1、時間序列分析方法講義 第13章 卡爾曼濾波PAGE PAGE 8第十三章 卡爾曼濾波在本章中，我們介紹一種被稱為卡爾曼濾波的十分有用的工具?？柭鼮V波的基本思想是將動態系統表示成為一種稱為狀態空間表示的特殊情形。卡爾曼濾波是對系統線性投影進行序列更新的算法。除了一般的優點以外，這種算法對計算確切的有限樣本預測、計算Gauss ARMA模型的確切似然函數、估計具有時變參數的自回歸模型等，都提供了重要方法。13.1 動態系統的狀態空間表示我們已經介紹過一些隨機過程的動態表示方法，下面我們在以前的假設基礎上，繼續分析動態系統的表示方法。13.11.1 繼續續使用的的假設假設表示示時刻觀觀測到的的n維

2、隨機機向量，一類非非常豐富富的描述述動態性性的模型型可以利利用一些些可能無無法觀測測的被稱稱為狀態態向量(staate vecctorr)的rr維向量量表示，因此表表示動態態性的狀狀態空間間表示(staate-spaace reppressenttatiion)由下列列方程系系統給出出：狀態方方程(sstatte mmodeel)(13.1)量測測方程(obsservvatiion moddel) (133.2)這里，和和分別是是階數為為，和的參數數矩陣，是的外生生或者前前定變量量。方程程(133.1)被稱為為狀態方方程(sstatte mmodeel)，方程(13.2)被被稱為量量測方程程(

3、obbserrvattionn moodell)，維維向量和和維向量量都是向向量白噪噪聲，滿滿足：(13.3)(13.4)這里和是是和階矩陣陣。假設設擾動項項和對于所所有階滯滯后都是是不相關關的，即即對所有有和，有： (133.5)是外生或或者前定定變量的的假定意意味著，在除了了包含在在內的信信息以外外，沒有有為和()提供供任何新新的信息息。例如如，可以以包括的的滯后值值，也可可以包括括與和(任意意)不相相關的變變量。方程系統統中方程程(133.1)至方程程(133.5)可以表表示有限限觀測值值的序列列，這時時需要狀狀態向量量初始值值。假設設與和的任何何實現都都不相關關：，對任意意(13.6)

4、，對任意意(13.7)狀態方程程(133.1)表明，可以表表示成為為的線性性函數：，(13.8)因此，方方程(113.66)和方方程(113.33)意味味著與所所有的滯滯后值都都是不相相關的：， (113.99)類似地，可以得得到：，(133.100)，(13.11)， (133.122)上述系統統是相當當靈活的的，它的的一些結結論也可可以推廣廣到與相關的的系統中中，而且且系數矩矩陣也可可以是時時間的函函數。如果我我們僅僅僅關注到到上述系系統的基基本形式式，則下下面的論論述將是是十分清清晰的。13.11.2狀態空空間表示示的例子子考慮一元元過程：這個過程程可以表表示成為為下面的的狀態空空間模型

5、型形式：狀態方程程() (113.113)量測方程程： (113.114)對應地，我們指指定：，這里變量量和參數數矩陣對對應為：，注意到這這里的狀狀態方程程只是一一個一階階向量自自回歸方方程，量量測方程程只是一一個簡單單的等式式。因此此，我們們已經看看到，狀狀態空間間表示只只是總結結過程的的另外一一種方式式。將過程程表示成成為這種種方式的的原因在在于，這這樣可以以獲得歸歸納過程程動態性性的合適適方式，這是我我們對任任何系統統狀態空空間表示示感興趣趣的基本本原因。另外一個個例子是是，我們們考慮一一元過程程：對應地，它可以以表示成成為狀態態空間模模型形式式為：狀態方程程()：量測方程程()：這里：

6、，將給定系系統表示示成為狀狀態方程程的方式式有多種種。例如如，可以以將過程程表示成成為下面面類型的的狀態空空間模型型：狀態方程程()：量測方程程()：顯然上面面的過程程、兩種種狀態空空間模型型表示都都是具有有相同特特征的過過程表示示，這三三種表示示都具有有相同的的預測和和相同的的似然函函數值，也就無無須討論論哪一種種方式更更為合適適。更一般地地，一元元模型可可以通過過定義進進行狀態態空間模模型表示示： (133.155)這里的參參數約束束是：當當時，；當當時，?？紤]下列列狀態空空間模型型表示為為：狀態方程程()：(13.16)量測方程程()： (133.155)為了驗證證方程(13.16)和方

7、方程(113.117)表示示了系統統與方程程(133.155)一致致，假設設表示向向量的第第j個元素素，因此此狀態方方程的第第2行表表示：第3行表表明：更一般地地，第j行表示示：因此狀態態方程的的第1行行意味著著：或者： (113.118)量測方程程表明： (113.119)在方程(13.19)兩端端乘以算算子多項項式，并并利用方方程(113.118)，可可以得到到：這就是原原來的模模型，即即方程(133.155)。狀態空間間形式是是描述隨隨機過程程的和，或者測測量誤差差結果的的模型的的非常合合適的方方式。例例如，FFamaa和Gibbbonns(19882)開開始著手手研究事事前實際際利率(

8、ex antte rreall innterrestt raate )行為為 (事事前實際際利率是是名義利利率減去去預期通通貨膨脹脹率)。由于經經濟計量量學家通通過證券券市場推推斷的預預期通貨貨膨脹率率的數據據，因此此這個變變量不是是可以觀觀測的。因此在在這種應應用中狀狀態變量量是一個個標量，即：，這里表表示平均均事前實實際利率率。Faama和和Gibbbonns(19882)假假設事前前實際利利率服從從過程： (133.200)經濟計量量學家可可以觀測測到事后后實際利利率(名名義利率率減去真真實通貨貨膨脹率率)，這可可以表示示為： (133.21)這里是人人們預測測通貨膨膨脹率時時的誤差差。

9、如果果人們以以最優的的方式形形成通貨貨膨脹率率預測，則與自自身的滯滯后值和和事前實實際利率率是無關關的。因因此方程程(133.200)和方方程(113.221)是是狀態空空間模型型，這里里，。狀態空間間模型框框架的另另外一個個有趣例例子是SStocck和WWastton (19991)的研究究，他們們假設存存在表示示經濟周周期狀態態的不可可觀測變變量。假假設是個可以以觀測的的宏觀經經濟變量量，每個個都受到到經濟周周期的影影響，并并且具有有與中移移動不相相關的奇奇異成分分(表示示為)。如果經經濟周期期和每個個奇異成成分可以以利用一一元過程程描述，則維狀狀態向量量是： (113.222)該狀態變變

10、量具有有的狀態態方程為為： (133.233)量測方程程為：(13.24)因此，參參數描述述第i個序列列對經濟濟周期反反應的敏敏感性。為了出出現和描描述p階動態態性，SStocck和WWastton (19991)將方程程(133.222)中的的和替換為為階向量量和，這時時是維向量量。這時時方程(13.23)中的的標量需需要利用用階矩陣替替換，該該矩陣結結構與方方程(113.113)類類似。還還需要在在量測方方程(113.224)中中的列中中加入階階數為的的零子塊塊。13.2 卡爾曼濾波的的推導卡爾曼濾濾波是估估計狀態態空間模模型的重重要方法法，也是是應用廣廣泛的參參數估計計方法。下面我我們介

11、紹紹卡爾曼曼濾波的的有關公公式。13.22.1卡爾曼曼濾波的的回顧 Oveerviiew of thee Kaalmaan FFiltter考慮上述述討論的的狀態空空間模型型的一般般形式，為了方方便，我我們將使使用的一一些關鍵鍵方程在在這里重重復表示示如下：，假設我們們已經得得到了觀觀測值，；一個個最終目目標是基基于這些些觀測值值估計系系統的所所有未知知參數。但是，目前我我們暫時時假設參參數矩陣陣的特定定數值都都是確定定性已知知的。如如何估計計這些參參數在后后面的內內容中討討論。卡爾曼濾濾波具有有多種應應用。它它的基本本動因是是作為一一種計算算狀態向向量基于于時刻tt觀測到到的數據據進行最最小

12、二乘乘預測的的算法。 (133.255)這里：這里表示示基于和常常數的線線性投影影。卡爾爾曼濾波波是采用用疊代算算法計算算這些預預測的，按順序序分別產產生，。與這這些預測測有關的的是均方方誤差矩矩陣，可可以由一一個階矩矩陣表示示： (133.266)13.22.2疊代代的開始始疊代首先先從開始始，表示示在沒有有和觀測值值的基礎礎上對的的預測。這就是是的無條條件均值值：與此相關關的MSSE為：例如，對對系統的的狀態空空間表示示，狀態態向量為為：這時有：，更一般地地，如果果矩陣的的特征根根都落在在單位圓圓內，則則狀態方方程表示示的過程程是協方方差平穩穩的。因因此，對對狀態方方程兩端端取無條條件數學

13、學期望，可以得得到：由于過程程是協方方差平穩穩的，則則有：由于矩陣陣沒有單單位根，因此矩矩陣是非非奇異的的，因此此這個方方程存在在唯一零零解，也也就是有有：。則則的無條條件方差差也可以以類似地地得到，取矩陣陣的轉置置并取數數學期望望，可以以得到(由于存存在正交交性，下下面的交交叉項的的數學期期望為零零)：假設矩陣陣表示的協協方差矩矩陣，則則有：這個方程程的解可可以表示示為：因此，一一般情況況下，如如果矩陣陣的特征征根都落落在單位位圓內，因此卡卡爾曼濾濾波的疊疊代可以以從和開始，這里的的表示成成為列向向量可以以從下式式得到：如果矩陣陣的部分分特征根根落在單單位圓上上或者單單位圓外外，或者者無法從

14、從狀態方方程中獲獲得，這這時可以以利用分分析者對對初始的的最優猜猜測來替替代，而而是歸納納這種預預測置信信區間的的正定矩矩陣。中中對角線線上比較較大的數數值對應應著對真真實取值值較高的的非確定定性。13.22.3預測測給定開始始的初值值和，下一一步是計計算下一一個時期期類似的的數量和和。由于于計算對對都具有有相同的的形式，因此我我們討論論在時刻刻t的一般般形式。給定和和，目的的是計算算和。首先，我我們需要要注意到到，我們們假設除除了包含含在內的的信息以以外，不不再包含含關于的的信息，因此有有：下面我們們考慮對對的預測測：注意到根根據狀態態方程，可以得得到：因此，根根據投影影的疊代代定律，有：這

15、個預測測的誤差差為：因此預測測的MSSE為：由于，因因此上式式中交叉叉項為零零。這個個正交條條件需要要根據假假設和投投影性質質加以驗驗證。這這時可以以將MSSE表示示為：13.22.4關于于推斷的的更新給定開始始的初值值和，下一一步是計計算下一一個時期期類似的的數量和和。由于于計算對對13.22.5產生生的預測測給定開始始的初值值和，下一一步是計計算下一一個時期期類似的的數量和和。由于于計算對對13.22.6歸納納和注釋釋給定開始始的初值值和，下一一步是計計算下一一個時期期類似的的數量和和。由于于計算對對13.3基于狀狀態空間間表示的的預測 Fooreccastts BBaseed oon tthe Staate-Spaace Reppressenttatiion13.4參數的的極大似似然估計計 MMaxiimumm Liikellihoood Esttimaatioon oof PParaametterss13.5穩態卡卡爾曼濾濾波 Thee Stteaddy-SStatte KKalmman Fillterr13.55.1卡爾爾曼