1、自招競賽秋季數學講義其他重要不等式學問定位本章將介紹冪平均不等式,權方和不等式,琴生不等式,卡爾松不等式,楊氏不等式,赫爾的不等式,閔可夫斯基不等式,鐘開來不等式以及阿貝爾不等式的證明以及應用；學問梳理、例題精講一、 冪平均不等式冪平均不等式：設x x2,x nR ,且,有x 1x 2nx n1x 1x 2nx n1,等號當且僅當x 1x 2x 時取到；注：調和平均值相當于lim 01,算術平均值相當于1 ,均方根平均值相當于2 ,x 1x2nx n1,大小關系由冪平均不等式顯而易見；幾何平均值就就相當于【例 1】【題目來源】【題目】設ixR i1,2,n, n ,求證：x nnx0 x 1x

2、nx 1x nn1nx 1nx 0 x 2xx 0 x 1x 2x 0【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 3 【例 2】【題目來源】【題目】對于p1,q0,a 1a 2a n0,0b 1b 2b 或0a 1a 2a ,b 1b 2b n0,證明ina ip1 np qina ip11b iqinb iq1【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 3 【例 3】【題目來源】第四屆,CMO n2,且in1x i1,求證：inx ix i11in1x i【題目】 設x x 2,x 都是正數 11n【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 4 【例

3、 4】【題目來源】 2022中國國家集訓隊測驗題【題目】給定整數n2和正實數 a ,正實數x x 2,x 滿意x x 2x n1,求最小的實數MM n a ,使得ina1x iM1s【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 5 二、 權方和不等式權方和不等式：設x x2,x n,y 1,y 2,ynR ,如m0或m1n1m x i1nnm1xii1,就ym inmiy ii1如1m0,就nm x i11x im1ii1m y inyimi1【例 5】【題目來源】 28屆 IMO預選題【題目】設na b c 是一三角形的三條邊長,s1 2abc ,求證：anbaacnb2 3n2

4、, nZbcc【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 3 三、 琴生不等式琴生不等式：如連續函數f x 在區間 I 內下凸（或上凸） ,就對任意x x 2,x nI 及任意1,2,n1R ,且ini1,就有1f x 122f x 2nnf x n1f1x 12x 2nx n或fx 12x 2nx n1f x 1f x 2f x n判定函數下凸（上凸）的方法：（1）2設連續函數f x 的定義域為 , a b ,假如對于 , a b 內任意兩數x x 都有fx 1x2 f x 12fx 2,就稱f x 為 , a b 上的下（上）凸函數（2）當函數f x 二階可導時,其凸性可依據

5、二階導數的符號來確定即f 0f x 在 D 上嚴格下凸f 0f x 在 D 上嚴格上凸注：下凸函數有時也被成為凸函數,上凸函數有時也被成為凹函數；【例 6】【題目來源】【題目】設x y z 是正實數,且xyz1,證明：13 zy3x33 y1y1z 1x 1z x 14【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 4 【例 7】【題目來源】 36屆 IMO 【題目】設a b c 為正實數,且abc1,求證：a31cb31c3 c1b3baa2【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 4 【例 8】【題目來源】 21屆 CMO 【題目】實數列 a n滿意：a 11,a

6、k1naka n1,k11,2,n ；證明不等式：22a k2a 1a2na nn 1a 1a21111n 1 a 1a2a n【證明】【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 5 四、 卡爾松不等式卡爾松不等式： 設ija0imn1nm1,其中1,2, , n j1,2,m ,就a ijma ij mj1i1i1j1等號當且僅當a i,1a i,2a i m時取得；a i1,1a i1,2a i1, mn行每對 n m矩陣, m列每列數之和的幾何平均值大于等于其這個不等式的直觀表述是：行數的幾何平均值之和；【例 9】【題目來源】 28屆 IMO預選題【題目】設a b c 是一

7、三角形的三條邊長,s21 2abc ,求證：anbncnn2, nZbccaab3【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 3 【例 10】【題目來源】【題目】設ix in1,2, n 為正數,1n2, nN ,就xn1x nx0 x 1x 2nx nnnxnnx0 x 1x 1xx0 x 1x 2x nx 0【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 4【例 11】【題目來源】第4屆 CMO in ,n2,inx i1,試證：inxxinx i1【題目】設ixR ,11111n【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 4 四、楊氏（ Young）

8、不等式,赫爾德（Holder ）不等式與閔可夫斯基不等式Young 不等式：設p q0,且1 p11,就對x y0有111x1y1,就p x yqqpq這個不等式的證明可以考察ln x 的凹凸性,用琴生不等式獲得,比較簡潔這里不再列出；Holder 不等式：設ia0,ib0, i1,2, n ,p0,q0,滿意1 p1qna b ina ip1nb iq1,等號成立的條件是p a iq b i pqi1i1i1證明：由 Young 不等式得11n1iaipn1q b i11n1ink b i1,等pqna ipq b ii1na ipnq b ini1pnapi1qnq b ipqii1i1i

9、1i1p a i1,2,q b i,即a ip等號成立的充要條件是q b ,inp a inq bkk a ii111n1閔可夫斯基不等式：對a bnR,1,就a ibk kkk1i1i1號當且僅當a 1a2a時成立b 1b 2bn證明：由赫爾德不等式,得na iinb ikina a i iib ik1nb a i i1b ik1nk a i1 n1 a ib ik k1nk b i1in1a ib ik k1k ki1i11i1ii1所以a ib i1nk a i1nk b i,當且僅當a 1a 2a nb n時等號成立；k kkkb 1b 211i1【例 12】【題目來源】【題目】 設i

10、a0,ib0,ii1,2,n,m0或m1,證明：in1m a i1ina im1,1mbmn等號成立當且僅當a ib ,1,2,nib i1【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 3 【例 12】【題目來源】【題目】證明：對正實數a b c ,有a2a8 bcb2b8 acc2c8ab1【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 4 五、 鐘開來不等式與阿貝爾變換（阿貝爾不等式）鐘開來不等式：設a a 2,a 和b b 2,b 是正數,且b 1b 2b ,如對全部的k1,2,n 有kbjjk1a ,就nb2jna2 jb kb k1,其中S 為 ka的前 n 項

11、和j1j1j1證明：由阿貝爾變換公式knS b nn1S ka b kk11我們有n2 b jb nnb jnjb k bjb j1jnb nn1ajn1kj1a kbjbj1jn1a bjj1j1j1k11jj1nn1b 2j又由柯西不等式有a b ja2 2jj1j11結合上述兩式即證明白n2 b jna2jj1j1在鐘開萊不等式的證明過程中,我們使用了阿貝爾變換,這在不等式證明中是一個處理部 分和條件的利器,在這里我們也將舉一些例子來說明它的用法；先來看一個由阿貝爾變換 簡潔證明的阿貝爾不等式；阿貝爾不等式：設b 1b 2b n0,mkt1akM,t1,2,n ,就有：n證明：設nakn

12、n1bmk1a b kb Mn1b k1mb 1證畢S nk1n就a b kS b nk1S kb kb k1mb nkm b kk11nn11k1a b kS b nk1S kb kb k1Mbnk1M b kb k1Mb1【例 13】【題目來源】【題目】設a a a 3,是正實數序列,對全部的n1滿意條件jn1ajn ,證明：對任111意的n1 有na21j42nj1【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 3下面的幾個例題是有關阿貝爾變換的使用的【例 14】【題目來源】1【題目】設a a 2,anR ,p qR ；記Sp a 1p a 2p a np,就對于 1,2, n

13、的任一排列i i2,naq kqa i kpa k0, n i ,有：1Spk【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 4【例 15】【題目來源】【題目】試證：對任意實數x,有n1kxnx ,其中 x 表示不超過 x 的最大整數kk【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 4 【例 16】【題目來源】【題目】已知a k0,k1,2,n ,定義A k1ika i,證明：kn12 A i4n1a21kkk【證明】【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 4 【例 17】【題目來源】【題目】設a a 2,a n,且各不相同,求證：111a 1a 2a

14、n2n2 22 n【學問點】其他重要不等式【適用場合】當堂例題【難度系數】 4 習題演練【練 1】【題目來源】 1986年中國國家集訓隊選拔試題【題目】設x x 2,2,x 都是實數 n3,令ppnx,q1ijnx x；求證：i j（1）n1p2q0；（ 2）|x ip|n1i12 nq2nn1n【學問點】其他重要不等式【適用場合】課后兩周習題【難度系數】 3 【練 2】【題目來源】【題目】設a b c 為正實數,求證：a2b3b2c3c2a3ab1 9abc 8 bc8 ca8【學問點】其他重要不等式【適用場合】課后兩周練習【難度系數】 3【練 3】【題目來源】【 題目】設iaR,0ix1i1,2,n nai1,求證：, 且na ix i11x n a n,等號當且僅當x 1x 2i1x 時成立；ni11a ax x 1 22【學問點】其他重要不等式【適用場合】課后兩周習題【難度系數】 3【練 4】【題目來源】【題目】設a b c0,求證：abca4b4c4abc【學問點】