1、第四十七章構造論證概念構造與論證是一類創造性的思維活動要求我們積極展開聯想靈活運用 所學的知識。而構造法是一種重要的數學方法，一類數論問題可以通過構造 出某些特殊結構，特殊形式的數列或數組來解決，另外在解決一些圖形問題 上，邏輯推理問題上也可以通過構造我們所熟悉的特殊情景然后在解題，問 題就變得容易多了。各種探討給定要求能否實現，在論證中，有時需進行分類討論，有時 則要著眼于極端情形，或從整體把握設計最佳安排和選擇方案的組合問題, 這里的最佳通常指某個量達到最大或最小.解題時，既要構造出取得最值的 具體實例，又要對此方案的最優性進行論證論證中的常用手段包括抽屜原 則、整除性分析和不等式估計.組

2、合證明題，在論證中，有時需進行分類討論，有時則需要著眼于極端 情況，或從整體把握。若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題 目稱為圖論問題。若干點及連接它們的一些線段組成圖，與此相關的題目稱 為圖論問題，這里宜從特殊的點或線著手進行分析.各種以染色為內容，或 通過染色求解的組合問題，基本的染色方式有相間染色與條形染色 .例題有3堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數目的 小石子，或是將其中的某一石子數是偶數的堆中的一半石子移入另外的一堆開始時，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊石子問能否做到：(1)某2堆石子全部取光？ (2)3堆中的所有石子都被取走

3、？n支足球隊進行比賽，比賽采用單循環制，即每對均與其他各隊比賽 一場.現規定勝一場得2分，平一場得1分，負一場得0分.如果每一隊 至少勝一場，并且所有各隊的積分都不相同，問：n=4是否可能？n=5是否可能？如圖35-1，將1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，10這10個數分別填入圖中的10個圓圈內，使任意連續相鄰的5個圓圈內的各數之和均不大于某個整數M.求M的最小值并完成你的填圖( 2009年清華附中入學測試題)如圖，在時鐘的表盤上任意作9個120。的扇形，使得每一個扇形都恰好覆蓋 4個數，且每兩個扇形覆蓋的數 不全相同，求證：一定可以找到3個扇形，恰好覆蓋整個表盤上的數.并

4、舉一個反例說明，作8個扇形將不能保證上述結論成立.一組互不相同的自然數，其中最小的數是 I，最大的數是25,除1 之外，這組數中的任一個數或者等于這組數中某一個數的2倍，或者等于這組數中某兩個數之和.問：這組數之和的最小值是多少 ？當取到最小 值時，這組數是怎樣構成的？2004枚棋子，每次可以取1、3、4、7枚，最后取的獲勝。甲、乙輪流 取，如果甲先取，如何才能保證贏？在10X19方格表的每個方格內，寫上 0或1,然后算出每行及每列 的各數之和問最多能得到多少個不同的和數 ？在8X 8的國際象棋盤上最多能夠放置多少枚棋子，使得棋盤上每行、 每列及每條斜線上都有偶數枚棋子？在下圖中有16個黑點，

5、它們排成了一個4X4的方陣用線段連接其中4點，就可以畫出各種不同的正方形現在要去掉某些點，使得其中任意4點都不能連成正方形，那么最少要去掉多少個點 ？三個邊長為1的正方形并排放在一起，成為1X 3的長方形.求證:123 90；.某學校的學生中，沒有一個學生讀過學校圖書館的所有圖書，又知道 圖書館內任何兩本書都至少被一個同學都讀過問：能否找到兩個學生甲、 乙和三本書4、B、C,使得甲讀過A、B,沒讀過C,乙讀過B C,沒讀過A? 說明判斷過程.4個人聚會，每人各帶2件禮品，分贈給其余3個人中的2人試 證明：至少有2對人，每對人是互贈過禮品的.甲、乙、丙三個班人數相同，在班級之間舉行象棋比賽各班同

6、學都按I , 2，3, 4,依次編號當兩個班比賽時，具有相同編號的同學在同一臺對壘在甲、乙兩班比賽時，有15臺是男、女生對壘；在乙、丙班比賽時，有9臺是男、女生對壘試說明在甲、丙班比賽時，男、女生對壘的 臺數不會超過24.并指出在什么情況下，正好是 24 ?將5X 9的長方形分成10個邊長為整數的長方形.證明：無論怎樣分 法.分得的長方形中必有兩個是完全相同的.在平面上有7個點，其中任意3個點都不在同一條直線上.如果在這 7個點之字連結18條線段，那么這些線段最多能構成多少個三角形？在9X9棋盤的每格中都有一只甲蟲，根據信號它們同時沿著對角線各 自爬到與原來所在格恰有一個公共頂點的鄰格中，這樣

7、某些格中有若干只甲 蟲，而另一些格則空著.問空格數最少是多少 ？若干臺計算機聯網，要求：任意兩臺之間最多用一條電纜連接；任意三臺之間最多用兩條電纜連接；兩臺計算機之間如果沒有電纜連接，則必須有另一臺計 算機和它們都連接有電纜.若按此要求最少要用79條電纜.問：(1)這些計算機的數量是多少臺？(2)這些計算機按要求聯網，最多可以連多少條電纜 ？在一個6X6的方格棋盤中，將若干個1 X 1的小方格染成紅色.如果 隨意劃掉3行3列，在剩下的小方格中必定有一個是紅色的.那么最少要涂 多少個方格？如圖，把正方體的6個表面剖分成9個相等的正方形.現用紅、黃、藍3種顏色去染這些小正方形，要求有公共邊的正方形

8、所染的顏色不同.那 么染成紅色的正方形的個數最多是多少個 ？證明：在6X 6X 6的正方體盒子中最多可放入 52個1 X I X 4的小 長方體，這里每個小長方體的面都要與盒子的側面平行.用若干個I X 6和1 X 7的小長方形既不重疊，也不留孔隙地拼成一個11X12的大長方形，最少要用小長方形多少個 ？在1997X1997的正方形棋盤上的每格都裝有一盞燈和一個按鈕.按鈕 每按一次，與它同一行和同一列方格中的燈泡都改變一次狀態，即由亮變為 不亮，或由不亮變為亮.如果原來每盞燈都是不亮的，請說明最少需要按多 少次按鈕才可以使燈全部變亮？（2008年臺灣小學數學競賽選拔賽）將 1、2、3、4、5、

9、6寫在一個圓周上，然后把圓周上連續三個數之和寫下來，則可以得到六個數d、a2、a3、a4、a5、a6，將這六個數中最大的記為 A .請問在所有填寫方式中，A的最 小值是什么？有3堆小石子，每次允許進行如下操作：從每堆中取走同樣數目的小石子，或是將其中的某一石子數是偶數的堆中的一半石子移入另外的一堆開始時，第一堆有1989塊石子，第二堆有989塊石子，第三堆有89塊 石子問，能否做到：某2堆石子全部取光？3堆中的所有石子都被取走？在1000X 1000的方格表中任意選取 n個方格染為紅色，都存在 3 個紅色方格它們的中心構成一個直角三角形的頂點求n的最小值.在某市舉行的一次乒乓球邀請賽上，有3名

10、專業選手與3名業余選手參加.比賽采用單循環方式進行，就是說每兩名選手都要比賽一場為公平 起見，用以下方法記分：開賽前每位選手各有10分作為底分，每賽一場，勝者加分，負者扣分，每勝專業選手一場加 2分，每勝業余選手一場加1分; 專業選手每負一場扣2分，業余選手每負一場扣1分問：一位業余選手最少要勝幾場，才能確保他的得分比某位專業選手高？有9位數學家，每人至多能講3種語言，每3個人中至少有2個人有 共通的語言.求證：在這些數學家中至少有 3人能用同一種語言交談。1998名運動員的號碼依次為1至1998的自然數.現在要從中選出若干名運動員參加儀仗隊，使得剩下的運動員中沒有一個人的號碼等于另外兩人的號

11、碼的乘積.那么，選為儀仗隊的運動員最少有多少人？在黑板上寫上1、2、3、4、2008，按下列規定進行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個數 a和b，然后寫上它們的差（大數減小數），直到 黑板上剩下一個數為止.問黑板上剩下的數是奇數還是偶數？為什么？桌子上放著55根火柴，甲、乙二人輪流每次取走 13根，規定誰取走最后一根火柴誰獲勝.如果雙方都采用最佳方法，甲先取，那么誰將獲勝？將15X 15的正方形方格表的每個格涂上紅色、藍色或綠色.證明：至 少可以找到兩行，這兩行中某一種顏色的格數相同.在2009張卡片上分別寫著數字 1、2、3、4、2009,現在將卡片的順序打亂，讓空白面朝上，并在空白面上又分別

12、寫上1、2、3、4、2009.然后將每一張卡片正反兩個面上的數字相加，再將這2009個和相乘，所得的積能否確定是奇數還是偶數？個盒子里有400枚棋子，其中黑色和白色的棋子各 200枚下面我 們對這些棋子做如下操作：每次拿出 2枚棋子，如果顏色相同，就補1枚黑 色棋子回去；如果顏色不同，就補 1枚白色的棋子回去.這樣的操作，實際 上就是每次都少了 1枚棋子，那么，經過399次操作后，最后剩下的棋子是（）顏色（填“黑”或者“白”）.在黑板上寫上1、2、3、4、2008,按下列規定進行“操怍”：每次擦去其中的任意兩個數a和b，然后寫上它們的差（大數減小數），直到 黑板上剩下一個數為止.問黑板上剩下的

13、數是 奇數還是偶數？為什么？5卷本百科全書按從第1卷到第5卷的遞增序號排列，今要將它們變為反序排列，即從第5卷到第1卷.如果每次只能調換相鄰的兩卷，那么最 少要調換多少次？某公安人員需查清甲、乙、丙三人誰先進辦公室，三人口供如下：甲：丙第二個進去，乙第三個進去。乙：甲第三個進去，丙第一個進去。丙： 甲第一個進去，乙第三個進去。三人口供每人僅對一半，究竟誰第一個進辦公室？從前一個國家里住著兩種居民，一個叫寶寶族，他們永遠說真話；另一 個叫毛毛族，他們永遠說假話。一個外地人來到這個國家，碰見三位居民， 他問第一個人：“請問你是哪個民族的人？”“匹茲烏圖。”那個人回答。外地人聽不懂，就問其他兩個人：

14、“他說的是什么意思？”第二個人回答：“他說他是寶寶族的。”第三個人回答：“他說他是毛毛族的。”請問，第一個人說的話是什么意思？第二個人和第三個人各屬于哪個民族？有三個和尚，一個講真話，一個講假話，另外一個有時講真話，有時講 假話。一天，一位智者遇到這三個和尚，他先問左邊的那個和尚：“你旁邊 的是哪一位？ ”和尚回答說“講真話的。”他又問中間的和尚：“你是哪一 位？”和尚答：“我是半真半假的。”他最后問右邊的和尚：“你旁邊是哪 一位？ ”答：“講假話的。”根據他們的回答，智者馬上分清了他們，你能 分清嗎？一次學校舉行田徑運動會，A、B、C、D E五個班取得了團體前五名, 發獎后有人問他們的名次，

15、回答是：A班代表說：“ B是第三名，C是第五名。”B班代表說：“ D是第二名，E是第四名。”C班代表說：“ A是第一名，E是第四名。”D班代表說：“ C是第一名，B是第二名。”E班代表說：“ D是第二名，A是第三名。”最后，他們都補充說：“我的話是半真半假的。”請你判斷一下，他們各個班的名次例1 200米賽跑，張強比李軍快0.2秒，王明的成績是39.4秒，趙剛的 成績比王明慢0.9秒，但比張強快0.1秒，林林比張強慢3秒，請你給這五 人排出名次來。有一把長為9厘米的直尺，你能否在上面只標出 3條刻度線，使得用這 把直尺可以量出從1至9厘米中任意整數厘米的長度？42. 一個三位數，如果它的每一位

16、數字都不超過另一個三位數對應數位上的 數字，那么就稱它被后下個三位數“吃掉”。例如，241被352吃掉，123被123吃掉（任何數都可以被與它相同的數吃掉），但 240和223互相都不 能被吃掉。現請你設計6個三位數，它們當中任何一個都不能被其它5個數吃掉，并且它們的百位數字只允許取 1, 2, 3, 4。問這6個三位數分別是 多少？盒子里放著紅、黃、綠 3種顏色的鉛筆，并且規格也有 3種：短的、中 的和長的。已知盒子的鉛筆，3種顏色和3種規格都齊全。問是否一定能從 中選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規格上各不相同？國際象棋的皇后可以沿橫線、豎線、斜線走，為了控制一個4X 4的棋盤至少要放幾

17、個皇后?在如圖10-1所示表格第二行的每個空格內，填入一個整數，使它恰好表示它上面的那個數字在第二行中出現的次數，那么第二行中的5個數字各是幾？在100個人之間，消息的傳遞是通過電話進行的，當甲與乙兩個人通話時，甲把他當時所知道的信息全部告訴乙，乙也把自己所知道的全部信息告訴甲。請你設計一種方案，使得只需打電話196次，就可以使得每個人都知道其他所有人的信息。桌上放有1993枚硬幣，第一次翻動1993枚，第二次翻動其中的1992 枚,第三次翻動其中的1991枚，？，依此類推，第1993次翻動其中的一枚。能 否恰當地選擇每次翻動的硬幣，使得最后所有的硬幣原先朝下的一面都朝上？某學校的學生中，沒有

18、一個學生讀過學校圖書館的所有圖書，又知道圖書館內任何兩本書都至少被一個同學都讀過問：能否找到兩個學生甲、乙和三本書4、B、C,使得甲讀過A、B,沒讀過C,乙讀過B、C,沒讀過A? 說明判斷過程.將15X 15的正方形方格表的每個格涂上紅色、藍色或綠色.證明：至少 可以找到兩行，這兩行中某一種顏色的格數相同.有9位數學家，每人至多能講3種語言，每3個人中至少有2個人有共通的語言.求證：在這些數學家中至少有 3人能用同一種語言交談.今有長度是I， 2, 3，,199的金屬桿各1根，能否用上所有的金屬 桿，不彎曲任何一根，把它們焊接成；（1）一個正方體框架；（2）個長方體框架。桌上有一堆石子共100

19、1粒。第一步從中扔去一粒石子，并把余下的石子分成兩堆。以后的每一步，都從某個石子數目多于1的堆中扔去1粒，再把某一堆分成兩堆。問：能否在若干步之后，桌上的每一堆中都剛好有3粒石子？一些棋子被擺成了一個四層的空心方陣（下圖是一個四層空心方陣的示 意圖），后來小林又添入28個棋子，這些棋子恰好變成了一個五層的空心方陣（不能移動原來的棋子），那么最開始最少有個棋子將七位數“ 1357924 ”重復寫287次組成一個2009位數“13579241357924”，刪去這個數中所有位于奇數位（叢左往右數）上的數字組成一個新數，再刪去新數中所有位于奇數位上的數字，按上述方法一直刪下去直到剩下一個數字為止，則

20、最后剩下的數字是 。桌子上放著5張卡片，小月在卡片的正面寫上 1、2、3、4、5,然后冬 冬在背面分別寫上1、2、3、4、5,寫完后計算每張卡片上兩數之和，再把5個和相乘，問：冬冬能否找到一種寫法，使得最后的乘積是奇數？為什么？班主任老師外出采購前將255元班費分裝在幾個袋子里，只要買 255元以內的東西，他都可以從事先準備好的袋子里湊出所要付的錢，而不必再數錢數，你知道班主任分裝在幾個袋子里嗎？每個袋子里放了多少元？要用天平稱出1克、2克、3克40克這些不同的整數克重量，至少 要用多少個砝碼？這些砝碼的重量分別是多少？(1)將1, 2, 3，4，5，6，7，8，9這9個數字排列在圓周上，使得

21、任意 相鄰兩數的差(大減小)不小于3且不大于5.對于1至11這11個數字，對于I至12這12個數字，對于1至14這14個數字，滿足上述要求的排列方法是否存在？在平面上有7個點，其中任意3個點都不在同一條直線上.如果在這7個點之間連結18條線段，那么這些線段最多能構成多少個三角形 ？將九個正方形其邊長分別為1、4、7、8、9、10、14、15和18拼成一個正方形，那么在這個長方形的四個直角上的四個正方形面積總和是多少？答案與解析【分析與解】 可以，口（1989，989, 89）（1900, 900, 0）（950, 900，950）（50，0，50）（25，25，50） （O, 0，25）.（2

22、）因為操作就兩種，每堆取走同樣數目的小石子，將有偶數堆石子堆中一 半移至另一堆，所以每次操作石子總數要么減少3的倍數，要么不變.現在共有1989+989+89=3067不是3的倍數，所以不能將3堆中所有石子都取走.【分析與解】（1）我們知道4個隊共進行了 C4場比賽，而每場比賽有2分產生，所以4個隊的得分總和為C4 X 2=12.因為每一隊至少勝一場， 所以得分最低的隊至少得 2分，又要求每個隊的得分都不相同，所以 4個 隊得分最少2+3+4+5=14 12不滿足.即n=4不可能。（2）我們知道5個隊共進行C場比賽，而每場比賽有2分產生，所以4個隊的得分總和為 C X 2=20因為每一隊至少勝

23、一場，所以得分最低的 隊至少得2分，又要求每個隊的得分都不相同，所以5個隊得分最少為2+3+4+5+6=20滿足.即n=5有可能.但是我們必須驗證是否存在實例.如下所示，A得2分,C得3分，D得4分，B得5分，E得6分.其中“ A B表示A B比賽時,A勝B; “ B-C ”表示B、C比賽時，B平C,余下類推.3.【分析與解】要使量平均的填寫，因為如M最小，就要盡果有的連續5個圓圈內的數特別小，有的特別大，那么M就只能大于等于特別大的數，不能達到盡量小的目的.因為每個圓圈內的數都用了 5次，所以10次的和為5X (1+2+3+10)=275每次和都小于等于朋，所以IOM大于等于275,整數M大

24、于28.下面來驗證M=28時是否成立，注意到圓圈內全部數的總和是55，所以肯定是一邊五個的和是28，一邊是27.因為數字都不一樣，所以和 28肯定是相間排列，和27 也是相問排列，也就是說數組每隔4個差值為I，這樣從1填起，容易排出適當的填圖【分析與解】 要在表盤上共可作出12個不同的扇形，且112中的每 個數恰好被4個扇形覆蓋將這12個扇形分為4組，使得每一組的3個扇 形恰好蓋住整個表盤那么，根據抽屜原理，從中選擇9個扇形，必有991 3個扇形屬于同一組，那么這一組的 3個扇形可以覆蓋整個表盤.4另一方面，作8個扇形相當于從全部的12個扇形中去掉4個，則可以去掉蓋住同一個數的4個扇形，這樣這

25、個數就沒有被剩下的 8個扇形蓋住，那么這8個扇形不能蓋住整個表盤.【分析與解】首先把這組數從小到大排列起來，那么最小的肯定為1，1后面只能是1的2倍即2, 2后面可以是3或4，3的后面可以是4, 5, 6;4的后面可以是5, 6, 8最大的為25.下面將所有的可能情況列出：l , 2, 3, 4,，25所有的和是35;I , 2, 3, 5,，25所有的和是36;1, 2, 3, 6,25所有的和是37;1, 2, 4, 5,，25所有的和是37;1, 2, 4, 6,，25所有的和是38;1, 2, 4, 8,，25所有的和是40.25是奇數，只能是一個偶數加上一個奇數在中間省略的數中不能只

26、有1個數，所以至少還要添加兩個數，而且這兩個數的和不能小于25,否則就無法得到25這個數要求求出最小值，先看這兩個數的和是 25的情況，因為省略的兩個數不同于前面的數，所以從20+5開始.25=20+5=19+6=18+7=17+8=16+9=15+10=14+1仁13+12這些數中20，19，18，17太大，無法產生，所以看：16+9=15+10=14+11=13+12看這些誰能出現和最小的I， 2, 3, 4,，25中，檢驗發現沒有 可以滿足的：再看 I ， 2，3, 5,，25,發現 1，2, 3，5，10，15, 25 滿足,所以：1+2+3+5+10+15+25=36+25=61【分

27、析與解】先從簡單的情況看起，看看棋子數量較少時，在什么情況下先取者勝，什么情況下后取者勝可以列表如下：棋子數量先取者勝后取者勝1枚V2枚V3枚V4枚V5 枚（3 1 1）V6 枚（4 1 1）V7枚V8枚V9 枚（18）V10枚V11 枚（3 8）V12 枚（4 8）V13 枚（3 10）V14 枚（4 10）V15 枚（7 8）V16枚V17 枚（1 16）V18枚V19 枚（3 16）V20 枚（4 16）V棋子數是18時比較容易看得出來是先取者勝還是后取者勝，可以看出只有棋子數是2枚和8枚時是后取者勝，其他情況下都是先取者勝.當棋子數大于8時，可以先取若干枚棋子，使得剩下的棋子數變成前面

28、已有 的棋子數先取者為了取勝，第一次取后，應該使剩下的棋子數是后取者勝 的情況，比如變成剩下2枚或8枚這樣推下去，可以發現只有當棋子數是 8的倍數或者除以8余2時，是后取者勝，其他情況下是先取者勝.題目中有2004枚棋子，除以8余4,所以先取者肯定可以取勝不過 取勝的策略比較靈活，不能明確地說每次后取者取多少枚先取者就相應地取 多少枚，應該從除以8的余數來考慮：先取者第一次可以先取 4枚，這樣還剩下2000枚，2000除以8 的余數是0;先取者為了保證獲勝，在每一次后取者取了之后，先取者再取的時候，應該使得自己取后剩下的棋子數是8的倍數或者除以8余2;后取者每次可以取 1, 3，4, 7枚，每

29、次先取者取后剩下的棋子 數除以8的余數是0或2,所以每次后取者取后剩下的棋子數除以 8 的余數是 7，5，4，1 或 1，7，6，3.所以接下來先取者可以對應地取 7, 3, 4，1或1，7，4，3枚棋子， 這樣剩下的剩下的棋子數除以 8的余數為0, 2, 0, 0或0, 0, 2, 0.這樣就保證了第點.每次先取者取后剩下的棋子數除以 8的余數是0或2,那么最后 一枚棋子肯定是先取者取得，所以先取者獲勝.【分析與解】 先每列的和最少為0,最多是10,每行的和最少是0,最 多是19,所以不同的和最多也就是0, 1, 2, 3, 4,，18, 19這20個.下面我們說明如果0出現，那么必然有另外

30、一個數字不能出現.如果0出現在行的和中，說明有1行全是0,意味著列的和中至多 出現0到9,加上行的和至多出現10個數字，所以少了一種可能.如果0出現在列的和中，說明在行的和中 19不可能出現，所以0 出現就意味著另一個數字不能出現，所以至多是19，下面給出一種排出方法 TOC o 1-5 h z 1111111I111I111LJ10 iJ1JI11I11I1JI10 0111tt1111J11|11OOOOOlJlJllLLilll!OOOOOQQO i 11 I J t|OOOOOGOOOlli !【分析與解】因為8X8的國際象棋盤上的每行、每列都正好有偶數格，若某行（某列）有空格，必空偶

31、數格而斜線上的格子數有奇也有偶，不妨從 左上角的斜線看起：第一條斜線只有 1格，必空；第三條有3格，必至少空 1格；第五、七條分別有5、7格，每條線上至少空1格由對稱性易知共 有16條斜線上有奇數格，且這 16條斜線沒有共用的格子，故至少必空出 16格其實，空出兩條主對角線上的16個格子就合題意此時，最多可放置48枚棋子，放在除這兩條主對角線外的其余格子中，如下圖所示.XXXXXXXXXXXXXXXX【分析與解】至少要除去6個點，如下所示為幾種方法:【分析與解】仔細分析，要證 123 90，由于3 45，所以，只需證明 12 45就可以了！于是想到能否把2 (1 )移動位置，與 1 ( 2 )

32、拼合在一起，恰成一個45)的角呢？于是想到：如圖1所示，再拼上一個單位正方形 DFK則三角形AKC為 等腰直角三角形，KCA 45：，又直角三角形KCF與AHD全等，所以KCF2.因此,121 KCF KCA 45 .(S 1)(Q 2)有了拼合 2與1的思想，學生往往產生不同的拼合方式，沿著拼合全等的思路發散開來，又可以找到許多拼法.如圖2三角形AHP是等腰直角三角形，HAP 45，HAG 2, BAP 1.所以12 BAP HAG HAP 45；.2,QCP(圖3)如圖3三角形AQC是等腰直角三角形，ACQ 45， QCP如圖4三角形WD是等腰直角三角形WDB 45, CDB 1,，WDH

33、 2.所以 12 CDB WDHWDB 45 .如圖5三角形ZAH是等腰直角三角形,ZHA 45, ZHY 1,因此12 ZHY 2 ZHA 45 .其他的沿著“拼合全等”的思路的證法就不例舉了如果利用相似三角形的知識，如圖 5所示，又FH 1,FA 2, FC 2,所以，FH 12 FAFA 22 FCAFC，因此 HFA s AFC ,2 FHA FAC,但 1 CAB，12 CAB FACEAB 45：.用相似三角形法不用添設輔助線，簡潔明了 再開思路，可用三角法證明如下：2與1都是小于45）的銳角，可知1 +2是銳角.又tan 1DA 1DC 3，DA1tan 2.HD2115tan

34、12tan 1ta n23 261，所以1tan 1tan21 1丄 13 261245：.【分析與解】首先從讀書數最多的學生中找一人甲由題設，甲至少有一本書未讀過，記為 C.設B是甲讀過的書中一本，由題意知，可找到學 生乙，乙讀過 B、C由于甲是讀書數最多的學生之一，乙讀書數不能超過 甲的讀書數，而乙讀過 C書，甲未讀過C書，所以一定可以找出一本書 A, 使得甲讀過而乙未讀過，否則乙就比甲至少多讀過一本書.這樣一來，甲讀過A、B,未讀過C;乙讀過B C未讀過A.因此可以找到滿足要求的兩個學 生.【分析與解】將這四個人用4個點表示，如果兩個人之間送過禮，就在兩點之間連一條線.由于每人送出2件禮

35、物，圖中共有4X2=8條線，由于每人禮品都分贈 給2個人，所以每兩點之間至多有1+1=2條線。四點間，每兩點連一條線， 一共6條線，現在有8條線，說明必有兩點之間連了 2條線，還有另外兩點 （有一點可以與前面的點相同）之間也連了 2條線.即為所證結論。【分析與解】不妨設甲、乙比賽時，115號是男女對壘，乙、丙比賽時在115號中有a臺男女對壘，15號之后有9-a臺男女對壘(0 a9)甲、丙比賽時，前15號，男女對壘的臺數是15-a(如果1號乙與1 號丙是男女對壘，那么1號甲與1號丙就不是男女對壘)，15號之 后，有9-a臺男女對壘.所以甲、丙比賽時，男女對壘的臺數為15-a+9-a=24-2a

36、24.僅在a=0,即必須乙、丙比賽時男、女對壘的號碼，與甲、乙比賽 時男、女對壘的號碼完全不同，甲、丙比賽時，男、女對壘的臺數 才等于24.【分析與解】10個邊長為整數的長方形，其面積顯然也均是正整數.劃分出的長方形按面積從小到大為：1 X 1，1 X 2，I X 3，1 X 4，2X 2，1 X 5，1 X 6，2X 3，1X 7，1X 8，2X 4，1 X 9，3 X 3. 2X 5，2X 6，3X 4，2 X 7，3 X 5，2 X 8，4X 4，2 X 9，3X6,從這些長方形中選出10個不同的長方形，其面積和最小為：1 X 1+1X 2+1X 3+1X 4+2X 2+1X 5+1X

37、6+2X 3+1X 7+1X 8=46.而原長方形的面積為 5X 9=4546.所以分出的長方形必定有某兩個是完全 一樣的.【分析與解】平面上這7個點，任意3點都不在同一條直線上，若任意2點連接，共可連接出C；C； =7X 6- 2=21 條線段現在只連接18條線段，有3條沒有連出，要使得這18條線段所構成的三角 形最多，需使得沒連出的這3條線段共同參與的三角形總數最多，故這3條線斷共點對于這3條線段中的任何一條，還與其他 5個點本應構成5個三 角形，故這3條線段沒連出，至少少構成5X 3-3=12個三角形.如上圖所示，在圖中 AD AE、AF之間未連接，因為其中 ADE AED,ADF AF

38、D AEF AFE被重復計算，所以減去3 而平面內任何三點不共線的7個點，若任何2點連線，最多可構成C7 =35個三角形故現在最多可構成三角形35-12=23個.【分析與解】 方法一：考慮到甲蟲總是斜著爬，我們把棋盤黑白相間 染色，發現原來黑色格子里的甲蟲都會爬到黑色的格子里面，而白色格子里 面的甲蟲都會爬到白色格子里面，所以我們只用觀察最少能空出多少個黑格 子，多少個白格子.因為甲蟲每次都從奇數行爬到偶數行，偶數行爬到奇數行，而由奇數 行有25個黑格子，偶數行有16個黑格子知，偶數行的16只甲蟲爬到奇數 行會空出9個黑格子，而奇數行的 25只蟲子爬到偶數行就可以沒有空 格.白格子蟲子也會從奇

39、數行爬到偶數行，偶數行爬到奇數行，但是奇數行 和偶數行都是20個格子，最少的情況下不會出現空格子，所以最少出現9個空格.方法二：對2X2棋盤如下黑白染色，則易知兩黑格及兩白格分別對換甲 蟲即可使棋盤格不空；從而得到 2nX2n棋盤可劃分為若干塊 2 X 2棋盤，棋盤格均不空.對3X3棋盤如下黑白染色，注意到圖中有 5個黑格，黑格中的甲蟲爬行后必進入黑格，且四個角上的黑格內的甲蟲必爬人中心黑格，而中心黑格內的甲蟲只能爬人某一格，必至少空3個黑格.對5X 5棋盤黑白染色后，利用、的結論易知至少空 5個黑 格.依次類推，可知對9X 9棋盤黑白染色后，至少空 9個空格.下 圖是甲蟲爬行的一種方法.【分

40、析與解】 將機器當成點，連接電纜當成線，我們就得到一個圖， 如果從圖上一個點出發，可以沿著線跑到圖上任一個其它的點，這樣的圖就 稱為連通的圖，條件表明圖是連通圖.我們看一看幾個點的連通圖至少有多少條線可以假定圖沒有圈（如果有圈，就在圈上去掉一條線），從一點出發，不能再繼續前進，將這一點與連結這點的線去掉考慮剩下的n-1個點的圖，它仍然是連通的用同樣的辦法又可去掉一點及一條線這樣繼續下去，最后只剩下一個點因此 n個點的連通圖至少有n-1條線（如果有 圈，線的條數就會增加），并且從一點A向其他n-1個點各連一條 線，這樣的圖恰好有n-1條線.因此，（1）的答案是n=79+1=80并且將一臺計算機與

41、其他79臺各用一條線相連，就得到符合要求的聯網. 下面看看最多連多少條線.在這80個點（80臺計算機）中，設從A引出的線最多，有k條，與A相連的點是B1, B2，Bk由于條件，B.B2，Bk之間沒有 線相連.設與A不相連的點是 A， A3，Am，則m+k=8Q而A2， A3,An每一點至多引出k條線，圖中至多有mk條線， 因為2 2B40 4 m k （m k） （m k） 6400所以mK k40.6 40.4 40.3 39.4即 E B A D C誰是第一、誰是第二、第三、第四、第五名，不就一目了然了嗎？本題還可以單純用快慢關系來進行判斷。/ A v B, D C, D v A, E A

42、,可得 B、E 均A D C,一、二、三名分別應是 C、D Ao但第四、五名仍需計算。由 E=A 3 秒，B=A 0.2 秒，可知E B,故B是第四，E是第五名。【分析與解】 答：可以。（1）標3條刻度線，刻上A, B, C厘米（都是大于1小于9的整數），那 么，A, B, C, 9這4個數中，大減小兩兩之差，至多有 6個：9-A, 9-B, 9-C, C-A, C-B, B-A,加上這4個數本身，至多有10個不同的數，有可能 得到1到9這9個不同的數。例如刻在1, 2, 6厘米處，由1, 2, 6, 9這4個數，以及任意2個的 差，能夠得到從1到9之間的所有整數：1, 2, 9-6=3 ,

43、6-2=4 , 6-1=5 , 6, 9-2=7, 9-1=8, 9。 除1, 2, 6之外，還可以標出1, 4, 7這3個刻度線：1, 9-7=2 , 4- 仁3, 4, 9-4=5, 7-1=6 , 7 , 9-1=8 , 9。另外，與 1 , 2 , 6 對稱的，標出 3 , 7 , 8;與1 , 4 , 7對稱的,標出2 , 5 , 8也是可以.【分析與解】 答：6個三位數都不能互吃,那么其中任意兩個數,都 不能同時有2個數位相同。由于百位只取1 , 2,十位只取1, 2 , 3,所以,只能讓3個數百位是1,另 外3個數百位數是2。百位是1的3個數,分別配上十位1, 2 , 3;百位是

44、 2的3個數同樣。這樣先保證前兩位沒有完全一樣的。即：11* , 12* , 13* ,21* ,22*, 23*。11*最小，個位應取取最大的，4 ,它要求另外5個數個位均小于4。11412*較小，個位應取3,它要求前兩位能吃1*的數，個位小于3。12313*個位取2,就不能吃前兩數，同時它要求前兩位能吃13*的數個位小于2 132 21*較小,個位應取 3,才能不被23*和22*吃。21322*個位取2即可。22223*各位必須取1。231所以這 6 個數是 114 , 123 , 132 , 213 , 222 , 231。【分析與解】答：如果能選出3支筆，使得任意2支筆在顏色和規格上各

45、不相同，則這3支筆必須包含紅、黃、綠，短、中、長這 6個因子，即 不能有重復因子出現。但是這種情況并不能保證出現。例如，盒子中有 4種筆：紅短，黃短，綠中， 綠長，3種顏色和3種規格都齊全，由于紅和黃只出現 1次，必須選，但是 這時短已經出現2次，必然無法滿足3支筆6個因子的要求。所以，不一定能選出。【分析與解】答：2X2棋盤，1個皇后放在任意一格均可控制 2X2=4格；3X 3棋盤，1個皇后放在中心格里即可控制 3X 3=9格；4X 4棋盤，中 心在交點上，1個皇后不能控制兩條對角線，還需要 1個皇后放在拐角處控 制邊上的格。所以至少要放2個皇后。如圖所示。【分析與解】答：設第二行從左到右填

46、入 A, B, C, D, E,貝UA+B+C+D+E=5若E大于0,如E=1,則B=1, A+C+D=3小于4,矛盾，可得：E=0, A大于 0小于4;若D大于0,如D=1,則B大于0,因A大于0,則A和C無法填寫，所以D=0, A必等于2;A=2,可知B+C=3只有當B=1, C=2時，ABCDE=21200符合要求。所以第二行的5個數字是2, 1, 2, 0, 0。【分析與解】答：給100個人分別編號1-100,他們知道的消息也編上相同的號碼。（1）2-50號每人給1號打1次電話，共49次，1, 50號得到1-50號消息。同時，52-100號每人給51號打1次電話，共49次，51，100

47、號得到51-100號消息。（2）1號和51號通1次電話，50號和100號通1次電話，這時1，50，51,100號這4個人都知道了 1-100號消息。（3）2-49號，52-99號，每人與1號（或者50，51，100號中的任意1人）通1次話，這96人也全知道了 1-100號消息。這個方案打電話次數一共是（49+49）+2+96=196 （次）。【分析與解】 答：可以。按要求一共翻動1+2+3+?+1993=1993 997平均每個硬幣翻997次，是奇數。而每個硬幣翻奇數次，結果都是把原來朝 下的一面翻上來。因為：1993 X 997=1993+ （1992+1） + （1991+2） +?+ （

48、997+996）所以，可以這樣翻動：第1次翻1993個，每個全翻1次；第2次與第1993次（最后1次）一共翻1993次，等于又把每個翻了一遍；第3次與第1992次（倒數第2次），第4次與第1991次，？，第997次與第998次也一樣，都可以把每個硬幣全翻 1次。這樣每個都翻動了 997次，都把原先朝下的一面翻成朝上。【分析與解】首先從讀書數最多的學生中找一人甲由題設，甲至少有一本書未讀過，記為C.設B是甲讀過的書中一本，由題意知，可找到學生乙，乙讀過B、C.由于甲是讀書數最多的學生之一，乙讀書數不能超過甲的讀書數，而乙讀過C書，甲未讀過C書，所以一定可以找出一本書 A,使得甲讀過而乙未讀過，

49、否則乙就比甲至少多讀過一本書.這樣一來，甲讀過 A、B,未讀過C;乙讀 過B、C未讀過A.因此可以找到滿足要求的兩個學生.【分析與解】如果找不到兩行的某種顏色數一樣，那么就是說所有顏色的列與列之問的數目不同.那么紅色最少也會占：0+1+2+?+14=105個格子.同樣藍色和綠色也是，這樣就必須有至少：3X (0+|+2+?+14)=315 個格子.但是，現在只有15X 15=225個格子，所以和條件違背，假設不成立，結論 得證.【分析與解】假設任意三位數學家都沒有共同會的語言，這表明每種語言至多有兩人會說.即這九位數學家為 A、B、C、D E、F、G I .由于一 位數學家最多會三種語言，而每

50、種語言至多有兩人會說，所以一位數學家至 多能和另外三人通話，即至少與五人語言不通.不妨設A不能與B C DE、F通話. 同理，B也至多能和三人通話，因此在 C、D E、F中至少有一 人與B語言不通，設為C.則A、B、C三人中任意兩人都沒有共同語言，與題意矛盾.這表明假設不成立，結論得證.【分析與解】（1）不可能焊接成正方體框架。因為正方體的12條棱長度相同，所以199根金屬桿的長度和應 該是12的倍數。但是實際上 I + 2+ 3+ 199=（ 1 + 199）X 199- 2= 19900。19900 不 是12的倍數。 可以焊接成長方體框架。因為長方體有 4個長、4個寬、4個高, 所有棱長

51、的和可以表示為（長+寬+高）X 4, 199根金屬桿的長度和是 4 的倍數即可。19900顯然是4的倍數。【分析與解】具體構造如下：第一步，先把他們焊接成長為199的金屬桿100根。199 = 1 + 198= 2+ 197= 3+ 196=99+ 100第二步，焊接的長方體框架，長是 4根199X 12的金屬桿，寬是4 根199X 12金屬桿，高是4根199的金屬桿。【分析與解】每次操作都是扔1粒石子，并把某一堆分成2堆。假設最后桌子上剩n堆石子，每堆3枚，桌上還有3n石子。在此 之前進行了（ n 1）操作，扔了（ n1）枚石子。扔掉的和桌子上現有的應 該等于最初的1001粒石子。3n +（

52、n1）= 10014n 1= 10014n=1002n= 250.5n不是整數，說明最初的假設錯誤，所以無論經過多少步操作，桌上的每一堆中石子不可能都恰好是 3粒。【分析與解】先明確方陣問題的特征：1相鄰兩圈外圈每邊比內圈每 邊多2枚棋子。2、相鄰兩圈外圈比內圈多8枚棋子。將四層空心方陣變成五層空心方陣有 3種方法：一種是在最外層增加一圈（兩行兩列）；第二種是在最內層增加一圈（兩行兩列）；第三種是在最內層增加一行一列，在最外層的另外兩個方向也增加一行一列。1、空心方陣的最里層至少需要 8枚棋子，若是五層的空心方陣從里到 外各層棋子數依次為 & 16、24、32、40，最外層至少需要40枚棋子，小 林只添28枚棋子，顯然第一種情況不符合題意。2、如果是第二種情況，小林把28枚棋子放到了最里圈，則從里到外各 層的棋子數依次是 28、36、44、52、60,原四層空心方陣應該有棋子 60+ 52 + 44+ 36= 192 枚。3、如果是第三種情況。設原四層空心方陣最里圈每邊有x枚棋子。小林在里圈1行1列放了（x 2）X 21= 2 x 5 （枚）棋子小林在外圈1行1列放了 （x + 6）X 2+ 1 = 2 x + 13 （枚）棋子（2x 5） + （ 2x + 13）