1、生活中的優化問題舉例 生活中經常會遇到求什么條件下可使用料最省，利潤最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為優化問題.這往往可以歸結為求函數的最大值或最小值問題.其中不少問題可以運用導數這一有力工具加以解決.復習：如何用導數來求函數的最值？ 一般地，若函數y=f (x)在a，b上的圖象是一條連續不斷的曲線，則求f (x) 的最值的步驟是：（1）求y=f (x)在a，b內的極值(極大值與極小值)；（2）將函數的各極值與端點處的函數值f (a)、f (b) 比較， 其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值. 特別地，如果函數在給定區間內只有一個極值點，則這個極值一定是最值。規格（L）21.250.

2、6價格（元）5.14.52.5問題情景一：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 下面是某品牌飲料的三種規格不同的產品，若它們的價格如下表所示，則（1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數增函數-1.07p解：每個瓶的容積為:每瓶飲料的利潤：解：設每瓶飲料的利潤為y，則r(0，2)2

3、(2，6f (r)0f (r)-+減函數增函數f (r)在(2，6上只有一個極值點由上表可知，f (2)=-1.07p為利潤的最小值-1.07p例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？解：設每瓶飲料的利潤為y，則當r(0，2)時，而f (6)=28.8p，故f (6)是最大值答：當瓶子半徑為6cm時，每瓶飲料的利潤最大，當瓶子半徑為2cm時，每瓶飲料的利潤最小.例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲

4、料，瓶子的制造成本是0.8pr2分，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售1ml的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？解決優化問題的方法之一： 通過搜集大量的統計數據，建立與其相應的數學模型，再通過研究相應函數的性質，提出優化方案，使問題得到解決在這個過程中，導數往往是一個有力的工具，其基本思路如以下流程圖所示優化問題用函數表示的數學問題用導數解決數學問題優化問題的答案問題情景二：汽油使用效率何時最高 我們知道，汽油的消耗量 w (單位:L)與汽車的速度 v (單位:km/h) 之間有一定的關系，汽車的消耗量 w 是汽車

5、速度 v 的函數. 根據實際生活，思考下面兩個問題：（1）是不是汽車的速度越快， 汽油的消耗量越大?（2）當汽車的行駛路程一定時，是車速快省油還是 車速慢的時候省油呢？一般地，每千米路程的汽油消耗量越少，我們就說汽油的使用效率越高（即越省油）。 若用G來表示每千米平均的汽油消耗量，則這里的w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程如何計算每千米路 程的汽油消耗量？例2、通過研究，人們發現汽車在行駛過程中，汽油的平均消耗率 g（即每小時的汽油消耗量， 單位: L / h）與汽車行駛的平均速度v（單位: km）之間，有如圖的函數關系 g = f (v) ，那么如何根據這個圖象中的數據來解決汽油的使用效率最

6、高的問題呢？v(km/h)g (L/h)O12090305051015分析：每千米平均的汽油消耗量 ，這里 w是汽油消耗量，s是汽車行駛的路程w=gt，s=vtP(v，g) 的幾何意 義是什么？如圖所示， 表示經過原點與曲線上的點 P(v，g)的直線的斜率k所以由右圖可知，當直線OP為曲線的切線時，即斜率k取最小值時，汽油使用效率最高例3、經統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：若已知甲、乙兩地相距100千米。 （I）當汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油為 升; （II）若速度為x千米/小時，則汽車從

7、甲地到乙地需行駛 小時，記耗油量為h(x)升，其解析式為: . (III)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？17.5 例3、經統計表明，某種型號的汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關于行駛速度x（千米/小時）的函數解析式可以表示為：若已知甲、乙兩地相距100千米。 (III)當汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？解：設當汽車以x km/h的速度行駛時，從甲地到乙地的耗油量為h(x) L，則練習：已知某廠每天生產x件產品的成本為若要使平均成本最低，則每天應生產多少件產品？解：設平均成本為y元，每天生產x件產品，則每天應生產1000件產品練習：已知某廠每天生產x件產品的成本為變題：若受到設備的影響，該廠每天至多只能生產800件產品，則要使平均成本最低，每天應生產多少件產品呢？解：設平均成本為y元，每天生產x件產品，則練習：已知某廠每天生產x件產品的成本為變題：若受到產能的影響，該廠每天至多只能生產800件產品，則要使平均成本最低，每天應生產多少件產品呢？函數在(0，1000)上是減函數故每天應生產800件產品基本不等式法： “一正、二定、三相等、四最值”；導數法： 一定義域、二導數符號、三單調性、四最值”。小結： 在日常生活中，我們經常會遇到求在什么條件下可使用料最省，利潤最大，效率最高等問題，這