1、第十七章 勾股定理17.1 勾股定理 第一頁，共二十六頁。學習目標1.經歷勾股定理的探究過程，了解關于勾股定理的一 些文化歷史背景，會用面積法來證明勾股定理，體 會數形結合的思想。（重點也是難點） 2.會用勾股定理進行簡單的計算 。（重點）即四個詞：了解、認識、證明和計算 。第二頁，共二十六頁。勾股定理的歷史勾股定理有著悠久的歷史：古巴比倫人和古代中國人看出了這個關系（即直角三角形三邊關系），古希臘的畢達哥拉斯學派首先證明了這個關系。 勾股定理也有很多別稱，也叫畢達哥拉斯定理、百牛定理、商高定理、驢橋定理和埃及三角形等。 勾股定理被譽為“人類最偉大的十個科學發現之一”，是初等幾何中的一個基本定

2、理。在我們今后的幾何計算題和推理題中都有著廣泛的應用。迄今為止，勾股定理大約有500多種證明方法，是證明方法最多的定理之一。第三頁，共二十六頁。探究新知勾股定理的認識及驗證 相傳2500多年前，畢達哥拉斯在朋友家做客時，看到朋友家用磚鋪成的地面圖案，發現了直角三角形三邊的某種關系（如圖）：ABC問題1 試問正方形A、B、C面積之間有什么樣的數量關系？第四頁，共二十六頁。 問題2 圖中正方形A、B、C所圍成的等腰直角三角形三邊之間有什么數量關系？ABC一直角邊2+另一直角邊2=斜邊2等腰直角三角形三邊的關系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。第五頁，共二十六頁。問題3網格中為一般的直角三角形，以

3、它的三邊為邊長的三個正方形A、B、C 是否也有類似的面積關系？(每個小正方形的面積為單位1)：這兩幅圖中A,B的面積都好求，該怎樣求C的面積呢？探究新知第六頁，共二十六頁。方法1：補形法(把正方形C補成各邊都在網格線上的正方形）： 左圖：右圖：第七頁，共二十六頁。方法2：分割法(把正方形C分割成易求出面積的三角形和四邊形）： 左圖：右圖：第八頁，共二十六頁。根據前面求出的C的面積直接填出下表： A的面積B的面積C的面積左圖右圖4 91316 925也就是說，由這三個正方形圍成的直角三角形的三邊也滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方這種關系。一直角邊2+另一直角邊2=斜邊2第九頁，共二十六頁。由上

4、面的幾個例子，我們不難得到這樣的猜想：命題1 如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b，斜邊長為c,那么a2+b2=c2.（即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.）abc下面動圖形象的說明命題1的正確性我們的猜想該如何證明呢？第十頁，共二十六頁。abbcabca證法1 讓我們跟著我國漢代數學家趙爽拼圖,再用所拼的圖形證明命題吧.=第十一頁，共二十六頁。abcS大正方形c2，又S大正方形4S三角形S小正方形趙爽弦圖b-a證明： “趙爽弦圖”表現了我國古人對數學的鉆研精神和聰明才智，它是我國古代數學的驕傲.因此這個圖案被選為2002年在北京召開的國際數學大會的會徽.妙解歸納：兩種方法計算一個

5、圖形的面積，得到一個等量關系，從而解決問題.第十二頁，共二十六頁。aaaabbbbcccca2+b2+2ab=c2+2ab，a2 +b2 =c2.證明：S大正方形=(a+b)2=a2+b2+2ab,S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形 =4 ab+c2 =c2+2ab，證法2 畢達哥拉斯證法如圖，圖中的四個三角形都是直角三角形，求證：a2 + b2 = c2.第十三頁，共二十六頁。aabbcca2 + b2 = c2.證法3 美國第二十任總統伽菲爾德的“總統證法”.如圖，圖中的三個三角形都是直角三角形，求證：a2 + b2 = c2.第十四頁，共二十六頁。公式變形：abc歸納總結勾股定理:

6、 如果直角三角形兩直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2（即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方）. ABC 現在，我們已經證明了命題1的正確性，在數學上，經過證明被確認為正確的命題叫做定理，所以我們剛剛猜想的命題1在我國叫做勾股定理.第十五頁，共二十六頁。在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”.我國古代學者把直角三角形較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”.由于命題1反映的正好是直角三角形三邊的關系，所以叫做勾股定理.勾股勾2+股2=弦2小貼士 為什么叫勾股定理這個名稱呢？ 國外又叫畢達哥拉斯定理第十六頁，共二十

7、六頁。 例1 如圖，在RtABC中， C=90. （1）若a=b=5,求c; （2）若a=1,c=2,求b.解：(1)在RtABC中， C=90(2)在RtABC中， C=90CAB新知應用abc注意：1.看好哪個角是直角,選擇正確的公式來求邊長2.規范書寫格式第十七頁，共二十六頁。（1）若a：b=1：2 ，c=5,求a;（2）若b=15，A=30,求a,c. 【變式1】在RtABC中，C=90.解：(1)設a=x,b=2x,由勾股定理得x2+(2x)2=52，解得(2)因此設a=x,c=2x,根據勾股定理得(2x)2-x2=152，解得 已知直角三角形兩邊關系和第三邊的長求未知兩邊時，要運用

8、方程思想設未知數，根據勾股定理列方程求解.歸納新知應用CABabc第十八頁，共二十六頁?！咀兪?】 在RtABC中，AB4，AC3，求BC的長.解：本題斜邊不確定，需分類討論：當AB為斜邊時，如圖，當BC為斜邊時，如圖，43ACB43CAB圖圖 當直角三角形中所給的兩條邊沒有指明是斜邊或直角邊時，其中一較長邊可能是直角邊，也可能是斜邊，這種情況下一定要進行分類討論，否則容易丟解.歸納第十九頁，共二十六頁。1.下列說法中,正確的是 （ ）A.已知a,b,c是三角形的三邊，則a2+b2=c2B.在直角三角形中兩邊和的平方等于第三邊的平方C.在RtABC中，C=90,所以a2+b2=c2D.在RtA

9、BC中，B=90,所以a2+b2=c2C2.圖中陰影部分是一個正方形，則此正方形的面積為 .8 cm10 cm36 cm當堂練習第二十頁，共二十六頁。3.在ABC中，C=90.（1）若a=15，b=8，則c= . （2）若c=13，b=12，則a= .4.若直角三角形中，有兩邊長是5和7，則第三邊長的平方為_.17574或24當堂練習第二十一頁，共二十六頁。 5. 圖中已知數據表示面積，求表示邊的未知數x、y的值.解：由勾股定理可得 81+ 144=x2， 解得x=15.解：由勾股定理可得 y2+ 144=169，解得 y=5當堂練習第二十二頁，共二十六頁。結論:S1+S2+S3+S4=S5+S6=S7 變式訓練第二十三頁，共二十六頁。11美麗的勾股樹通過這種方法，可以把一個正方形的面積分成若干個小正方形的面積的和，不斷地分下去，就可以得到一棵美麗的勾股樹第二十四頁，共二十六頁。當堂小結1.內容及方法 本節課學習了著名的勾股定理并會運用勾股定理求直角三角形的邊長，還知道從特殊到一般的探索方法.2.數學思想 借助于圖形的面積來探索、驗證數學結論的數形結合思想。通過本節課的學習你有哪些收獲呢？第二十五頁，共二十六頁。基礎題：1.在RtABC中，=90. (1) 已知：a=6，=8，求c； (2)