式1 是由正數構成的等比數列,為前項和,已知,則.變式2 設,則.二、有關等比數列求和公式中的討論例6.6 設等比數列的前項和為,若成等差數列,求數列的公比.解析 若,則,由于,因此,與成等差數列矛盾,故. 由題意可得,即有,整頓得,又,故,即.由于,因此,因此.變式1 設數列是等比數列,其前項和為,且,則其公比.變式2 求和.三、有關奇偶項求和問題的討論例6.7 已知數列的通項公式為,求其前項和為.解析 (1)當為偶數時,.(2)當為奇數時,則為偶數,因此.綜上,.評注：本題中，將為奇數的情形轉化為為偶數的情形，可以避免 不

10、必要的計算，此技巧值得同窗們借鑒和應用。變式1 已知數列中，通項，求其前項和.四、對于含絕對值的數列求和例6.8 已知數列的前項和，數列的每一項均有 ，求數列的前項和解析：由，當時，當時，滿足，故（）由，當時，此時當時，此時故數列的前項和評注：由正項開始的遞減等差數列的絕對值求和的計算題解題環節如下：(1)一方面找出零值或者符號由正變負的項(2)在對進行討論，當時，當時，變式1 在等差數列中，其前項和為(1)求使的最小正整數(2)求的體現式變式2 (湖北理18）已知等差數列前三項的和為，前三項的積為8.(1)求等差數列的通項公式(2)若成等比數列，求數列的前項和題型3 等差、等比數列的性質應用

11、思路提示運用等差、等比數列的性質，重要是運用: = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 等差中項和等比中項 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 等差數列中成等差數列；等比數列中(當時不為偶數)成等比數列. = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 等差數列 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT 等差數列的單調性運用以上性質，對巧解數列的選擇題和填空題大有裨益。運用性質:當時，在等差數列中，有；在等比數列中，有求解。例6.9 已知等差數列的前項和為，若，則等于（ ）A、18 B、36 C、54 D、72解析：由得，72故選D變式1 設數列，都是等差數列，若，則

12、_變式2 在等差數列中，已知，則該數列的前11項和等于（ ）A、58 B、88 C、143 D、176變式3 在等差數列中，則該數列的前13項和等于（ ）A、13 B、26 C、52 D、156變式4 在等差數列中，則該數列的前9項和等于（ ）A、66 B、99 C、144 D、297二、運用等差數列中成等差數列；等比數列中（當時不為偶數成等比數列求解。例6.10 等差數列的前項和為，若,則等于（ ）A、12 B、18 C、24 D、42解析：由成等差數列且，知，可得=14+=24 故選C評注：本題除了使用本法求解之外，尚有幾種求解措施，如（1）基本量法；（2）使用為等差數列求解；（3）使用求

13、解變式1 等差數列的前項和為，若，則（ ）A、 B、 C、 D、變式2 等比數列的前項和為，若，則（ ）A、2 B、 C、 D、3用有限等差數列的性質求解例6.11 已知某等差數列共有10項，其奇數項之和為15，偶數項之和為30，則其公差為（ ）A、5 B、4 C、3 D、2解析：依題意有， 可知，得，故選C變式1 已知等差數列的前項和為377，項數為奇數，且奇數項的和與偶數項的和之比為7:6，求中項變式2 已知數列與都是等差數列，且前項和為與，且，則使得為整數的正整數的個數是（ ）A、2 B、3 C、4 D、5運用等差、等比數列的單調性求解例6.12 已知數列是遞增數列，且對，均有，則實數的

14、取值范疇是（ ）A、 B、 C、 D、解析：由遞增數列的定義，（），得，即，恒成立，則，故選D評注：（1）【錯解】由于=，由題意知是遞增數列，因此在上是單調遞增函數。因此可得，即所求的取值范疇是.以上解答由是遞增數列斷定在上是單調遞增函數，這是錯誤的，由于數列通項公式中的是正整數，而不是取上的任意實數。如圖6-1所示的數列顯然是遞增數列，但不滿足，事實上，.上述錯解是由于忽視的取值范疇而導致錯誤。在解決數列的單調性問題時應運用數列的單調性定義，即“若數列是遞增數列，恒成立”。數列的單調性與，的單調性不完全一致。一般狀況下我們不應把數列的單調性轉化為相應持續函數的單調性來解決。但若數列相應的持續

15、函數是單調函數，則可以借助其單調性來求解數列的單調性問題。即“離散函數有單調性持續函數由單調性；持續函數有單調性離散函數有單調性”。變式1 已知函數，若數列滿足 (),且是遞增數列，則實數的取值范疇是（ ）A、 B、 C、 D、例6.13 在等差數列中，已知，前項和為，且，求當為什么值時，取最大值，并求此最大值。分析：由及，可求出，進而求出通項，由通項得到此數列前多少項為正，或運用是有關的二次函數，運用二次函數求最值的措施求解。解析 解法一：由于，因此，得，因此，故，當時，；當時，；因此當時，取最大值，最大值為=130解法二：依題意，,如圖6-2所示。由得時取最大值，得到，=130解法三： 由

16、知，故，得，故當時取最大值，最大值為=130.評注：求等差數列前項和的最值的常用措施如下：（1）運用等差數列的單調性，求出其正負轉折項。（2）運用性質求出其正負轉折項，便可以求得和的最值。（3）運用等差數列前項和為二次函數，根據二次函數的性質求最值。變式1 數列是等差數列，若，且其前項和有最小值，那么當取最小值時，等于（ ）A、11 B、17 C、19 D、20變式2 設等比數列的首項為，公比為，則“”是“對于任意均有”的（ ）A、充足不必要條件 B、必要不充足條件 C、充足必要條件 D、既不充足也不必要條件變式3 已知（），則在數列的前50項中最小項和最大項分別是（ ）A、 B、 C、 D、

17、題型4 判斷和證明數列是等差、等比數列思路提示判斷和證明數列是等差、等比數列常用的3中措施如下：（1）定義法：對于的任意正整數，均有（或）為同一常數（用于證明）。（2）通項公式法： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 若，則數列為等差數列（用于判斷）； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 若，則數列為等比數列（用于判斷）；（3）中項公式法： = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 若（），則數列為等差數列（用于證明）； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 若（），則數列為等比數列（用于證明）；定義法例6.14 (1)設為等差數列，證明：數列（）是等比

18、數列。(2)設為正項等比數列，證明：數列（）是等差數列。分析 本題蔣函數與數列巧妙地結合，完美地進行等差數列與等比數列的轉化，可運用定義法證明。解析（1）為等差數列，則（，為常數），令，則是常數，因此數列是等比數列。（2）為正項等比數列，則（）令，則是常數，因此數列是等差數列。評注 將等差數列轉化為等比數列，運用指數運算來轉化；將正項等比數列轉化為等差數列，運用對數運算來轉化。變式1 在數列中，且（1）設，求證：數列是等比數列（2）設，求證：數列是等差數列變式2 數列的前項和為，已知，（），證明：數列是等比數列。變式3 已知定義在R上的函數和數列滿足下列條件：，（），（），（），其中為常數，為

19、非零常數。令（），證明：數列為等比數列。中項公式法例6.15 已知數列滿足，（）. (1)證明：數列為等比數列。 (2)求數列的通項公式。 (3)若數列滿足（），證明：數列是等差數列。分析 第（1）問運用定義證明；由第（1）問可得的通項公式；第（3）問的解答需要將的通項公式帶入并整頓。三問環環相扣，每一問都是后一問解題的基本。解析 （1）由于，因此，即，（），又，故數列是首項為2，公比為2的等比數列。（2）由（1）得（）故，（）疊加得到，因此（）時也成立，因此（）（3）由（2）可知，即，故設為數列的前項和，則 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT ， = 2 * GB3 * MERG

20、EFORMAT ，兩式相減得即 = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 則有 = 4 * GB3 * MERGEFORMAT （） = 4 * GB3 * MERGEFORMAT = 3 * GB3 * MERGEFORMAT 得，即（）故數列是等差數列。評注 第（1）問給出數列的一種遞推公式，要證明形如的數列為等差或等比數列，一般將遞推公式代入，運用定義法證明。運用等差中項法解決第（3）問并不能明顯看出來，這需要在對第（3）問的整頓和變形中去發現解題措施。在解數學題時，既要有嚴謹的推理，也要敢于摸索嘗試。變式1 （陜西理17）設是公比不為1的等比數列，其前項和為，且，成等差數列(1)

21、求數列的公比；(2)證明：對任意成等差數列變式2 (安徽理20)設數列中的每一項都不為0 . 證明：為等差數列的充足必要條件是：對任何，均有+題型5 等差數列與等比數列的綜合應用思路提示等差數列與等比數列的互相轉化：等差數列通過指數運算轉化為正項等比數列，正項等比數列通過對數運算轉化為等差數列。等差數列和等比數列的交匯，若一種數列既是等差數列又是等比數列，則該數列為非零常數數列。一、等差數列與等比數列的互相轉化例6.16 已知數列，是各項均為正數的等比數列，設()（1）數列與否為等比數列？證明你的結論（2）設數列，的前項和分別為，,若，求數列的前項和解析 （1）數列是等比數列。依題意，設的公比

22、為（），的公比為 （），則，故數列是等比數列。（2）由題意知數列，都是等差數列，且，得到，由于，都是有關的一次型函數，可令，則當時，即，,同理 ，故，進一步可得數列的前項和為變式1 設數列是正項等比數列，且，那么的值是（ ）A、30 B、20 C、10 D、5變式2 已知等比數列滿足各項均為正數，且（），則當時，等于（ ）A、 B、 C、 D、變式3 設是公比不小于1的等比數列，前項和為，已知，且，構成等差數列。（1）求數列的通項；（2）令（），求數列的前項和.等差數列和等比數列的交匯問題例6.17 已知首項為的等比數列不是遞減數列，其前項和為（），且，成等差數列，求數列的通項公式。分析 運用

23、等比數列的性質結合已知條件求出公比，進而可得通項公式。解析 設等比數列的公比為，由于，成等差數列，因此2（）=+，即，于是，又數列不是遞減數列，因此，故數列的通項公式變式1 設數列是首項為，公差為的等差數列，其前項和為 記，（），成等比數列，證明： （）例6.18 在等差數列中，公差，是與的等比中項，已知數列，成等比數列，求數列的通項解析 依題意可得，因此，由可得，則，由已知得是等比數列。由于因此成等比數列，首項為1，公比為3，由此，因此（），故數列的通項為變式1 設個不全相等的正數，依次圍成一種圓圈，且，是公差為的等差數列，而，是公比為的等比數列，+=12，求通項（）例6,19 設是各項均不

24、為零的項等差數列，且公差.若將此數列刪去某一項后得到的數列（按本來的順序排列）是等比數列。（1） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 當時，求的數值； = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 求的所有也許值.（2）求證：對于給定的正整數，存在一種各項及公差均不為0的等差數列，其中任意三項（按本來的順序）都不能構成等比數列。解析 （1） = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 依題意，等差數列為，假設要刪去或，當刪去時，既是等差數列又是等比數列，故，與題意不合；當刪除時，既是等差數列又是等比數列，故，與題意不合；因此刪去的項只能是或若刪去，則由成等比數列，得因，故由上式得，即 4此時數列為，滿足題設若刪去，則成等比數列，得 因，故由上 式得，即 1此時數列為 滿足題設綜上可知的值為或1 = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 一種“基本領實”：一種數列既是等差數列又是等比數列,則該數列是非零常數數列。當n6時，則從滿足題設的數列中刪去任意一項后得到的數列，必有原數列中的持續三項，從而這三項既成等差數列又成等比數列，故知，數列的公差必為0，這與題設矛盾因此滿足題設的數列的項數 又因題設，故或當時，由（1）中的討論知存在滿足題設的數列當時，若存在滿足題設的數列，則由“基本領實”知，刪去的項只能是，