1、 PAGE 3 / 8專業年級：學號：姓名：線性代數 A 卷得題分 號 評卷人一二三總 分總分人復分人得 分一、單項選擇題本大題共5 小題. 每小題 5 分. 共 25 分在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的. 請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1設 Am n 為實矩陣 , 則線性方程組 Ax0 只有零解是矩陣( ATA) 為正定矩陣的 充分條件；必要條件；充要條件；無關條件。2已知1,2 ,1,2,3 為四維列向量組 . 且行列式 A1 ,2 ,3 ,14 .B1,2 ,3 ,21 . 則行列式AB 40 ； 16；3 ； 40 。設向量組1 ， 2 ， s

2、 ( s2 ) 線性無關 . 且可由向量組1 ， 2 ， s 線性表示 . 則以下結論中不能成立的是 向量組1 ， 2 ， s 線性無關； 對任一個j . 向量組j ， 2 ， s 線性相關； 存在一個j . 向量組j ， 2 ， s 線性無關； 向量組1 ， 2 ， s 與向量組1 ， 2 ， s 等價。對于 n 元齊次線性方程組Ax0 . 以下命題中 . 正確的是 若 A 的列向量組線性無關 . 則 Ax 若 A 的行向量組線性無關 . 則 Ax 若 A 的列向量組線性相關 . 則 Ax 若 A 的行向量組線性相關 . 則 Ax0 有非零解；0 有非零解；0 有非零解；0 有非零解。設 A

3、 為 n 階非奇異矩陣 (n2) . A 為 A 的伴隨矩陣 . 則( A 1)| A | 1A ；( A 1 )| A | A ；( A 1 )| A | 1 A；( A 1 )| A | A 1 。1得分評卷人二、填空題本大題共5 小題 . 每小題 5 分. 共 25 分請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。列向量11是矩陣 A 12125a31b2的對應特征值的一個特征向量 .則 . a . b 。設 n 階向量(x ，0，0，x ) T . x0 ；矩陣 AET ,且A 1E1xT . 則 x。已知實二次型f (x x , x )x 24x22 x22ax x2 x x正定

4、 , 則常數 a 的1,231231223取值范圍為。設矩陣 A(a i j ) 3 3 .Ai j 是 | A |中元素ai j的代數余子式 .a i jAi j .a 112a 123a 13 . 已知a 110 . 則 a 11。10設A212.1. 已知向量 A與線性相關 . 則 a 。3041122a得分評卷人三、分析計算題 11求方程f (x)0的根.其中f ( x)224x25323213261x21 ；12 計算 n 階行列式 Dx1 x1x1Tyx1x2x2yx2x2xn 1yxn 1xn 1xn 1yxn xn。xnxn設實向量a1a2a3. 其中 a10 .T3 . 矩陣

5、 AET試說明矩陣 A能相似于對角陣；求可逆矩陣 P . 使P 1 AP為對角陣 .并寫出此對角陣；求行列式 | AE |。已知線性方程組kx1 kx1(k1) x2kx2x31x32 . 試討論：2kx12(kx2kx32 k 取何值時 . 方程組無解； k 取何值時 , 方程有唯一解 . 并求出其解； k 取何值時 , 方程有無窮多解 . 并求出其通解。設實二次型f (x1，x2，x3)x25x 24x1x25 x24 x1 x38 x2x3 .123求：正交變換xQ y . 將 f 化為標準型。設 R3 的基為111 .21111 .30 。00 試由1 ， 2 ，構造R3 的一個標準正

6、交基1 ， 2 ， 3 ； 求由基1 ， 2 ， 3 到1 ， 2 ，3 的過渡矩陣 P ； 已知向量123 . 求向量在基1 ， 2 ， 3下的坐標。線性代數期末試卷 A 參考答案一、選擇題1.2.3.4.5.二、填空題6 -1,-3,0； 7.1； 8.三、計算題| a |7 / 2； 9 6 ； 10.1。71f ( x)5(x 21)( x 29) . x1. 1.3. 3；4 分2D( 1)n (n 1)2( ynix ) yni 1。10 分1A 為實對稱矩陣 . 所以相似于對角陣。 T因為 A(ET )(T)2. 所 以 12 是 A 的特征值。又秩 r (T )1 . | EA

7、 | |0 . 所 以 231 是 A 的另兩個特征值。3設( x1 , x2, x )T為 A 對 應 231 的特征向量 . 則由(,)a1x1a2 x2a3 x30 . 得 A 對應 231 的線性無關的特征向量11(a 2 ,a , 0)T ,( a3, 0 ,a ) T . 令 P(,1 ,2 )a1a2a3a 2a10a30a12則 P 1AP2001010001。AE 的特征值為 2 1= 1.1+1=2.1+1=2.因此 | AE |4 。 13 k0 時. r ( A)2r ( A )3 . 無解2 k0， k2 時. r ( A)r ( A)3 . 唯一解(x , x ,

8、x )T123( 2kkx101 P(,3)1 (1,2,3)3 210602 22021361332613210注：本題答案不唯一 . 如100.210.3線性代數 B 卷專業年級：學號：姓名：4 / 8分, 1 , 0) T k2 時.r ( A)r ( A)2 . 無窮多解,通解x21c0。 x30222153 5314 Q053 523； fy 21y2210 y 2 。 14253 5315 1111,2111,3111.3 分316220123216 分10 分01110. 則 P110 .1100 PAGE 8 / 8得題分 號評卷人一二三總 分總分人復分人得 分一、單項選擇題本

9、大題共5 小題. 每小題 5 分. 共 25 分在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的. 請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。設 A( aij ) 33 的特征值為 1.2.3.Ai j 是行列式| A |中元素ai j 的代數余子式 .則 | A | 1( A11A22A33) a.21 ；6b.11 ；6c.11 ；d. 6。001a11a12a132已知P010，Aaaa，若P m AP nA . 則以下選項中正確的是100a31a32a33a.m5 ，n4 ； b.m5 ，n5 ；c.m4 ，n5 ；d.m4 ，n4 。3 n 維向量1,2,s(3sn)

10、線性無關的充要條件是a存在不全為零的數k1, k2 ,k s . 使 k11k22kss0 ；32122231 ,2 ,s中任意兩個向量都線性無關；1 ,2 ,s中任意一個向量都不能用其余向量線性表示；1 ,2 ,s中存在一個向量 . 它不能用其余向量線性表示。設A ，B 是正定矩陣 . 則以下矩陣中 . 一定是正定矩陣為其中k1，k 2為任意常數A B； b.AB ； c.A B ； d.k1 Ak2 B 。已知矩陣 A2a222aa22. 伴隨矩陣 A0 . 且 A x0 有非零解 . 則a.a2 ； b.a2 或 a4 ；c.a4 ； d.a2 且 a4 。得分評卷人二、填空題本大題共5

11、 小題 . 每小題 5 分. 共 25 分請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。01200000 .3336設行列式DAi j 是 D 中元素 ai j 的代數余子式 . 則Ai j。i 1 j 17 設 A 是 實 對 稱 可 逆 矩 陣 .則 將fX T AX化 為fY T A 1Y 的 線 性 變 。8設矩陣A1231431x 5有特征值 6.2.2.且 A 能相似于對角陣 . 則 x 。9已知0 是 n 維實列向量 . 矩陣 AEkT . k 為非零常數 . 則 A 為正交矩陣的充分必要條件為 k。a21a22a231則線性方程組 AT xb 的解是。得分評卷人三、分析計算

12、題 x1x2xn 1xyx1x2xn 1ynxn11計算 n 階行列式：Dx1x2yx2x1yxn 1xn 1xnxn換 為111110.設Aa1a2a3. b1. 其中 ai 互不相同 . i1,2,3 .。12已知線性方程組x1x2x1x1ax 21x31 .x3b1 試問：常數a，b 取何值時 . 方程組有無窮多解、唯一解、無解？2 當方程組有無窮多解時. 求出其通解。11a113設A1a1.1. 已知線性方程組Ax有解但不唯一。試求：a1121 a 的值；2 正交矩陣Q ，使得QT AQ 為對角矩陣。1000010010100308設矩陣 A 的伴隨矩陣 A*. 且 ABA 1BA 1

13、3 E 。求矩陣 B 。已知線性空間R3 的基1 ， 2 ，3 到基1 ， 2 ，3 的過渡矩陣為 P . 且110.2101.3012 ； P2221322430試求： 基1， 2 ，3 ； 在基1,2 ,3 與1 ,2 ,3 下有相同坐標的全體向量。線性代數期末試卷 B 參考答案一 選擇題1.b2.d3.c4.a5.c二填空題 6. 11；7.XA 1Y ；8. x2 ；9 k2|2T； 10.100；三 計算題11.D( 1)n( n 1)2yn1 ( ynxi )i 1。 1 A110101100a20b1a2,b無窮多解； a唯一解； a2,b1 無解 5 分x12x2 x3110k1 ,k01R10 分解：1 方程組 AX有解但不唯一 . 所以r ( A)r ( A )3 . 故 a2 。3 分2 特征值為13 .23 .30 。6 分111Q206231T. QAQ300300。10 分1613100026314由 | A* | A |n1 . 有 | A |38 . 得| A |2 。 3 分用 A*. A 左右乘方程的兩端. 得 (2 EA* )B6 E6 分B6(2