1、習題精解44f4T11某質點的速度為v=2i-8tj，已知t=0時它經過點（3,7）,則該質點的運動方程為（）A.2ti4t2jB.（2t+3片一Ct2+7力C.-8jD.不能確定解：本題答案為B.因為所以于是有即亦即故-drv=_dtdr=2iJrdr=ACi8tjbr00rr=2ti4t2j0rGi7j)=2ti4t2jr=(2t+3)iCt2+7)j1-2一質點在平面上作曲線運動，t時刻位置矢量為r=2i+6j，t時刻的位置矢量為112r=2i+4j，求:（1）在At=tt時間內質點的位移矢量式；（2）該段時間內位移的大小221和方向；（3）在坐標圖上畫出r,r及Ar。12解（1）在At

2、=tt時間內質點的位移矢量式為21Ar=rr=Ci2jXm）21（2）該段時間內位移的大小Ar1=42+（2=25（m）該段時間內位移的方向與軸的夾角為（2）a=tan1=26.64丿（3）坐標圖上的表示如圖1.1所示1-3某質點作直線運動，其運動方程為x=1+4tt2，其中x以m計，t以s計，求:（1）第3s末質點的位置；（2）頭3s的位移大小；（3）頭3s內經過的路程。解（1）第3s末質點的位置為x（3）=1+4x332=4（m）(2)頭3s的位移大小為x(3)-x(0)=3(m)dx(3)因為質點做反向運動是有v(t)=0，所以令=0，即42t=0,t=2s因此頭3s內dt經過的路程為|

3、x(3)-x(2)|+|x(2)-x(0)=|4-5+15-1|=5(m)1-4已知某質點的運動方程為x=2t,y=2-12，式中t以s計，x和y以m計。(1)計算并圖示質點的運動軌跡；(2)求出t=1s到t=2s這段時間內質點的平均速度；(3)計算1s末2s末質點的速度；(4)計算1s末和2s末質點的加速度。解(1)由質點運動的參數方程x=2t,y=2-t2消去時間參數t得質點的運動軌跡為運動軌跡如圖1.2根據題意可得到質點的位置矢量為r=(2t)i+(2-12)j所以t=1s到t=2s這段時間內質點的平均速度為v=2i-3/(ms-1)-At-2-1由位置矢量求導可得質點的速度為v=r=2

4、L-)/-_-所以末和末的質點速度分別為v(1)=2i-2j(ms-1)和v(2)=2i-4j(ms-1)由速度求導可得質點的加速度為a=v=2jfJfA所以末和末質點的加速度為a=a(2)=-2j(ms-1)1-5湖中有一小船，岸邊有人用繩子跨過離河面高H的滑輪拉船靠岸，如圖1.3所示。設繩子的原長為l，人以勻速v拉繩，使描述小船的運動。0-f解建立坐標系如圖1.3所示。按題意，初始時刻(t=0)，滑輪至小船的繩長為l，在此后某0時刻t,繩長減小到l-vt，此刻船的位置為0 x=(lvt)2H200這就是小船的運動方程，將其對時間求導可得小船的速度為dxv=-dt(lvt)v00(1_vt)

5、2H200v0COSa將其對時間求導可得小船的加速度為dva=-dtv2H20(1vt)2H200v2H20 x3其中負號說明了小船沿x軸的負向（即向岸靠攏的方向）做變加速直線運動，離岸越近&越小），加速度的絕對值越大。1-6大馬哈魚總是逆流而上，游到烏蘇里江上游去產卵，游程中有時要躍上瀑布。這種魚躍出水面的速度可達32kmh_1。它最咼可躍上多咼的瀑布？和人的跳咼記錄相比如何?解魚躍出水面的速度為V二32kmh-1二&89ms-1,若豎直躍出水面，則躍出的高度h二2g二叫此咼度和人的跳咼記錄相比較，差不多是人跳咼的兩倍1-7一人站在山坡上，山坡魚水平面成a角他扔出一個初速度為v0的小石子，v

6、0與水平面成0角，如圖1.4所示。（1）若忽略空氣阻力，試證小石子落到了山坡上距離拋出點為S處，有S=2v2sin(00)cos0gCOs2a兀a。由此證明對于給定的v0和a值時，S在0盲_y時有最大值Smaxv2(sina+1)0gcOs2a解（1）建立如圖1.4所示的坐標系，則小石子的運動方程為(vcOs0)=(vsin0)tgt202當小石子落在山坡上時，有廠xScosaySsina聯立以上四個方程，求解可得小石子在空中飛行的時間（即從拋出到落在山坡上是所經歷的時間）t所滿足的方程為2vt2(sin0+tanacos0)t0解之得t=(sin0+tanacos0)g但t二0時不可能的,因

7、t=0時小石子剛剛拋出，所以小石子落在山坡的距離為x（vcos0）t2v2sin（0+a）cos0二0二一0cosacosagcos2adS2）給定值時有S=S（0），求S的最大值可令礦0，即2v2cos(20+a)0二0gcos2a亦即此時孚d020,所以S有最大值,且最大值為v2(sina+1)S二亠maxgcos2a1-8一人扔石子的最大出手速度為v二25ms-1。他能擊中一個與他的手水平距離為0L二50m，高為h二13m處的目標嗎?在這個距離上他能擊中的最大高度是多少？解設拋射角為0，則已知條件如圖1.5所示，于是石子的運動方程為x=(vcos0)t0y=(vsin0)t一gt22可得

8、到石子的軌跡方程為y二xtan0假若石子在給定距離上能擊中目標此時有gx22v2COS200可令x二Ly二Ltan0gL22v2cos200y一fv2tan20+Ltan0H00v2d2y于，此時cosa)i+(vOBsin卩-vOAsina)j它是與時間無關的常矢量。1-10如果已測得上拋物體兩次從兩個方向經過兩個給定點的時間，即可測出該處的重力加速度。若物體沿兩個方向經過水平線A的時間間隔為行，而沿兩個方向經過水平線A上方h處的另一水平線B的時間間隔為At，設在物體運動的范圍內重力加速度為常量，試求B該重力加速度的大小。解設拋出物體的初速度為v，拋射角為e，建立如圖1.7所示的坐標系，則0

9、h=(vsin0)tgt2A0A2A(vsin0)t-gt2b2b所以+2g0+A=Ugt+込=0Bg2vsine120tAgA2vsine12Bg于是有At=(t+114ttAA1A2A1A2AtB(t+114ttB1B2B1B2此二式平方相減可得8h8(h-h)g二BA二At2一At2At2一At2ABAB注意此方法也是實驗測得重力加速度的一種方法。1-11以初速度卩0將-物體斜上拋拋射角為0,不計空氣阻力，則物體在軌道最高點處的曲率半徑為vsin0A.-0gB.v20解本題正確答案為Cv2cos0C.fgD.不能確定因為初速為vo將-物體斜向上拋，拋射角為0,不計空氣阻力時，物體在軌道的

10、最高點處v2的速率為v=vcos0，而此時物體僅有法向加速度a，且a=g=，所以物體在軌道0nnRv2v2cos20最咼點處的曲率半徑為R=tgg-1-12一質點從靜止出發沿半徑為R=1m的圓周運動，其角加速度隨時間的變化規律是卩二12t2-6t(SI)，試求該質點的角速度3和切線加速度a。T解因為卩二12t2-6t所以d3=(12t2一6t)dt于是有J3d3t(12t2一6t)dt00故質點的角速度為3=4t33t2切線方向加速度為a=R卩=12t36tT1-13一質點做圓周運動方程為0二2t4t2(0以rad計，t以s計)。在t=0時開始逆時針旋轉，問：(1)t=05s時，質點以什么方向

11、轉動；(2)質點轉動方向改變的瞬間，它的角位置0多大？解(1)因質點做圓周運動角速度方向改變瞬時，d03=即28t=0,t=0.25sdt所以t=0.5s時，質點將以順時針方向轉動。(2)質點轉動方向改變的瞬間，它的角位置為0(0.25)=2x0.254x(0.25)2=0.25(rad)1-14質點從靜止出發沿半徑為R=3m的圓周做勻變速運動，切向加速度a=3ms-2，問:(1)經過多長時間后質點的總加速度恰好與半徑45。角？(2)在上述時間內，質點所經歷的角位移和路程各為多少？dv解因為a=3dt所以dv=3dt即fvdv=ft3dt00故質點做圓周運動的瞬間時速度為瞬時速率v=3t質點的

12、法向加速度的大小為R3其方向恒指向圓心，于是總加速度為a=a+a=(3t2)n+3n其中n為沿半徑指向圓心的單位矢量，t為切向單位矢量。(1)設總加速度a與半徑的夾角a,如圖1.8所示，則asina=a，acosa=a當a=45時有a丁n_na，即3t2=3,t=1(負根舍去)，所以t=1s時，a與半徑成45角。T(2)因為空=v=3t，所以fsds=f1(3t)dtdt00s1.5故在這段時間內質點所經過的路程為s=1.5m，角位移為A0=0.5(rad)。R31-15汽車在半徑為R=400m的圓弧彎道上減速行駛，設某一時刻，汽車的速度為V=10m-1，切向加速度的大小為件=0加S-2。汽車

13、的法向加速度和總加速度的大小和方向。解已知條件如圖1.9所示。汽車的法向加速度為v2102a=0.25(ms-2)nR400汽車的總加速度為a=Ja2+a2=(0.25+(0.2)2=0.32(ms-2)所以a=a+a=0.25n+(0.2(ms-2)，故加速度a和v的夾角為na=180-arctan(、anIa丿=180arctan(石)=12840習題精解2-1女口圖2.6所示，將質量分別為m和M的A,B兩物塊疊放在一起，置于光滑水平面上。A,B間的靜摩擦系數為卩，滑動摩擦系數s為卩，現用一水平力F作用于A物塊上，要使A,B不發生相對滑動而一同前進，則應有()kA.FmgB.FdmgssM

14、C.F(m+M)gs廠m+MD.Fr）的過程中，核的吸引力所做的功。1212解核的吸引力所做的功為W=Jr2Fdr=JrFcos兀dr=r1dr=kr-r-42-rr122-17質量為的子彈，在槍筒中前進受到的合力為，單位為，x的單位為m，子彈射出槍口時的速度為，試求槍筒的長度。解設槍筒的長度為l，則根據動能定理有J1Fdx=mv2400-讐x”=1x2x10-3x30029丫20丿=0，得1=0.45(m)81(12-0-91+400=0即(1v=所以槍筒的長度為0.45m。2-18從輕彈簧的原長開始第一次拉伸長度L。在此基礎上，第二次使彈簧再伸長L,繼而第三次又伸長L。求第三次拉伸和第二次

15、拉伸彈簧時做的功的比值。解第二次拉伸長度L時所做的功為W=-k(2L)2-kL=-kL222第三次拉伸長度L時所做的功為W=1kO-1k(2L)2=-kL222W5所以第三次拉伸和第二次拉伸彈簧時做的功的比值為礦=3。32-19用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設木板對釘的阻力與釘進木板之深度成正比。在第一次錘擊時，釘被擊入木板1cm。假定每次錘擊鐵釘時速度相等，且錘與鐵釘的碰撞為完全彈性碰撞，問第二次錘擊時，釘被擊木板多深？解據題意設木板對釘子的阻力為-kx，錘擊鐵時的速度為v，則由功能原理可知在第一次錘擊時有2mv2=J0.01kxdx；在第二次錘擊時有2mv2=f1kxdx,聯立這兩個方程可得20

16、20.01第二次錘擊時釘被擊入的深度為l-0.01二4.14x10-3(m)。2-20如圖213所示，兩物體A和B的質量分別為mA=mB=.5kg，物體B與桌面的滑動摩擦系數為卩=0.1，試分析用動能定理和牛頓第二運動定律求物體A自靜止落下kh=1m時的速度。解用牛頓第二運動定律求解。分析物體受力如圖2.3所示，則對物體A有：mg-T=maAA對物體B有：T一卩mg=makBB解之得：a=二g因為v=v2+2ah,v=0,00所以v=Jgh(1-卩)=p98x1x(1一0.1)=2.97Cms-1)用動能定理求解。對于物體A,B構成的系統動能定理可寫為mgh一卩mgh=(m+m)v2AkB2A

17、B所以2(m+卩mAk_Bm+mAB2x(0.05-0.1x0.05)x9.8x1()0.05+0.05=2.97Vms-172-21彈簧勁度系數為k,一段固定在A點，另一端連結一質量為m的物體，靠在光滑的半徑為a的圓柱體表面上，彈簧原長AB，如圖2.14所示，再變力的作用下物體極其緩慢的沿圓柱體表面從位置B移到了C，試分別用積分法和功能原理兩種方法求力F所做的功。解利用積分法求解。分析物體受力如圖2.14所示，由于物體極其緩慢地沿光滑表面移動，所以有F=mgcos0+kx=mgcos0+ko0因此力F所做的功為W二J0Fds-f0(mgcos0+ka0(a0)=mgasin0+丄ka2020

18、02利用功能原理求解，力F所做的功為W二E一E二mgasin0+丄ka202MCMB22-22一長為l、質量均勻的鏈條，放在光滑的水平桌面上。若使其長度的1/2懸于桌邊下,由靜止釋放，任其自由滑動，則剛好鏈條全部離開桌面時的速度為（）A.莎B.麗C.麗D.2麗解本題正確答案為B。m根據題意作圖2.15.設鏈條的質量為m，則單位長度的質量為7，若選取桌面為零勢能點,則由機械能守恒定律得l其中v為鏈條全部離開桌面時的速度。解之得v=2；3gi2-23一彈簧原長為0.5m，勁度系數為k上端固定在天花板上，當下端懸掛一盤子時，其長度為0.6m，然后在盤子中放一物體，彈簧長度變為0.8m,則盤中放入物體

19、后，在彈簧伸長過程中彈性力做功為（）C.f0.3kxdx0.1D.-f0.3kxdx0.1A.f0,8kxdxB.-f0,8kxdx0.60.6解本題正確答案為D因為彈力所做的功為W=J(-8-0-5)(-kx)dx=0.3kxdx(0.6-0.5)0.12-24如圖所示，已知子彈的質量為m二0.02kg，木塊的質量為M二8.98kg，彈簧的勁度系數k二100Nm-1，子彈以初速v射入木塊后，彈簧被壓縮了l=10m。設木塊與平面0間的滑動摩擦系數為卩=02，不計空氣阻力，試求v的大小。k0解設子彈與木塊碰撞后共同前進的速度為v，因碰撞過程中動量守恒，所以有mv0=（m+M）v在子彈與木塊一同壓

20、縮彈簧時，由功能原理得一卩(m+M)gl=kl2一(m+M)v2k22聯立以上兩式可得子彈的初速度為kl2+2卩(m+M)glk1|/m2、2vm+M丿v0=319(ms-1)2-25質量為M的物體靜止于光滑的水平面上，并連接有一輕彈簧如圖2.17所示，另一質量為M的物體以速度v與彈簧相撞，問當彈簧壓縮到最大時有百分之幾的動能轉化為勢能,解當彈簧壓縮到最大時系統以同一速度v前進，此過程中系統的動量守恒，所以有Mv=（M+M）v于是v=2，故彈簧壓縮到最大時動能轉化為勢能的百分率為Mv21(M+M)-v丫=5%2(2丿2Mvo22-26如圖2.18所示，一木塊M靜止于光滑的水平面上，一子彈m沿水平方向以速度v射入木塊內一段距離S后停止于木塊內。（1）試求在這一過程中子彈和木塊的動能變化是多少？子彈和木塊之間的摩擦力對子彈和木