1、專題2.函數的零點高考解讀求方程的根、函數的零點的個數問題以及由零點存在性定理判斷零點是否存在，利 用函數模型解決實際問題是高考的熱點；備考時應理解函數的零點，方程的根和函數的 圖象與x軸的交點的橫坐標的等價性；掌握零點存在性定理.增強根據實際問題建立數 學模型的意識，提高綜合分析、解決問題的能力.知識梳理1.函數的零點與方程的根(1)函數的零點對于函數f(x),我們把使f(x) =0的實數x叫做函數f(x)的零點.(2)函數的零點與方程根的關系函數F(x)=f(x) g(x)的零點就是方程f(x)=g(x)的根，即函數y=f(x)的圖象與 函數y=g(x)的圖象交點的橫坐標.(3)零點存在性

2、定理如果函數y=f(x)在區間a,b上的圖象是連續不斷的一條曲線， 且有f(a) f(b)<0, 那么，函數y=f(x)在區間(a, b)內有零點，即存在 cC(a, b)使得f(c) =0,這個c 也就是方程f(x)=0的根.注意以下兩點：滿足條件的零點可能不唯一；不滿足條 件時，也可能有零點.(4)二分法求函數零點的近似值，二分法求方程的近似解.2.在求方程解的個數或者根據解的個數求方程中的字母參數的范圍的問題時，數 形結合是基本的解題方法，即把方程分拆為一個等式，使兩端都轉化為我們所熟悉的函 數的解析式，然后構造兩個函數f(x) , g(x),即把方程寫成f (x) = g(x)的

3、形式，這時方程根的個數就是兩個函數圖象交點的個數，可以根據圖象的變化趨勢找到方程中字母參數所滿足的各種關系.高頻考點突破考點一函數的零點判斷例1、2017課標3,理11已知函數f(x) x2 2x a(ex 1 ex1)有唯一零點，則a=A.1B. 1C. 1D. 1232【變式探究】(1)函數f (x) =ex+2x2的零點所在的區間是(),1、1A. (0,-) B. (-,1) C . (1,2) D . (2,3) 22(2)已知偶函數 y=f(x), xCR 滿足：f(x) = x2 3x(x > 0),若函數 g(x)=log 2x, x>0,1則y=f(x) g(x)

4、的零點個數為()x<0, xA. 1 B . 3 C . 2D. 4【方法技巧】函數零點的求法(1)直接求零點：令f(x)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區間a, b上是連續不斷的曲線，且 f(a)f(b)<0,還必須結合函數的圖象與性質 (如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少 個零點.(3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其 有幾個交點，就有幾個不同的零點.【變式探究】設f(x) = ln x + x2,則函數f (x)的零點所在的區間為()A. (0,1) B . (1,2) C . (2,

5、3) D . (3,4)考點二、二次函數的零點例 2、已知函數 f (x) =x2 + ax+2, aC R(1)若不等式f(x) <0的解集為1,2,求不等式f(x) >1 x2的解集；(2)若函數g(x) =f (x)+x2+1在區間(1,2)上有兩個不同的零點，求實數 a的取值 范圍.【方法技巧】解決二次函數的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次 方程的判別式及根與系數之間的關系；(3)利用二次函數的圖象列不等式組.【變式探究】已知f(x)=x2+(a21)x + (a 2)的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數a 的取值范圍.考點三函數零點的應

6、用例3、2017課標1,理21已知函數f (x) ae2x (a 2)ex x.(1)討論f(x)的單調性；(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.、，.2lx|，x&2，_【變式探先】已知函數 f(x) =2函數g(x) =bf (2 x),其x-2, x>2,中bC R若函數y=f(x) g(x)恰有4個零點，則b的取值范圍是()A. (7,) B. (,7) C. (0,7) D. (7,2)4444【方法規律】函數零點的應用主要表現在利用零點求參數范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造兩個函數，利用兩個函數 圖象的關系

7、求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現了數形結合思想的應用.【變式探究】m2+2mn-1 me n ,對于實數 m n定義運算""：mn® n=2設f (x) = (2x-1)(x 1),且關于x的方程f (x) =a恰有三個互不相等的實數根 xi, x2, x3,則xi + x2+x3的取值范圍是.考點四、分段函數的模型x 1, x 01例4、2017課標3,理15設函數f (x)則滿足f(x) f(x -) 1的2x, x 0,2x的取值范圍是.【變式探究】已知一家公司生產某品牌服裝的年固定成本為10萬元，每生產1千件需另投入2.7萬元.設該公司一年內共

8、生產該品牌服裝 x千件并全部銷售完，每千件10.8 -71x2 0<x< 1030的銷售收入為 Rx)萬元，且Rx) =108 1 000x>10 3x(1)寫出年利潤 W萬元)關于年產量x(千件)的函數解析式；(2)年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得的年利潤最大？(注：年利潤=年銷售收入一年總成本 )【方法技巧】(1)很多實際問題中，變量間的關系不能用一個關系式給出，這時就需要構建分段 函數模型.(2)求函數最值常利用基本(均值)不等式法、導數法、函數的單調性等方法.在求 分段函數的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值.【變式探究】國慶

9、期間，某旅行社組團去風景區旅游，若每團人數在 30人或30人以下，飛機票 每張收費900元；若每團人數多于30人，則給予優惠：每多1人，機票每張減少10元， 直到達到規定人數75人為止.每團乘飛機，旅行社需付給航空公司包機費15 000元.(1)寫出飛機票的價格關于人數的函數；(2)每團人數為多少時，旅行社可獲得最大利潤？高考鏈接1.12017北京，理14】三名工人加工同一種零件，他們在一天中的工作情況如圖 所示，其中點A的橫、縱坐標分別為第i名工人上午的工作時間和加工的零件數，點 B的橫、縱坐標分別為第i名工人下午的工作時間和加工的零件數， i=1, 2, 3.記Q為第i名工人在這一天中加工

10、的零件總數，則Q,Q,Q中最大的是.記p為第i名工人在這一天中平均每小時加工的零件數，則 Pl 6, P3中最大的 是.A零件購(件)工作時向小骯I2.12016高考山東理數】已知函數八。=，I x L< tnr , 作其中切>0,若存在x- 2m 4m, v > m實數b,使得關于x的方程f (x) =b有三個不同的根，則 m的取值范圍是3.12016高考上海理數】已知aeR ,函數/。)= 1。2式工十 口).(1)當。=5時，解不等式/(k)0；（2）若關于*的方程1_05（口一4次+ 2a-5 = 0的解集中恰好有一個元素,求a的取值范圍；（3）設A 0 ,若對任意,

11、信,| ,函數“工）在區間f+/ + 上的最大值與最小值 的差不超過1,求4的取值范圍.4.【2015高考浙江，理71存在函數/口）滿足，對任意工£尺都有（）A. ； II 二門 rn. B. 1、in 2口 .；C. /（r+1） = |I+1| D. /（/+2*）=,+1|'xjc«白心小一心5 .【2015高考湖南，理15】已知f（x） = :，若存在實數 b ,使函數廣，工> ag（x）=/仆）-b有兩個零點，則。的取值范圍是 .F6 .【2015高考江蘇，13】已知函數回=|1工|,= 1,則方| 廣-4| -2.a > 1程/+|= I實根

12、的個數為 /（0=7.12015高考天津，理8】已知函數v<函數*"）二方-27）,其中也若函數尸恰有4個零點，則力的 取值范圍是（）（7、,7、,7、f 7 、-f+8-so?-031? 2（A） G ）（B） 4J（C）1 4；（D）14 ）2x + 3,x> I工）=，x8.【2015高考浙江，理10】已知函數 Ug（ +1），工"，則八八一3） =, 人力的最小值是.9.12015高考四川，理13】某食品的保鮮時間y （單位：小時）與儲存溫度 x （單 位："'）滿足函數關系"八（e = 2,718A為自然對數的底數，k、b為

13、常數）。若OjT 1Cy 1該食品在0 I的保鮮時間設計192小時，在22 c的保鮮時間是48小時，則該食品在33亡的保鮮時間是 小時。10.12015高考上海，理101設"為"ft則的最大值為12. 【2015高考浙江，理18】已知函數 L 二辦+ M5方之R),記M(口力是 L/*)l在區間TJ上的最大值.(1)證明：當 I。1*2 時,Mia.h) > 2 .(2)當。，占滿足M(h/)£2 ,求|曰| + |內|的最大值.13. (2014 湖南卷)某市生產總值連續兩年持續增加，第一年的增長率為p,第二年的增長率為q,則該市這兩年生產總值的年平均增長

14、率為()A. p2-q B.(p+1)2q+1)- 1 C.M D. (p+1) (q + 1) - 112 X214. (2014 湖南卷)已知函數 f (x) =x+e 2(x<0)與 g(x) =x+ln( x+a)的圖像 上存在關于y軸對稱的點，則a的取值范圍是()A. ( 00, =) B . ( 00, *Je)C. 一 e , fe D. - yfe, 15. (2014 天津卷)已知函數 f (x) =|x2+3x| , xC R.若方程 f (x) a|x 1| =0 恰有4個互異的實數根，則實數 a的取值范圍為 .16. (2014 浙江卷)已知函數 f (x) =x3+ax2+bx+ c,且 0<f( 1) = f ( 2) = f ( 3尸3,則()A.C.c<3 B , 3<c<66Vg 9 D . c>9，一. 一一一 ，一、 支 式一，一，,一，17. (2014 全國卷)右函數 f (x) = cos 2 x+ asin x在區間 ,廠 是減函數，則 62a的取值范圍是.CD18. (2014 江西卷)已知函數 f(x)=51x1, g(x) =ax2-x(a R).若 fg(1) =1,則 a=()A. 1 B , 2 C , 3