1、1.2.11分?jǐn)?shù)的簡便計(jì)算1.2.11.1變形巧算4411378例1(l)45X37=(l亦)X37=1x3745X37=3745=36亦=5-61-2X2725-61-=5-61-2X2725-61-2X62=5-61-2X1526=15+26=15261-8XA731-81-8X6-5-+2=+西xl=9+2十15x87十15215(4)5X27+|X41=|X9+5X41=|X(9+41)=|X50=30原式=6迅,126=(+一+(6十9十18_13=185187)X2原式=6迅,126=(+一+(6十9十18_13=185187)X2+QX13十18X132+9X5X3X13十18X

2、13)1993X199411993+1992X1994原式(1992+1)X19941原式=1993+1992X19941992X1994+19941=1993+1992X1994=11662o三418)1998三1998199899原式=(164+220)三41原式=1998三1998X1999+19981999=164三41+20H-411998三1998X20001=1998X19991998X2000=420=420=2000TOC o 1-5 h z1111111例2、2006+1-+23+45+200420053232323分析：因?yàn)橛袔Х謹(jǐn)?shù)存在，再觀察各分式分母特征，可將帶分?jǐn)?shù)整

3、數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分開，分別求和。1111111解：原式=(20061+23+4+20042005)+(=+)323232311=【(21)+(43)+(20062005)】+(一)X10032311=1003+167=117066TOC o 1-5 h z11234567820062006200620062006200620062006例3、9101112199719981999+2006200620062006200620062006200020012002+=2006200620063分析：此題直接計(jì)算太麻煩了，通過觀察，發(fā)現(xiàn)從第三個(gè)分?jǐn)?shù)開始，往后數(shù)到2006丄!，這8個(gè)分?jǐn)?shù)的計(jì)算結(jié)果正好

4、是0,如果從將再往后數(shù)8個(gè)數(shù)，其結(jié)果也是0,200620062002那么從開始到止，中間有2002-3+1=2000個(gè)分?jǐn)?shù)，每8個(gè)一組，正好250組。20062006因?yàn)檫@250組每組計(jì)算結(jié)果都是0，因此有如下簡單解法。解：原式=1+120062解：原式=1+120062+2006=1320061.2.11.2拆分法（也叫裂項(xiàng)法）1）1n(n+1)1）1n(n+1)1_1nn+1（2）冊11=一+nn+123n11n(n1)+.+=xnnnnn2當(dāng)分子正好等于分母中兩個(gè)因數(shù)的差時(shí)，則d_1_1nx(n+d)nn+d11191201119120=丄x(-丄)nx(n+d)dnn+d當(dāng)分子是1，分

5、母是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘時(shí)，則n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)(7)當(dāng)分子是2，分母是三個(gè)連續(xù)自然數(shù)相乘時(shí)，則2-n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+1)(n+2)TOC o 1-5 h z-3例O題1：+=(1_)+(_)+(_)=1_=1111x22x33x422334411122211111111例0題2：_+=(_)+(_)+(_)+-11x1313x1515x171711131315151717111111111193例0題3：_+=_x(1一一+一一+一)=x=-1x44x77x10344771031010113111例0題4：+=+624601x2x32

6、x3x43x4x5=2x=2x(1X2X32x33x43x44x5-x2920920-x2940-12+2x3x4+2x3x42x3x4x5112x3=+()+(_)+(_)222x32x32x3x42x3x42x3x4x511=+222x3x4x511496例題6丄+1+1+丄+丄+丄+丄+2483162124248=(1-丄)+(-丄)+丄+(丄-丄)+(丄-丄)224313162248496=1-1+丄+丄-丄3131496丄x(2-丄)311671=+-161516111111例題7：+2)x(1+4)x-x(1+莎)x(1-3)x(1-5)x-x(1-9)3511248XX.XXXX

7、.X241035911101例題7:+11+11+1+1+1+248316212424849618+1xb4片業(yè)6111111111=(+)=2S2187+X，1x-111111111=(+)=2S21872.2x&X4+4X6X3+6X3112犖.+200X248x4晶96_1x213+1x2x13)x(2x2x2)+.(1x2x3)x(100 x100 x100)-g廣3割4+323496)x(2x2x2)+.(2x3x4)x(100 x100 x100)7_(1f2x3)x(1+2x2x2+100 x100 x100)+(2=x202_2_*222空.：.22+23+3M=，換+2021

8、=2僂(1-111-I-=2僂(1-111-I-2蠢311-4-弓41亠2x2?例11：1+1+丄+丄+丄+丄+丄927812437292187解：設(shè)S=1解：設(shè)S=1111+92781124311+7292187那么111111那么3S=1+3+9+27+81+243+729一得3S-S=3S-S=112187218610932187,111例12：1+一1+21+2+31+2+3+100-2+22=1+(1+2)x2(1+3)x3(1+100)x100=1+2X1111+233411+10_101)=1+2X11(2101)=1991011.2.11.3分?jǐn)?shù)運(yùn)算的其他雜題(53157975

9、3、(579753135、(531579753135(531579753、(579753135、(531579753135、(579X+135357975丿解：設(shè)x=531+357975531丿579753+357975z=+135357975531丿135531357753)+975丿原式=(x+y)X(y+z)(x+y+z)Xy=xy+y2+xz+yzxy=xy+y2+xz+yzxyy2yz=xz=531135531=1例2：看下面幾個(gè)算式：1+2+4+5+7+8二3999991379+-101010找出上面三個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)求和的規(guī)律。再算一下下面兩題：1511131719232529314

10、137(1)+424242424242424242424242(2)求分母是1001的最簡真分?jǐn)?shù)的和等于多少。分析：仔細(xì)觀察數(shù)列規(guī)律，不難發(fā)現(xiàn)：12+二2十2=13124578+623999991379+4十22101010由此可以得出最簡真分?jǐn)?shù)求和規(guī)律：有幾個(gè)最簡真分?jǐn)?shù)，和就是幾除以2。解：1511131719232529314137(1)+一+1226424242424242424242424242(2)分母是10017X11X13那么，分子就不能是7或11或13的倍數(shù)。從11000中，7的倍數(shù)有143個(gè)，11的倍數(shù)有90個(gè)，13的倍數(shù)有76個(gè)。這其中同時(shí)是7和11倍數(shù)的有12個(gè)，同時(shí)是7

11、和13的倍數(shù)的有10個(gè)，同時(shí)是11和13倍數(shù)的有6個(gè)，同時(shí)是7、11、13倍數(shù)的有0個(gè)。那么是7或11或13倍數(shù)的數(shù)有：143+90+7612106+0=280（個(gè)）則滿足題意的有：1000280=720（個(gè)），那么和應(yīng)該是720三2=360,所以分母是1001的所有最簡真分?jǐn)?shù)的和為360。636363306306TOC o 1-5 h z例3：x60360336363663x10101306x1001=x603x100136x1010163306=x60336=119=134例4一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子加瑞減弓得吝求這個(gè)分?jǐn)?shù)。11依題意知道分母沒變，而亍與丁的分母不同。由此可知這兩個(gè)分?jǐn)?shù)已約分。約前的

12、分母只能是4、10的公倍數(shù)。TOC o 1-5 h z1x551x22假定分母是20，則這兩個(gè)分?jǐn)?shù)應(yīng)是4冇=莎、10 x2=礦，分子差5-2=3。原分?jǐn)?shù)的分子加3、減3后所得的兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子應(yīng)差6.顯然這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和5x2102x24分母應(yīng)同乘以2（6三3），即20 x2=4、20 x2=2。所以原分?jǐn)?shù)為10-3_74+3_7404，或0莎。173例5將55的分子加上某數(shù)，分母減去同一個(gè)數(shù)，則分?jǐn)?shù)約分后變?yōu)椋筮@個(gè)數(shù)。解：因?yàn)樾路謹(jǐn)?shù)約分后為I，可設(shè)分子為3份，分母為5份。又知分子分母的和沒變,可得：1份=（17+55）2（3+5）=72三8=9，分子為3X9=27，分母為5X9=45，變化后27TOC