1、投資學第六講因素模型與套利定價理論陳善昂博士、副教授 8/28/20221廈門大學金融系 陳善昂教材與參考資料教材第六章。博迪等投資學第10-11章。夏普等投資學（上）第11-12章。8/28/20222廈門大學金融系 陳善昂主要內容本講分為兩大部分，即：因素模型或指數模型套利定價理論8/28/20223廈門大學金融系 陳善昂馬克維茨模型的缺陷： -計算量過大.假定分析n種股票,需要計算n個預期值、n個方差以及(n2 n)/2個協方差. -相關系數確定或者估計中的誤差會導致無效結果.指數模型的優勢： 大大降低了馬克維茨模型的計算量,它把精力放在了對證券的專門分析中. 指數模型以一種簡單的方式來

2、計算協方差,證券間的協方差由單個一般因素的影響生成,為市場指數收益所代表,從而為系統風險與公司特有的性質提供了重要的新視角. 指數模型的優勢8/28/20224廈門大學金融系 陳善昂ri = E(Ri) + iF + ei = 證券i對因素F的敏感度指數F = 宏觀事件,非預期的宏觀事件,能影響證券的收益e =非預期的公司特有事件的影響假設：主要證券指數收益率（如S&P500的收益率）是一般宏觀因素的有效代表單因素模型8/28/20225廈門大學金融系 陳善昂(ri - rf) = i + i(rm - rf) + eiaRisk PremMarket Risk Prem or Index R

3、isk Premi 市場超額收益(rm - rf) = 0時的股票預期收益率i(rm - rf) =隨整個市場運動的收益成分ei =不受市場影響的公司特有事件a單指數模型8/28/20226廈門大學金融系 陳善昂Let: Ri = (ri - rf) Rm = (rm - rf)Risk premiumformat就有：Ri = i + i(Rm) + ei無風險收益的超額收益8/28/20227廈門大學金融系 陳善昂證券特征線Security Characteristic LineExcess Returns (i)SCL.Excess returnson market indexRi =

4、i + iRm + ei.截距-2.59%斜率1.13578/28/20228廈門大學金融系 陳善昂Jan.Feb.Dec中值標準差5.41-3.44.2.43-.604.977.24.93.3.901.753.32市場超額收益GM的超額收益SAL舉例8/28/20229廈門大學金融系 陳善昂估計系數估計的標準差特有事件殘差項的方差 = 12.60%殘差項的標準差 = 3.55%R-SQR = 0.575 證券特征線 Security Characteristic Line-2.590(1.547)1.1357(0.309)rGM - rf = + (rm - rf)回歸結果8/28/2022

5、10廈門大學金融系 陳善昂市場風險或系統性風險公司特有風險或非系統風險總風險由以上兩者構成風險構成8/28/202211廈門大學金融系 陳善昂i2 = i2 m2 + 2(ei)式中：i2 =總方差i2 m2 =系統風險2(ei) =公司特有風險ijm2=兩證券的協方差可見,證券i的方差由兩部分構成：一是由宏觀因素的不確定性導致的系統風險;二是由隨機項帶來的非系統風險.風險構成的計算8/28/202212廈門大學金融系 陳善昂指數模型與分散化8/28/202213廈門大學金融系 陳善昂分散化以降低風險Number of SecuritiesSt. DeviationMarket RiskUni

6、que Risks2(eP)=s2(e) / nbP2sM28/28/202214廈門大學金融系 陳善昂說明單因素模型假設誤差項之間是不相關的,因而,得出了分散化可以消除特有風險的結論.但實際上,如果組合中的證券數量不夠多,誤差項之間存在相關性,誤差項的方差就不為零.因此,單因素模型不是一個很精確的模型.8/28/202215廈門大學金融系 陳善昂指數模型的行業版本與Beta預測美林Merrill Lynch的行業版本 運用總收益而不是超額收益進行回歸，用S&P500作為市場組合的替代； a 有不同的解釋： a實際上是a = a + rf (1-b)的一個估計,不等于指數模型的a.預測 從過去

7、的數據估算出貝塔值不可能是未來貝塔值的最佳結果,運用回歸模型建立對貝塔值的估計.收集不同時期的值,用模型：現在的=a+b(過去的),估計出a、b的值,進而預測未來的值. 多元回歸模型預測的值,即現在的= a+b1(過去的)+b2(公司的大小)+ b3(負債率)+b4(成長率),利用a、b1、b2、b3、 b4的估計值,預測未來的值.8/28/202216廈門大學金融系 陳善昂多因素模型Multifactor Models在單指數模型中,把影響收益的因素分解為系統風險和公司特有風險,這種分析方法不僅過于簡單,而且把系統風險限制在單一因素內是不對的.實際上,用市場收益來概括的系統風險受多種因素影響

8、,如經濟周期、利率和通貨膨脹率等.顯然,多因素模型可以給出影響收益的更好描述.運用每個因素在每一時期的超額收益對股票的超額收益進行多元回歸,估計股票收益對每一因素的beta值(即敏感度系數).8/28/202217廈門大學金融系 陳善昂雙因素、三因素與五因素模型雙因素模型：假設經濟周期GDP和利率IR是兩個最重要的宏觀經濟風險來源. Fama and French的三因素模型：除市場收益外,他們考察了公司規模大小SIZE、托賓Q值比HML這兩個因素.五因素模型：陳、羅爾和羅斯把宏觀經濟因素分解為：行業生產變動百分比IP 、預期通脹變動百分比EI、非預期通脹變動百分比UI 、長期公司債券對長期政

9、府債券的超額收益CG、長期政府債券對短期國庫券的超額收益GB.每一模型都進行多元回歸分析,以回歸殘值方差估計公司特有風險. 8/28/202218廈門大學金融系 陳善昂套利定價理論Arbitrage Pricing Theory，APT斯蒂芬羅斯Stephen Ross，1976從無風險套利原理的角度考察了套利與均衡，推導出均衡市場中的資本資產定價關系，建立了套利定價理論。套利就是利用證券定價之間的不一致進行資金轉移從中賺取無風險利潤的行為。套利三要點： -零凈投入,不增加資金； -無因素風險,套利組合對任何因素的敏感度為0； -正收益.以上所稱套利為純套利，還有風險套利(risk arbit

10、rage),后者是指在特定領域尋找定價有偏差的證券的專業行為.8/28/202219廈門大學金融系 陳善昂套利機會套利機會-arises if an investor can construct a zero investment portfolio with a sure profit.如果市場是有效的,套利機會將立即消失.因為任何投資者,不考慮風險厭惡與財富狀況,均愿意盡可能多地擁有套利組合的頭寸,大量頭寸的存在將導致價格上漲或下跌直至套利機會完全消除.8/28/202220廈門大學金融系 陳善昂Stock 現價$ 預期收益%標準差% A 10 25.0 29.58 B 10 20.0 3

11、3.91 C 10 32.5 48.15 D 10 22.5 8.58套利舉例8/28/202221廈門大學金融系 陳善昂中值 標準差 相關性PortfolioA,B,C 25.836.400.94 D22.258.58可以看出,由A,B,C三種證券(等權重)構成的組合在所有環境下都比D的表現好.所以,任何投資者,無論是否厭惡風險,只需對D做空頭,然后再購買等權重的組合,就可以從中獲得好處.假如賣空D300萬美元,然后用于購買A,B,C各10萬股,結果如下:套利組合8/28/202222廈門大學金融系 陳善昂Stock 美元投資(萬元) 收益(萬元) A 100 25.0 B 100 20.0

12、 C 100 32.5 D -300 -67.5_資產組合 0 10結果是:D價格下跌的同時A,B,C的價格上漲,或者只有D的價格下跌或只有A,B,C的價格上漲,這樣套利機會就被消除了.套利行為與收益:計算8/28/202223廈門大學金融系 陳善昂套利行為與收益:圖示E. Ret.St.Dev.* P* DShort 3 shares of D and buy 1 of A, B & C to form P.You earn a higher rate on the investment than you pay on the short sale.8/28/202224廈門大學金融系 陳善

13、昂APT與充分分散的投資組合rP = E (rP) + bPF + eP F=共同因素的預期值與實際值之間的差額,也稱驚喜因素;E (rP)=表示組合P的預期收益;bP=組合P對該因素的敏感度;eP=P特定的擾動,所有的非系統收益eP之間是相互獨立的,并與F相獨立.共同因素F和特定因素eP的期望值為0.該模型與CAPM模型相同.舉例:假定F為GDP的意外的百分比變化,預期今年增長4%,某股票或組合的b為1.2.如果GDP只增長了3%,則F為-1%,根據給定的b值可將其轉化一項表示比先前預測低1.2%的收益.這項意外加上特定的擾動bP,便可得出該股票的收益對其原始預期值的全部偏離程度.8/28/

14、202225廈門大學金融系 陳善昂充分分散的投資組合如果一個投資組合是充分分散的，那么,它的非系統風險將可以被分散掉，剩下的就只有系統風險。組合的方差由系統的與非系統的兩方面構成,見下式,P2 = P2 F2 + 2(eP)2(eP)=Wi22(ei)如果組合是等權重的, 則Wi=1/n,當n時, 2(eP)=0. 也就是說,充分分散的投資組合應當滿足:按比例Wi分散于足夠大數量的證券中,而每種成分又足以小到使非系統方差2(eP)可以被忽略.于是,就有: rP = E (rP) + bPF8/28/202226廈門大學金融系 陳善昂充分分散投資組合與單個證券的比較FE(r)%Portfolio

15、FE(r)%Individual Security8/28/202227廈門大學金融系 陳善昂解釋從充分分散投資組合與單個證券的比較中可以看出,非分散化的股票受非系統風險的影響,并呈現為分布在直線兩側的散點.而充分分散化的投資組合的收益則完全由系統風險決定,其收益率均在直線上.假如存在兩個充分分散化的投資組合A和B.A的收益率為10%, B的收益率為8%,兩者的b值均為1.于是就出現了套利機會,即可以賣空B而買入A.這是因為:b相同的證券應該擁有相同的預期收益,否則,就存在套利機會.8/28/202228廈門大學金融系 陳善昂非均衡舉例E(r)%Beta for F1076Risk Free

16、4ADC.51.08/28/202229廈門大學金融系 陳善昂非均衡舉例的解釋b相同的證券應該擁有相同的預期收益,否則,就存在套利機會.現在討論的是不同b值的組合情況.如圖所示, rf=4%,將無風險資產與A點(預期收益為10%, b =1)連接成一條直線,一充分分散化的組合D(預期收益為7%, b =0.5)就落在該直線上.假如存在另一充分分散化的組合C(預期收益為6%,b =0.5)就落在D的下方.于是,套利機會就出現了,即賣出C而買入D就可以獲得1%的無風險收益.該例表明:為了排除套利機會,所有充分分散化的投資組合的預期收益必須落在通過無風險資產的直線上.這條直線給出了所有充分分散化投資

17、組合的預期收益值.8/28/202230廈門大學金融系 陳善昂E(r)%Beta (Market Index)Risk Free M1.0E(rM) - rfMarket Risk Premium APT with Market Index Portfolio8/28/202231廈門大學金融系 陳善昂1.APT大大簡化了CAPM的假設條件.與CAPM一樣,APT假定:擁有相同預期的投資者都是風險厭惡者,市場不存在交易成本.但是,APT的限制條件不像CAPM那樣嚴格,其最基本的假設是證券收益率受某些經濟因素的共同影響,但是沒有限定這些因素的個數及內容.2.理論依據不同.APT建立在無風險套利原

18、理上,認為市場在不存在套利機會時達到均衡,證券價格正是因為投資者不斷進行套利活動而實現均衡.CAPM以均值-方差模型為基礎,考慮當所有投資者以相同方式選擇投資組合時,如何確定證券價格.APT 與 CAPM比較18/28/202232廈門大學金融系 陳善昂APT 與 CAPM比較23.市場均衡的形成原由不同.CAPM中,投資者具有相同的預期,當證券定價不合理時,所有投資者都會改變投資策略,調整資產組合.CAPM假定在投資者共同行為的影響下,市場重新回到均衡狀態.按照APT,不需要所有投資者都對不合理的證券價格產生反應,即使只有幾個投資者的套利行為也會使市場盡快回到均衡狀態.4.聯系.兩者都是均衡模型:CAPM強調證券市場上所有證券的供需達到均衡,APT要求市場處于均衡狀態從而使證券價格不存在套利機會.從某種意義上說,CAPM是APT的一個特例.8/28/202233廈門大學金融系 陳善昂多因素套利定價理論前面都是假定只有一個系統因素影響證券收益.現分析多因素影響證券的收益的情況.由單因素模型可推導出雙因素模型：ri=E(ri)+i1F1+i2F2 +ei該模型可以直接發展為任意數量的多因素模型.多因素套利定價理論認為：資產組合的全部風險溢價等于作為對投資者補償的每一項系統風險溢價的總和. 8/28/202234廈門大學金融系 陳善昂思考與練習