1、第六章 氣象變量場時空結構分離1、主分量(主成分)分析 2、經驗正交函數分解（EOF）3、 旋轉經驗正交分解(REOF)基礎知識回顧設A是n階方陣，如果存在常數和非零的n維向量X，使得：AX=X定義1矩陣的特征值和特征向量就稱是矩陣A的特征值，X是A的屬于特征值的特征向量. 式子 也可以寫成:即：這是含有n個未知數n個方程的齊次線性方程組它有非零解的充分必要條件是系數行列式定義2 實對稱矩陣的特征值和特征向量實對稱矩陣：一個對稱矩陣的所有元素都是實數。 設A是n階對稱矩陣，則存在n階正交陣R，使即R使RAR對角化。其中對角線上的元素恰是A的n個特征值。性質：實對稱矩陣的特征值都是正實數。實對稱

2、矩陣屬于不同特征值的特征向量相互正交。實對稱矩陣所有特征值之和等于矩陣的主對角線元素之和。即 某一區域的氣候變量場通常由許多個觀測站點或網格點構成，這給直接研究其時空變化特征帶來困難。如果能用個數較少的幾個空間分布模態來描述原變量場，且又能基本涵蓋原變量場的信息，這將十分有助于我們分析氣候要素場的時間和空間特征。這就要尋找某種數學表達式將變量場的主要空間分布結構有效的分離出來。氣候統計診斷中，應用最廣的辦法就是把原變量場分解為正交函數的線性組合，構成為數較少的不相關典型模態，代替原始的氣候變量場。每個典型模態都含有盡量多的原始場的信息。一、主分量(主成分)分析的原理 ( Principal C

3、omponent Analysis , PCA)把隨時間變化的氣象場分解為空間函數和時間函數部分。空間函數部分不隨時間變化；時間函數部分由空間點(變量)的線性組合所構成，稱為主分量 (主成分)。研究主分量隨時間變化的規律可以代替對場的隨時間變化的研究.第一節 主分量分析（PCA）二、兩個變量的主成分設所分析的氣象要素場僅有兩個空間點，記為x1、x2，抽取容量為n=25的樣本，計算其中x1、x2變量的方差與協方差，得到如果有一種方法找到由這兩個變量線性組合構成的兩個新變量。 y1=0.66x1+0.75x2 y2=0.75x1-0.66x2新變量的總方差與原變量的總方差相等。x1的解釋方差為46

4、%， x2的解釋方差為54%如果要減少變量，如何取舍x1和x2？y1的解釋方差為86%，y2的僅為14%如果要減少變量，去掉y2不會使總的方差受很大影響。可用y1的變化代替x1和x2的變化。y1與y2稱為主成分。如何用一個變量來反映兩個變量的主要信息？在一般情況下，又如何用p個變量來反映m個變量的信息呢？(pm) -主成分分析所要解決的問題解釋方差：單個變量的方差與總方差的比值。三、主成分的導出原則：1、新變量能最大限度、集中地反映原m個變量的總方差。2、新變量相互獨立，可以用較少的新變量描述原氣象要素場的主要特征。以原變量x1,x2組成一個新變量 y=v1x1+v2x2 極大方差極大原則極大

5、問題約束條件：極大值問題可轉換為：根據微積分求極值有：即：S為x1及x2的協方差陣，I為單位陣， 為組合系數向量， 為矩陣S的特征值，v為對應的特征向量。四、主成分的性質各主分量的方差分別為原m個變量的協方差矩陣的特征值，不同的主成分量彼此是無關的.各主分量的方差貢獻大小按矩陣S特征值大小順序排列.m個主分量的總方差與原m個變量的總方差相等.一、引言 經驗正交函數分解（EOF）方法最早由統計學家pearson在1902年提出，由Lorenz（1956）引入氣象問題分析中。該方法以場的時間序列為分析對象，對計算條件要求甚高，故直到20世紀60年代后期才在實際工作中得到廣泛應用（Craddock，

6、1969；Kutzback，1970；Kidson，1975）。第二節 經驗正交函數分解（EOF）近30年來，出現了適合于各種分析目的的EOF分析方法，如擴展EOF（EEOF）方法，旋轉EOF（REOF）方法，風場EOF（EOFW）方法，復變量EOF（CEOF）方法。EOF方法不但用于觀測資料的分析，還用于GCM資料的分析和數值模式的設計。現在，EOF方法已作為一種基本的分析手段頻繁地出現在大氣科學研究的文獻中。二、EOF 分析方法的原理設某氣候要素在m個站點（格點）上有n次觀測資料X，為消除各站氣候態不同的影響，習慣上要素場采用距平值。以矩陣形式給出如下：利用經驗正交函數展開，就是把X分解成

7、正交的空間函數V與正交的時間函數Z的乘積。即：寫成矩陣形式為:第j個實際空間場可表示為:含義:第j個實際空間場xj可表示為m個空間典型場按 不同的權重線性疊加而成. 空間函數矩陣V的每一列表示一個空間典型場，它只與空間點有關，不隨時間變化；但每一典型場和其對應的時間權重系數均不是固定不變的，而是由實際資料確定的，所以這一分析方法稱為經驗正交函數分解。當kl時: 當k=l時: 空間函數矩陣V是標準正交陣，即：展開：EOF分解要求 時間函數矩陣Z中各不同行向量也是正交的，即要求 是個對角陣，即： 或 下面的任務就是求解V與Z。 先觀察一下X場的協方差矩陣S，有 , 所以， 由線性代數的知識知道S是

8、一個m階實對稱矩陣。 根據實對稱矩陣分解定理，一定有：三、分解方法或或:這實際上是關于1 2 m的m次方程組，若只考慮第k 個方程組，則有：這其實是矩陣S的特征方程， 是其特征值，而 是對應的特征向量。或:這是一個線性齊次方程組，根據線性代數的知識，它有非零解的充要條件是：系數行列式為零。由此可得到m 個特征值 ，及其對應的m個特征向量，每個特征向量就是我們所要求得的V的一列，所有特征向量放在一起就是所要求的空間函數矩陣V，它是m 個互相獨立、互不相關的空間模態. 求出了V，對應的Z 就很容易得到了： 四、X場的誤差估計和計算經驗正交函數具有收斂快的特點，一般特征值較大的前幾個模態就能反映出氣

9、候場X的主要特征。因此，我們只取pm個特征向量場（V的前p列）就能近似反映X場，即pn時，我們不直接求 的特征值，而是先求出 的特征值，然后求 的特征向量，這種方法叫時空轉換。令 是 和 的特征值，它們的特征向量分別為ui 和 vi，則： 六、 EOF的計算步驟（1）對原始資料矩陣X作距平或標準化處理。然后計算其協方差陣或相關陣 。（2）用求實對稱矩陣的特征值和特征向量的方法（最常用的是Jacobi 方法）求出S 陣的特征向量V和特征值 ，并由大到小排序。（3）利用 的關系求出時間系數矩陣Z。（4）計算每個特征向量所占的方差貢獻，前p個特征向量所占的累積方差貢獻 。（5）對前幾項有意義的典型空

10、間模態以及對應的時間系數作分析。EOF分析的前幾項特征向量最大限度地表征了該氣候變量場的主要結構特征。每個特征向量所對應的時間系數反映了X的空間區域中由此特征向量所表示的空間型的時間變化特征。系數絕對值越大表明對應時刻這種空間分布型（模態）越明顯（典型）。從特征值的方差貢獻和累積方差貢獻了解所分析的特征向量的方差占總方差的比例及前幾項特征向量共占總方差的比例。分析該氣候場的收斂速度。七、結果分析(1) 它沒有固定的函數，不像有些分解需要有一種特殊的函數作基函數，如球諧函數。(2) 它能在有限的區域內對不規則分布的站點進行分解。(3) 它的展開收斂速度快，很容易將變量場的信息集中在幾個模態上。(

11、4) 分離出的空間模態具有一定的物理意義。八、EOF的優點九、實例分析西北干旱區不同季節地面感熱通量前10個載荷向量場的方差貢獻率和累積方差EOFLV1LV2LV3LV4LV5LV6LV7LV8LV9LV10冬解釋方差38.79 9.73 7.73 5.93 4.93 3.89 3.31 2.88 2.56 2.45 累積方差38.79 48.52 56.25 62.18 67.11 71.00 74.31 77.19 79.75 82.20 春解釋方差19.78 14.96 10.37 7.76 6.47 4.61 4.58 3.96 3.49 3.15 累積方差19.78 34.74 45

12、.11 52.87 59.34 63.95 68.53 72.49 75.97 79.12 夏解釋方差23.39 14.59 8.57 7.28 5.91 5.71 4.34 4.01 3.15 2.85 累積方差23.39 37.98 46.55 53.83 59.75 65.46 69.79 73.80 76.96 79.81 秋解釋方差24.87 14.46 8.44 6.79 5.50 4.61 3.99 3.81 3.61 3.40 累積方差24.87 39.33 47.77 54.56 60.06 64.67 68.66 72.47 76.08 79.48 西北干旱區夏季地面感熱通

13、量EOF分析前三個模態的空間分布(左)和時間系數(右) 23.4%14.6% 8.6%感熱異常的空間分布和時間演變北大西洋冬季（DJF）海平面氣壓EOF分析前三模態空間分布及時間演變北大西洋濤動北大西洋上兩個大氣活動中心（冰島低壓和亞速爾高壓）的氣壓變化為明顯負相關；當冰島低壓加深時，亞速爾高壓加強，或冰島低壓填塞時，亞速爾高壓減弱。G.沃克稱這一現象為北大西洋濤動。北大西洋濤動強，表明兩個活動中心之間的氣壓差大，北大西洋中緯度的西風強，為高指數環流。這時墨西哥灣暖流及拉布拉多寒流均增強，西北歐和美國東南部因受強暖洋流影響，出現暖冬；同時為寒流控制的加拿大東岸及格陵蘭西岸卻非常寒冷。反之北大西

14、洋濤動弱，表明兩個活動中心之間的氣壓差小，北大西洋上西風減弱，為低指數環流。這時西北歐及美國東南部將出現冷冬，而加拿大東岸及格陵蘭西岸則相對溫暖。North Atlantic oscillation (NAO)第三節 旋轉經驗正交分解(REOF)EOF展開的前幾個特征向量，可以最大限度地表征氣候變量場整個區域的變率結構，但分離出的空間分布結構不能清晰表示不同地理區域的特征。利用旋轉EOF(REOF)分析，可以克服EOF分析中由于區域和時間取樣不一致而造成的誤差。REOF的空間分布結構清晰，可以較好地反映不同地域的變化，及不同地域的相關分布狀況。REOF的思路： 如果EOF分析截取了前K個空間型

15、，累積解釋場得總方差已達一定要求(比如達80)，可否將這K個空間型再作調整，使得調整后得K個空間型累積解釋原場的總方差的百分率保持不變，而單個空間型盡量反映場的局部相關結果。通過極大方差旋轉，即將各因子軸旋轉到某一位置，使每個變量在旋轉后的因子軸上極大、極小兩極分化，從而使分離出的典型空間模態上只有某一較小區域上有高載荷，其余區域均接近于0，使得空間結構簡化、清晰。m個原變量經過EOF展開后截取前幾個模態作旋轉變換合適？即怎樣選取典型模態個數K？如果K太小，被截留的部分主要包含場的大尺度信息，含區域性結構的信息較少。如果K很大，則截留后包含很多小尺度變化信息。K的選取方法： 1）一般使前K個模態的累積方差貢獻率達到一定量（比如60-80%）。