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1、第七章 空間解析幾何與向量代數第一節 向量及其線性運算第二節 數量積 向量積 *混合積第三節 曲面及其方程第四節 空間曲線及其方程第五節 平面及其方程第六節 空間直線及其方程一、兩向量的數量積二、兩向量的向量積三、兩向量的混合積7.2 第二節數量積向量積*混合積一、兩向量的數量積沿與力夾角為的直線移動,1. 定義設向量的夾角為 ,稱 記作數量積(點積) .引例. 設一物體在常力 F 作用下, 位移為 s ,則力F 所做的功為記作故2. 性質為兩個非零向量,則有3. 運算律(1) 交換律(2) 結合律(3) 分配律事實上, 當時, 顯然成立 ;例1. 證明三角形余弦定理證:則如圖 . 設4. 數

2、量積的坐標表示設則當為非零向量時,由于兩向量的夾角公式 , 得例2. 已知三點 AMB . 解:則求故為 ) .求單位時間內流過該平面域的流體的質量P (流體密度例3. 設均勻流速為的流體流過一個面積為 A 的平面域 ,與該平面域的單位垂直向量解:單位時間內流過的體積的夾角為且為單位向量二、兩向量的向量積引例. 設O 為杠桿L 的支點 ,有一個與杠桿夾角為符合右手規則矩是一個向量 M :的力 F 作用在杠桿的 P點上 ,則力 F 作用在杠桿上的力1. 定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規則模 :向量積 ,稱引例中的力矩思考: 右圖三角形面積S2. 性質為非零向量, 則3. 運算律(2)

3、 分配律(3) 結合律(證明略)證明:4. 向量積的坐標表示式設則向量積的行列式計算法( 行列式計算見 P339P342 ) 例4. 已知三點角形 ABC 的面積 解: 如圖所示,求三一點 M 的線速度例5. 設剛體以等角速度 繞 l 軸旋轉, 導出剛體上 的表示式 . 解: 在軸 l 上引進一個角速度向量使其在 l 上任取一點 O,作它與則點 M離開轉軸的距離且符合右手法則的夾角為 , 方向與旋轉方向符合右手法則 ,向徑*三、向量的混合積1. 定義已知三向量稱數量混合積 .記作幾何意義 為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其2. 混合積的坐標表示設3. 性質(1) 三個非零向量共面的充要條件是(2) 輪換對稱性 :(可用三階行列式推出)例6. 已知一四面體的頂點4 ) , 求該四面體體積 . 解: 已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故例7. 證明四點共面 .解: 因故 A , B , C , D 四點共面 .內容小結設1. 向量運算加減:數乘:點積:叉積:混合積:2. 向

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